2022-2023学年湖北省鄂州市鄂城区秋林高级中学高一上学期期末数学试题含答案

2022-2023学年湖北省鄂州市鄂城区秋林高级中学高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．若集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求出集合A、B，再求.

【详解】或

所以，

所以.

故选：B

2．命题“”的否定形式为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用全称量词命题的否定求解.

【详解】解：因为全称量词命题的否定是存在量词的命题，

命题“”是全称量词的命题，

所以命题“”的否定形式为“”.

故选：D

3．若一个扇形所在圆的半径为2，其圆心角为，则扇形的面积为（    ）

A．1 B．2 C．4 D．8

【答案】C

【分析】求出扇形的弧长，再利用扇形的面积公式求解.

【详解】解：设扇形的弧长为，

由题得.

所以扇形的面积为.

故选：C

4．函数，若，则（    ）

A．1 B． C． D．2

【答案】B

【分析】先求出，再整体代入即得解.

【详解】解：由题得，

所以.

故选：B

5．函数的大致图象是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】判断给定函数的奇偶性可排除部分选项，再分析在上的单调性即可判断作答.

【详解】因为，则是偶函数，其图象关于y轴对称，选项C不满足，

又当时，单调递增，选项A，D都不满足，选项B符合要求.

故选：B

6．下列函数既是奇函数又是周期为π的函数是(    )

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先判断函数的奇偶性，再求函数的周期，然后确定选项．

【详解】是最小正周期为的奇函数，故A错误；

的最小正周期是π是偶函数，故B错误；

是最小正周期是π是偶函数，故C错误；

最小正周期为π的奇函数，故D正确﹒

故选：D．

7．已知函数若函数有两个不同的零点，则实数m的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】画出的图象，根据图象与有两个交点来求得的取值范围.

【详解】当时，，

所以函数在上单调递减.

，.

令，得.

作出函数、的大致图象如图所示，观察可知，.

故选：D

8．已知函数为上的偶函数，且对任意，均有成立，若，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先根据条件判断出函数是上的单调减函数，结合偶函数性质，可知，然后只需比较的大小关系即可.

【详解】对任意，均有成立，

故在上是单调减函数，

又函数为上的偶函数，故，

而，故 ，

又，

所以 ，

则，即，

故选：A.

二、多选题

9．使得“”成立的充分不必要条件可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【分析】根据不等式的性质和指对数函数的单调性判断即可.

【详解】，即，所以“”是“”的充分不必要条件，A正确.

，即，所以“”是“”的充分不必要条件，B正确.

因为不能推出，而也不能推出，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，C错误.

，即，所以“”是“”的充要条件，故D错误.

故选：AB

10．定义在上的函数满足，当时，，则满足（    ）

A． B．是偶函数

C．在上有最大值 D．的解集为

【答案】CD

【分析】赋值法可以求出，，判断出B选项；利用赋值法和题干中的条件可以得出的单调性，从而判断AC；利用函数的单调性进行解不等式，判断D.

【详解】∵定义在R上的函数满足，

令得：，解得：，

令得：，因为，所以，

故是奇函数，B错误；

任取，，且，则令，，代入得：，

因为当时，，而，所以，

故，即，从而在R上单调递减，

所以，A错误；

所以函数在上有最大值为，C正确；

由， 在R上单调递减，故，解得，故的解集为，D正确.

故选：AD.

11．下列运算中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】利用指数、对数、根式的运算法则化简即可.

【详解】因为，所以A错误；

因为，所以B正确；

因为，所以C错误；

因为，所以D正确.

故选：BD.

12．下列说法正确的是（    ）

A．若，满足，则的最大值为；

B．若，则函数的最小值为

C．若，满足，则的最小值为

D．函数的最小值为

【答案】CD

【解析】，没有最大值，故错误；

，函数，故错误；

，的最小值为2，故正确；

，，当且仅当时等号成立，故正确.

【详解】，若，，，则，当且仅当时等号成立，没有最大值，故错误；

，若，即，则函数，当且仅当等号成立，故错误；

，若，，所以，所以，所以，（当且仅当时取等），所以的最小值为2. 故正确；

，，当且仅当时等号成立，故正确；

故选：CD

【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

三、填空题

13．已知定义域为的函数在上单调递增，且，若，则不等式的解集为           .

【答案】

【分析】先根据函数的单调性和奇偶性，得到函数在R上单调递增，再利用单调性的定义求解.

【详解】因为定义域为的函数在上单调递增，且，

所以函数在R上单调递增，

又，

所以，

又不等式等价于，

所以，解得，

所以不等式的解集为，

故答案为：

14．函数的定义域是     ．

【答案】

【分析】由对数函数的定义域及被开平方数大于等于，可解得结果．

【详解】因为函数，

所以，解得，

故函数的定义域为．

故答案为：．

15．已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若是角终边上一点，且，则y=       .

【答案】－8

【详解】答案：－8. 解析：根据正弦值为负数，判断角在第三、四象限，再加上横坐标为正，断定该 角为第四象限角．

16．函数在上的单调递增区间为      ．

【答案】

【分析】首先根据题意得到，再求其单调减区间即可.

【详解】函数，

令，

解得，令得，

所以函数在上的单调递增区间为．

故答案为：

四、解答题

17．已知，且．

(1)求的值；

(2)求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据同角三角函数基本关系求的值，进而可得的值；

（2）利用诱导公式化简，再化弦为切，将的值代入即可求解.

【详解】（1）因为，且，所以，

所以，

（2）

．

18．已知幂函数为偶函数

(1)求幂函数的解析式；

(2)若函数在上单调，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）根据幂函数和偶函数的定义可求结果；

（2）先求解的解析式，结合二次函数知识可得实数的取值范围.

【详解】（1）依题意有：，

解得或；

又函数为偶函数，则，

所以.

（2）；

由题知：或，

所以或.

19．已知函数为奇函数

(1)求实数的值及函数的值域；

(2)若不等式对任意都成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)，值域为

(2)

【分析】（1）先利用奇函数求出，分离常数项，可得函数的值域；

（2）分离参数，利用换元法，结合基本不等式可得结果.

【详解】（1）函数为奇函数，定义域为，

则，所以，经检验知符合题意；

因为，则

所以函数的值域为.

（2）由题知：当恒成立；

则；

令，

所以；

又，当且仅当时等号成立，

而，所以，

则.

20．一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，若记仓库到车站的距离为（单位：km），经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比；若在距离车站3km处建仓库，则与分别为12.5万元和6.5万元.记两项费用之和为.

(1)求w关于x的解析式；

(2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？求出最小值.

【答案】(1)；

(2)4，18.5万元．

【分析】（1）根据已知条件，分别求出函数y1和y2，即得．

（2）利用基本不等式，即得．

【详解】（1）∵每月土地占地费（单位：万元）与成反比，

∴可设，

∵每月库存货物费（单位：万元）与（4x+1）成正比，

∴可设，

又∵在距离车站3km处建仓库，则与分别为12.5万元和6.5万元，

∴k1＝4×12.5＝50，，

∴，，

∴．

（2）∵，

当且仅当，即x＝4时等号成立，

∴这家公司应该把仓库建在距离车站4千米处，才能使两项费用之和最小，最小值为18.5万元．

21．已知函数.

(1)判断函数的单调性，并用单调性定义证明；

(2)若为奇函数，求满足的的取值范围.

【答案】(1)增函数，证明见解析；

(2).

【分析】（1）判断出函数为上的增函数，然后任取、且，作差，因式分解后判断的符号，即可证得结论成立；

（2）由奇函数的定义可求出实数的值，再利用函数的单调性可得出关于的不等式，解之即可.

【详解】（1）证明：函数为上的增函数，理由如下：

任取、且，则，

所以，，即，

所以，函数为上的增函数.

（2）解：若函数为奇函数，则，即，

则，

因为函数为上的增函数，由得，解得.

因此，满足的的取值范围是.

22．已知函数，当时，.

(1)求函数的零点个数并证明；

(2)若“”是真命题，求实数的取值范围.

【答案】(1)一个零点，证明见解析

(2)

【分析】（1）先由题意得到，利用零点存在定理及函数单调递增即可证明；

（2）当，把问题转化为

，使成立，且也成立，利用分离参数法得到

，设，研究其在上单调递减，求出，结合函数的定义域求出实数的取值范围.

【详解】（1）（1）若，则，

所以，

令，整理得，其中

设

因为且函数在上单调递增

所以方程在有且只有一个解

所以函数在有且只有一个零点

（2）当，

由题意可知：，使不等式成立

即：成立，

等价于，使成立，且也成立

，设，

，使成立

只要即可，函数在上单调递减，

所以，所以，

，使在区间成立，只需要即可，

即

所以实数的取值范围是

【点睛】“恒（能）成立”问题的解决方法：

（1）函数性质法

对于一次函数，只须两端满足条件即可；对于二次函数，就要考虑参数和的取值范围.

（2）分离变量法

思路：将参数移到不等式的一侧，将自变量x都移到不等式的另一侧.

（3）变换主元法

特点：题目中已经告诉了我们参数的取值范围，最后要我们求自变量的取值范围.

思路：把自变量看作“参数”，把参数看作“自变量”，然后再利用函数的性质法，求解.

（4）数形结合法

特点：看到有根号的函数，就要想到两边平方，这样就与圆联系起来；这样求函数恒成立问题就可以转化为求“谁的函数图像一直在上面”，这样会更加直观，方便求解.