+四川省成都市武侯区棕北中学2023-2024学年九年级上学期开学数学试卷

这是一份+四川省成都市武侯区棕北中学2023-2024学年九年级上学期开学数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年四川省成都市武侯区棕北中学九年级（上）开学数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，答案涂在答题卡上）
1．（4分）下列图形是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（4分）若x＞y，则下列各式正确的是（　　）
A．x+2＜y+2 B．x﹣2＜y﹣2 C．﹣2x＜﹣2y D．
3．（4分）将分式方程﹣＝3化为整式方程，正确的是（　　）
A．x﹣2＝3 B．x+2＝3 C．x﹣2＝3（x﹣2） D．x+2＝3（x﹣2）
4．（4分）在△ABC中，点D，E是BC的三等分点，则∠BAC的度数为（　　）
A．100° B．110° C．120° D．130°
5．（4分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，当点E恰好落在边AC上时，连接AD，则∠DAC的度数是（　　）

A．60° B．65° C．70° D．75°
6．（4分）化简的结果为（　　）
A． B． C． D．
7．（4分）如图，正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象与一次函数y＝﹣x+6的图象相交于点P，则不等式﹣x+6＞kx的解集是（　　）

A．x＞2 B．x＜2 C．x＞4 D．x＜4
8．（4分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，点E，F分别是AD，连接OE、OF，若 OE＝2，则▱ABCD 的周长为（　　）

A．10 B．14 C．16 D．20
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9．（4分）因式分解：2x2﹣18＝　 　．
10．（4分）如果正n边形的一个内角与一个外角的比是2：1，则n的值为 　 　．
11．（4分）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0无实数根，则k的取值范围是 　 　．
12．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，线段CD是由线段AB平移得到的，已知A，C，D三点的坐标分别为（2，1），（4，2），（3，4）　 　．

13．（4分）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，分别以点A，大于的长为半径画弧，N，作直线MN交AC于点D，则线段CD的长为 　 　．

三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）
14．（12分）（1）解不等式组：．
（2）计算：．
15．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（5，3），C（3，4）．
（1）画出△ABC关于原点O成中心对称的Δ A1B1C1；
（2）画出△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°所得到的Δ A2B2C2；
（3）根据（1）（2）画出的图形，求出Δ AA1A2的面积．

16．（8分）在一次数学综合与实践活动中，同学们需要制作如图1所示的三种卡片，其中卡片①是边长为a的正方形：卡片②是长为b
（1）卡片①，卡片②，卡片③的面积之和为 　 　；
（2）小明制作了2张卡片①，3张卡片②，1张卡片③，请根据图2的面积写一个多项式的因式分解为 　 　；
（3）小刚将自己制作的2张卡片①和1张卡片②送给小明，小明用所有卡片重新无缝无叠合拼成一个大的正方形M，若a＝1.6，求正方形M的边长．


17．（10分）如图，在▱ABCD中，点E，且AF＝CE，连接BE，BF，DF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若∠BAC＝80°，AB＝AF，DC＝DF

18．（10分）如图1，在△ABC中，AC＝BC，点D是边AB上一动点，将线段CD绕点C逆时针旋转120°得到CE
（1）求∠CBE的度数；
（2）连接AE，若AD＝4，∠ACD＝30°；
（3）如图2，若AD＝AC，BD＝2，AM的延长线与BC交于点P，与BE交于点N

一、填空题（本大题共3个小题，每小题3分，共9分，答案写在答题卡上）
19．（3分）已知x＝y+3，则x2﹣2xy+y2的值为 　 　．
20．（3分）已知不等式组的解集为x≥3，则m的取值范围是 　 　．
21．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，点F是AD上的点，直线BF交AC于点E，BE交CD的延长线于点G，则　 　．

二、解答题（11分）
22．（11分）在平行四边形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝45°，点B的对应点为点E，线段EC与边AD交于点F．（1），∠ACB＝30°，求∠FCD的度数；
（2）若△CDF是以CF为腰的等腰三角形，求线段BC的长；
（3）如图2，连接BE，CA的延长线交BE于点N，当点M到BC的距离最小值时，求出此时△BCN的面积．


2023-2024学年四川省成都市武侯区棕北中学九年级（上）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，答案涂在答题卡上）
1．（4分）下列图形是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合，即可解题．
【解答】解：选项A、B、D都不能找到一个点，所以不是中心对称图形．
选项C能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合．
故选：C．
【点评】此题考查的是中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的定义是解决此题的关键．
2．（4分）若x＞y，则下列各式正确的是（　　）
A．x+2＜y+2 B．x﹣2＜y﹣2 C．﹣2x＜﹣2y D．
【分析】直接利用不等式的性质分别分析得出答案．
【解答】解：A．∵x＞y，
∴x+2＞y+2，原变形错误；
B．∵x＞y，
∴x﹣8＞y﹣2，原变形错误；
C．∵x＞y，
∴﹣2x＜﹣6y，原变形正确；
D．∵x＞y，
∴x＞y，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的性质，解决本题的关键是掌握不等式的性质．
3．（4分）将分式方程﹣＝3化为整式方程，正确的是（　　）
A．x﹣2＝3 B．x+2＝3 C．x﹣2＝3（x﹣2） D．x+2＝3（x﹣2）
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x+2＝3（x﹣6），
故选：D．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
4．（4分）在△ABC中，点D，E是BC的三等分点，则∠BAC的度数为（　　）
A．100° B．110° C．120° D．130°
【分析】由等边三角形的性质可得∠ADE＝∠AED＝∠DAE＝60°，∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，利用三角形外角的额性质可求解∠BAD＝30°，∠CAE＝30°，进而可求解．
【解答】解：∵点D，E是BC的三等分点，
∴BD＝DE＝CE，

∵△ADE是等边三角形，
∴AD＝AE＝DE，∠ADE＝∠AED＝∠DAE＝60°，
∴AD＝BD，AE＝CE，
∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，
∵∠ADE＝∠B+∠BAD，∠AED＝∠C+∠CAE，
∴∠BAD＝30°，∠CAE＝30°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠DAE+∠CAE＝30°+60°+30°＝120°，
故选：C．
【点评】本题主要考查等边三角形的性质，三角形外角的性质，灵活利用等边三角形的性质解题的关键．
5．（4分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，当点E恰好落在边AC上时，连接AD，则∠DAC的度数是（　　）

A．60° B．65° C．70° D．75°
【分析】由旋转性质知△ABC≌△DEC，据此得∠ACB＝∠DCE＝30°、AC＝DC，继而可得答案．
【解答】解：由题意知△ABC≌△DEC，
则∠ACB＝∠DCE＝30°，AC＝DC，
∴∠DAC＝＝＝75°，
故选：D．
【点评】本题主要考查旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．
6．（4分）化简的结果为（　　）
A． B． C． D．
【分析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝÷
＝•
＝．
故选：D．
【点评】此题主要考查了分式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
7．（4分）如图，正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象与一次函数y＝﹣x+6的图象相交于点P，则不等式﹣x+6＞kx的解集是（　　）

A．x＞2 B．x＜2 C．x＞4 D．x＜4
【分析】先求得点P的横坐标，再写出直线y＝kx在直线y＝﹣x+6下方时所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：∵一次函数y＝﹣x+6的图象经过点P，点P的纵坐标是4，
∴2＝﹣x+6，
∴x＝2，即P（2，
由图可得，不等式﹣x+6＞kx的解集是x＜2．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，求得点P的坐标是解决问题的关键．
8．（4分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，点E，F分别是AD，连接OE、OF，若 OE＝2，则▱ABCD 的周长为（　　）

A．10 B．14 C．16 D．20
【分析】根据平行四边形的性质和三角形中位线定理即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AD∥BC，
∵E、F分别是AB，
∴AB＝2OE＝4，BC＝5OF＝6，
∴▱ABCD 的周长＝2（AB+BC）＝20．
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，熟练运用菱形的性质是本题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9．（4分）因式分解：2x2﹣18＝　2（x+3）（x﹣3）　．
【分析】先提取公因式，然后利用平方差公式进行因式分解．
【解答】解：原式＝2（x2﹣4）＝2（x+3）（x﹣6），
故答案为：2（x+3）（x﹣2）．
【点评】本题考查提公因式法与公式法分解因式，掌握提取公因式的技巧以及完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2和平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2的结构是解题关键．
10．（4分）如果正n边形的一个内角与一个外角的比是2：1，则n的值为 　6　．
【分析】正多边形的内角都相等，因而每个外角也分别相等，每个相邻的外角，与内角一定互补，又有内角等于一个外角的2倍，就可以求出一个外角的度数．根据多边形的外角和是360°，就可以求出多边形的边数．
【解答】解：设外角是x度，则内角是2x度，
x+2x＝180，
解得x＝60，
所以n＝360÷60＝6．
故答案为：6．
【点评】考查了邻补角的定义，多边形的外角和的特征，掌握多边形的外角和的特征是解题的关键．
11．（4分）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0无实数根，则k的取值范围是 　k＜﹣1　．
【分析】根据根的判别式即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：Δ＝4+4k＜4，
∴k＜﹣1，
故答案为：k＜﹣1
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，需要掌握一元二次方程没有实数根相当于判别式小于零．
12．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，线段CD是由线段AB平移得到的，已知A，C，D三点的坐标分别为（2，1），（4，2），（3，4）　（1，3）　．

【分析】根据点A、C的坐标确定出平移规律，再根据平移规律解答即可．
【解答】解：∵点A（2，1）的对应点C的坐标为（4，
∴平移规律为向右平移2个单位，向上平移1个单位，
∴由D到B的平移规律为向左平移3个单位，向下平移1个单位，
∴点B的坐标为（3﹣4，4﹣1），7）．
故答案为：（1，3）．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
13．（4分）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，分别以点A，大于的长为半径画弧，N，作直线MN交AC于点D，则线段CD的长为 　　．

【分析】根据勾股定理的逆定理得到∠C＝90°，连接BD，由作图知MN垂直平分AB，得到AD＝BD，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：在△ABC中，AB＝10，AC＝8，
∴AC2+BC8＝82+52＝102＝AB3，
∴∠C＝90°，
连接BD，
由作图知MN垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∵∠C＝90°，
∴BD2＝BC2+CD6，
∴（AC﹣CD）2＝BC2+CD7，
∴（8﹣CD）2＝22+CD2，
∴CD＝；
故答案为：．

【点评】本题主要考查了作图﹣基本作图，垂直平分线的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，用勾股定理求解．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）
14．（12分）（1）解不等式组：．
（2）计算：．
【分析】（1）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可；
（2）原式利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的加法法则计算得到最简结果．
【解答】解：（1），
由①得：x≥﹣5，
由②得：x＜3，
∴﹣2≤x＜3；
（2）原式＝
＝
＝．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组以及分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（5，3），C（3，4）．
（1）画出△ABC关于原点O成中心对称的Δ A1B1C1；
（2）画出△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°所得到的Δ A2B2C2；
（3）根据（1）（2）画出的图形，求出Δ AA1A2的面积．

【分析】（1）利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可；
（3）利用三角形面积公式求解．
【解答】解：（1）如图，Δ A1B1C5；即为所求；
（2）如图，Δ A2B2C6即为所求；
（3）Δ AA1A2的面积＝×2×4＝2．

【点评】本题考查作图﹣旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．
16．（8分）在一次数学综合与实践活动中，同学们需要制作如图1所示的三种卡片，其中卡片①是边长为a的正方形：卡片②是长为b
（1）卡片①，卡片②，卡片③的面积之和为 　（a2+ab+b2 ）　；
（2）小明制作了2张卡片①，3张卡片②，1张卡片③，请根据图2的面积写一个多项式的因式分解为 　2a2+3ab+b2＝（2a+b）（a+b）　；
（3）小刚将自己制作的2张卡片①和1张卡片②送给小明，小明用所有卡片重新无缝无叠合拼成一个大的正方形M，若a＝1.6，求正方形M的边长．


【分析】（1）根据矩形的面积公式列出代数式便可；
（2）根据“矩形面积＝长×宽，矩形面积等于各部分面积之和”列出因式分解的选题关系便可；
（3）根据正方形M的面积等于各部分面积之和，列出代数式进行因式分解化成完全平方式，便可得正方形M的边长，最后代值计算便可．
【解答】解：（1）根据题意得卡片①，卡片②2+ab+b2 ），
故答案为：（a4+ab+b2 ）；
（2）由图2知，矩形的长为（6a+b），
所以矩形的面积可表示为（2a+b）（a+b），
∵小明制作了2张卡片①，7张卡片②，并用这些卡片无缝无叠合拼成如图2所示的大长方形，
∴矩形的面积也可表示为（2a5+3ab+b2），
∴根据图5的面积可以写一个多项式的因式分解为2a2+2ab+b2＝（2a+b）（a+b），
故答案为：6a2+3ab+b3＝（2a+b）（a+b）；
（3）根据题意得，正方形M的面积为：4a5+4ab+b2＝（8a+b）2，
∴正方形M的边长为（2a+b），
当a＝5.6，b＝2.8时，
2a+b＝3.5+2.8＝2，
故正方形M的边长为6．
【点评】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式，关键是会用不同方法计算图形的面积．
17．（10分）如图，在▱ABCD中，点E，且AF＝CE，连接BE，BF，DF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若∠BAC＝80°，AB＝AF，DC＝DF

【分析】（1）根据平行四边形的对边相等可得AB＝CD，对边平行可得AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAF＝∠DCE，然后利用“边角边”证明△ABF≌△CDE，故可得出结论；
（2）根据平行四边形的性质得AB＝BE，然后根据等腰三角形的性质即可解决问题．
【解答】（1）证明：在▱ABCD中，AB＝CD，
∴∠BAF＝∠DCE，
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（SAS），
∴BF＝DE，∠DEF＝∠BFA，
∴ED∥BF，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）解：∵四边形BEDF是平行四边形，
∴BE＝DF，
∵AB＝DC＝DF，
∴AB＝BE，
∴∠BEA＝∠BAC＝80°，
∴∠ABE＝180°﹣2×80°＝20°，
∵AB＝AF，
∴∠ABF＝∠AFB＝（180°﹣80°）＝50°，
∴∠EBF＝∠ABF﹣∠ABE＝50°﹣20°＝30°．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是得出△ABF≌△CDE，再由全等三角形的性质得出结论．
18．（10分）如图1，在△ABC中，AC＝BC，点D是边AB上一动点，将线段CD绕点C逆时针旋转120°得到CE
（1）求∠CBE的度数；
（2）连接AE，若AD＝4，∠ACD＝30°；
（3）如图2，若AD＝AC，BD＝2，AM的延长线与BC交于点P，与BE交于点N

【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出∠CAD的度数，证△ACD≌△BCE，即可得出∠CBE的度数；
（2）过C点作CM⊥AB于点M，过点E作EN⊥AB于点N，分别求出AN，EN，然后利用勾股定理求出AE即可；
（3）连接DP，得出∠DPB＝90°，PB＝，过点N做NQ⊥PB于Q，设BN＝x，根据等腰直角三角形的性质和含30°角直角三角形的性质列方程求解x即可．
【解答】解：（1）∵AC＝BC，∠ACB＝120°，
∴∠CAD＝30°，
∵∠ACD+∠DCB＝∠DCB+∠BCE＝120°，
∴∠ACD＝∠BCE，
又∵AC＝BC，DC＝EC，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CBE＝∠CAD＝30°；
（2）过C点作CM⊥AB于点M，过点E作EN⊥AB于点N，

由（1）知，△ACD≌△BCE，
∵∠ACD＝30°，AD＝4，
∴AD＝CD＝CE＝BE＝4，∠ECB＝∠ABC＝30°，
∴CE∥AB，
∵CM⊥AB，EN⊥AB，
∴四边形MNEC是矩形，
∴MN＝CE＝3，
在Rt△CDM中，∠CMD＝90°，
∴∠DCM＝30°，
∴DM＝CD＝5，
同理可得，BN＝，
∴NE＝＝2，
∴AN＝AD+DM+MN＝4+2+8＝10，
∴AE＝＝＝7，
即AE的长为4；
（3）连接DP，过点N做NQ⊥PB于Q，

∵AD＝AC，点M为CD中点，
∴AP是CD的垂直平分线，
∴CP＝DP，
∵∠CAD＝30°，
∴∠ACD＝∠ADC＝75°，
∵∠ACB＝120°，
∴∠DCP＝∠ACB﹣∠ACD＝120°﹣75°＝45°，
∴∠DPB＝∠PCD+∠PDC＝90°，
∵BD＝2，∠PBD＝30°，
∴DP＝BD＝1＝，
设BN＝x，则NQ＝x＝x，
∵∠NPQ＝∠CPM＝45°，
∴PQ＝NQ＝x，
∵PB＝PQ+QB，
∴＝+x，
解得x＝3﹣，
即BN的长为3﹣．
【点评】本题主要考查三角形的综合题，熟练掌握等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键．
一、填空题（本大题共3个小题，每小题3分，共9分，答案写在答题卡上）
19．（3分）已知x＝y+3，则x2﹣2xy+y2的值为 　9　．
【分析】先利用完全平方公式变形得到原式＝（x﹣y）2，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵x＝y+3，
∴x﹣y＝3，
∴x2﹣2xy+y2
＝（x﹣y）8
＝32
＝3．
故答案为：9．
【点评】本题主要考查了完全平方公式．熟练掌握完全平方公式是解题的关键．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
20．（3分）已知不等式组的解集为x≥3，则m的取值范围是 　m≤1　．
【分析】分别把两个不等式解出来，根据解集为x≥3，即可求出m的取值范围．
【解答】解：，
解不等式①得：x≥3，
解不等式②得：x≥6+m，
∵原不等式组的解集为x≥3，
∴2+m≤4，
解得：m≤1．
故答案为：m≤1．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组的步骤是解题关键．
21．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，点F是AD上的点，直线BF交AC于点E，BE交CD的延长线于点G，则　　．

【分析】由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，证明AB＝AF＝2k，DF＝DG＝k，再利用平行线分线段成比例定理即可解决问题．
【解答】解：由AF＝2DF，可以假设DF＝k，AD＝3k，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴＝＝，
∴＝＝，
故答案为：．

【点评】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
二、解答题（11分）
22．（11分）在平行四边形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝45°，点B的对应点为点E，线段EC与边AD交于点F．（1），∠ACB＝30°，求∠FCD的度数；
（2）若△CDF是以CF为腰的等腰三角形，求线段BC的长；
（3）如图2，连接BE，CA的延长线交BE于点N，当点M到BC的距离最小值时，求出此时△BCN的面积．

【分析】（1）根据平行四边形的性质得出∠BCD＝180°﹣∠B＝180°﹣45°＝135°，再根据折叠的性质得出∠ACB＝∠ACF＝30°，再根据∠FCD＝∠BCD﹣∠ACB﹣∠ACF得出结论即可；
（2）分CF＝FD和CF＝CD两种情况分别求出BC的长度即可；
（3）先得出当BM⊥CE时，点M到BC的距离最小，求出此时△BCN的面积即可．
【解答】解：（1）∵在平行四边形ABCD中，∠ABC＝45°，
∴∠BCD＝180°﹣∠B＝180°﹣45°＝135°，
∵∠ACB＝∠ACF＝30°，
∴∠FCD＝∠BCD﹣∠ACB﹣∠ACF＝135°﹣30°﹣30°＝75°，
即∠FCD的度数为75°；
（2）①若CF＝CD，如图，

延长EA交BC于点G，
此时，∠D＝∠CFD＝45°，
∴∠FCD＝90°，
∵∠BCD＝135°，
∴∠BCE＝∠BCD﹣∠FCD＝45°，
∵∠E＝∠B＝45°，
∴∠EGC＝90°，
即△ABG和△EGC都是等腰直角三角形，
∵AB＝2，
∴AE＝AB＝2，AG＝，
∴EC＝EG＝）＝25，
即BC＝EC＝2；
当CF＝FD时，如图：

此时∠FCD＝∠D＝45°，
∴∠BCE＝90°，
∵∠E＝∠B＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵AB＝2，
∴BC＝2；
综上所述，线段BC的长为2；
（3）过点M作MQ⊥BC于点Q，

∵∠ABC＝45°，
∴△BQM是等腰直角三角形，
∴MQ＝BM，
若要MQ最小，则BM最小即可，
即当BM⊥EC时，BM最小，过点E作ET⊥BC于点T，
∴AS＝AM＝AB＝，
∴MQ＝BQ＝BMBM，
∵ET＝EC＝BM＝3+，
∵△BCE时等腰三角形，CN是∠BCE的角平分线，
∴△BCN的面积是△BCE面积的一半，
即S△BCN＝S△BCE＝＝＝．
【点评】本题主要考查四边形的综合题，熟练掌握平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，翻折的性质等知识是解题的关键．
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