河南省实验中学2023-2024学年高三上学期开学考试数学（文）试题（含答案）

这是一份河南省实验中学2023-2024学年高三上学期开学考试数学（文）试题（含答案），共19页。试卷主要包含了答卷前，考生务必将自己的姓名，考试结束后，将答题卡交回，635等内容，欢迎下载使用。
秘密★启用前2023-2024学年河南省实验中学上期开学考试数学试题卷（文）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名.准考证号码填写在答题卡上。2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。3.考试结束后，将答题卡交回。一、选择题；本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，集合，，则A． B． C． D．2．已知（i是虚数单位），则z=（    ）A．-1 B．1 C．0 D．i3．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边上的一点的坐标为，则（    ）A． B． C． D．4．命题，关于的方程有实数解，则为A．，关于的方程有实数解B．，关于的方程没有实数解C．，关于的方程没有实数解D．，关于的方程有实数解5．若实数x，y满足，则的值不可能为（    ）A．2 B．4 C．9 D．126．已知m､n表示两条不同的直线，表示平面，则下列说法正确的是A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则7．若集合A⊆{1,2,3}，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合A有 (　　)A．3个 B．4个 C．5个 D．6个8．已知是定义在上的函数，其导函数是，且当时总有，则下列各项表述正确的是（    ）A． B． C． D．9．我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数值剩二，七七数之剩二，问物几何？”根据这一数学思想，所以被除余的自然数从小到大组成数列，所有被除余的自然数从小到大组成数列，把和的公共项从小到大得到数列，则（    ）A． B． C． D．10．在正四面体中，异面直线与所成的角为，直线与平面所成的角为，二面角的平面角为，则，，的大小关系为（    ）A． B． C． D．11．已知直线：，圆：，则直线与圆的位置关系一定是（　　）A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定12．已知函数有3个不同的零点，则的取值范围是（    ）A． B．C． D．二、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分13．若双曲线上一点到，两点的距离之差的绝对值为，则双曲线的虚轴长为______.14．已知向量，，，若，则实数______．15．数列满足，且，则数列前10项的和为______.16．已知正三棱锥的棱长为，底面边长为6．则该正三棱锥外接球的表面积为_______．三、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知，且是第二象限角．（1）的值； （2）求的值．18．某公司共有职工1500人，其中男职工1050人，女职工450人．为调查该公司职工每周平均上网的时间，采用分层随机抽样的方法，收集了300名职工每周平均上网时间的样本数据．（1）应收集多少名女职工的样本数据？（2）根据这300个样本数据，得到职工每周平均上网时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为，，，，，，试估计该公司职工每周平均上网时间超过4小时的概率．（3）在样本数据中，有70名女职工的每周平均上网时间超过4小时，请将每周平均上网时间与性别的列联表补充完整，并判断是否有95%的把握认为“该公司职工的每周平均上网时间与性别有关” 男职工女职工合计每周平均上网时间不超过4小时   每周平均上网时间超过4小时 70 合计  300 附：0.050.0100.001 3.8416.63510.828  19．已知长方体中，棱，棱，连结，过点作的垂线交于，交于.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离.20．已知函数．（Ⅰ）若在区间上单调递增，求实数的取值范围；（Ⅱ）设函数有两个极值点、，且，求证：．21．如图，已知点，分别是椭圆的左顶点和右焦点，是轴上一点，且在点左侧，过和的直线与椭圆交于A，B两点，点B关于x轴的对称点为D.(1)求直线斜率的取值范围；(2)记，MD分别与直线FG交于Q，R两点，求面积的最小值.22．已知曲线的参数方程为（参数），以直角坐标系的原点为极点，正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线的极坐标方程；（2）若直线极坐标方程为，求曲线上的点到直线最大距离.23．（），.（1）证明；（2）若不等式对恒成立，求实数b的最大值，的最大值. 文科数学参考答案1．B2．A由复数的运算法则，求得，再由复数的运算性质，即可求解.由复数的运算法则，可得，所以.故选：A.本题主要考查了复数的除法运算，以及复数的运算法则，其中解答中熟记复数的运算法则，准确运算是解答的关键，意在考查推理与运算能力.3．C由任意角三角函数的定义即可求解.解：由题意，因为角的终边上的一点的坐标为，所以，所以，故选：C.4．C利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题，关于的方程有实数解，则为，关于的方程没有实数解．故选：．5．D利用已知条件作出可行域，然后作出目标函数，求出目标函数的范围，逐一对选项筛选即可.作出可行域，如图：解得：即：又解得：即：对于目标函数可化为：的最小值在处取得，最大值在处取得，此时：，即：，其余的三个值都可能取到；故选：D.6．A利用线面平行,线面垂直的判定定理以及性质定理对选项依次分析正误.对于选项A,若,,根据线面垂直的性质,可以推出,故A正确;对于选项B,若,,则或,故B错误;对于选项C,若,,则或,故C错误;对于选项D,若,,则与相交或平行或,故D错误;故选:A.本题考查空间中线线,线面位置关系的判断,需要学生有一定的空间想象及推理能力,对各类判定方法及性质能灵活应用.7．D集合{1,2,3}的子集共有8个，其中至少含有一个奇数的有{1}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，共6个．故选D点睛：本题考查了子集的定义，注意题中限制A中至少有一个奇数，所以用列举法就可以写出符合条件的集合A.8．D设函数，根据题意，求得为单调递增函数，得到，进而得出答案.由题意，设函数，则，因为，可得，所以为单调递增函数，可得，即，所以.故选：D.本题考查了导数的四则运算，以及函数的单调性的应用，其中解答中根据题意，构造新函数，求得的单调性是解答的关键，着重考查构造思想，以及推理与运算能力.9．B根据题意数列、都是等差数列，从而得到数列是等差数列，依次对选项进行判断可得答案.根据题意数列是首项为2，公差为3的等差数列，，数列是首项为2，公差为5的等差数列，，数列与的公共项从小到大得到数列，故数列是首项为2，公差为15的等差数列，.对于A，，，，错误对于B，，，，正确.对于C，，，，，错误.对于D，，，，，错误.故选：B.10．D在正四面体中易证,即，然后作出直线与平面所成的角，二面角的平面角，在将之放到三角形中求解比较其大小.在正四面体中,设棱长为2,设为底面三角形是中心，则平面.取边的中点，连结, 如图.则易证,又.所以平面,又平面，所以.所以异面直线与所成的角为.又平面.所以直线与平面所成的角为在中,,所以.取边的中点，连结，则有，所以二面角的平面角为,在中，由余弦定理有：,即，所以，故选：D.本题考查异面直线成角，线面角，二面角的求法，关键是在立体图中作出相应的角，也可以用向量法，属于中档题.11．C由直线的方程可得直线恒过定点，判断点在圆的内部，从而可得结果．因为直线的方程为，所以直线恒过定点，对于点，因为，所以在圆的内部，则直线与圆一定相交，故选C．本题主要考查直线与圆的位置关系、点与圆的位置关系，以及直线过定点问题，属于基础题．判断直线过定点主要形式有：（1）斜截式，，直线过定点；（2）点斜式直线过定点.12．A解析：求出三次函数的导数，根据导函数正负情况分析单调性和极值，图象要与x轴三个交点，据此得出取值范围.由条件得，令，可得解集为令，可得解集为则在和上单调递增，在上单调递减，又，，要使有3个不同的零点，则，所以.故选：A导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．13．2由得，是双曲线的焦点，由双曲线定义求出可得虚轴长由题意可知，，则，分别是双曲线的左、右焦点，则，解得，从而，虚轴长为.故答案为：2本题考查双曲线的定义与性质，考查推理论证能力与运算求解能力. 在“焦点三角形”中，定义优先考虑是破题关键．14．##0.5先根据向量线性运算的坐标表示求出的坐标，再根据向量数量积的坐标表示结合即可求出λ﹒易得，∵，∴，解得．故答案为：﹒15．利用累加法求出数列的通项公式，进而求出数列的通项公式，再利用等比数列的前n项和公式即可求出结果.∵，且，∴当时，，当时也成立.∴∴∴数列前10项的和为.故答案为：.16．由题意推出球心O到四个顶点的距离相等，利用直角三角形，求出球的半径，即可求出外接球的表面积．解：如图，∵正三棱锥中，顶点在底面的射影为，该正三棱锥外接球的球心设为，因为底面边长为6，所以，∴高．由球心O到四个顶点的距离相等，在直角三角形中，，，由，得，，∴外接球的表面积为：．故答案为：．17．（1）；（2）.（1）根据同角三角函数的平方关系直接求解；（2）利用三角函数诱导公式化简求值.（1）∵，且是第二象限角，∴；（2）∵．本题考查同角三角函数的平方关系、利用三角函数诱导公式进行化简求值，属于基础题.18．（1）90名；（2）0.75；（3）填表见解析；没有．（1）根据分层抽样的比例可得解；（2）利用频率等于频率直方图中的纵坐标乘以组距得到；（3）根据比例完成列联表，计算，查表可得结论.（1）∵，∴应收集90名女职工的样本数据．（2）由频率分布直方图得，∴估计该公司职工每周平均上网时间超过4小时的概率为0.75．（3）由（2）知，300名职工中有人的每周平均上网时间超过4小时．∵有70名女职工每周平均上网时间超过4小时，∴有名男职工每周平均上网时间超过4小时．又∵样本数据中有90个是关于女职工的，∴有个是关于男职工的，∴有名女职工，名男职工的每周平均上网时间不超过4小时．因此每周平均上网时间与性别的列联表如下： 男职工女职工合计每周平均上网时间不超过4小时552075每周平均上网时间超过4小时15570225合计21090300 结合列联表可得，所以没有95%的把握认为“该公司职工的每周平均上网时间与性别有关”．19．（1）证明见解析；（2）.分析：（1）根据三垂线定理证线线垂直，再由线线垂直证明线面垂直；（2）利用线面平行，利用三棱锥的等体积法求高即可．详解：（1）证明：由已知面又 ∴∵面是正方形，∴ ∴∴平面（2）连结到平面的距离，即三棱锥的高，设为，，由得：，∴点到平面的距离是.点睛：本题考查线面垂直的判定及点到平面的距离．利用转化思想与三棱锥的换底性求点到平面的距离是常用方法．20．（Ⅰ）;（Ⅱ）见解析.【试题分析】（1）依据题设运用导数知识分析求解；（2）借助题设条件将不等式进行等价转化，再构造函数运用导数知识分析推证：（Ⅰ）在恒成立，即在恒成立，，，∴．（Ⅱ），，．函数有两个极值点即方程的两个正根，得．．是方程的根，∴，，∴．∵，∴代入上式得．令，，，在上单调递增．，，∴，证毕．点睛：本题以含参数的函数解析表达式为背景与前提，精心设置了两个问题，旨在考查导数工具在研究解决函数的单调性、极值（最值）等方面的综合运用．求解第一问时，依据题设运用导数与函数的单调性之间的关系进行分析求解，从而使得问题获解；解答第二问时，先将问题进行等价转化与化归，然后再构造函数，运用导数知识进行分析推证，最终使得问题巧妙获证，体现了等价转化与化归的数学思想在解决问题的妙用．21．(1)(2) （1）设，其中，得到直线的斜率，即可求解；（2）设直线为，联立方程组得到，求得的方程，得到，，进而求得和，得到，结合基本不等式，即可求解.（1）解：由题意，椭圆，可得，可得，因为是轴上一点，且在点左侧，设，其中，则直线的斜率，即直线斜率的取值范围为.（2）解：设直线的方程为，联立方程组，整理得，设，，可得，由，则，，，所以，，则，又由，则，由，可得，当且仅当时，即时，等号成立，所以面积的最小值是.22．（1）；（2）.（1）利用平方和为1消去参数得到曲线C的直角坐标方程，再利用，整理即可得到答案；（2）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离，加上半径即可得到最大距离.（1）由，得，两式两边平方并相加，得，所以曲线表示以为圆心，2为半径的圆.将代入得，化简得所以曲线的极坐标方程为；（2）由，得，即，得所以直线的直角坐标方程为；因为圆心到直线的距离，所以曲线上的点到直线的最大距离为.本题考查直角坐标方程，参数方程及极坐标方程之间的互化，考查直线与圆的位置关系的应用，属于常考题型.23．（1）证明见解析；（2）b的最大值，的最大值为1.解析：（1）先求出，再利用绝对值三角不等式即可证明；（2）解绝对值不等式，将恒成立问题转化为求最值得问题，即可列出不等式求解.（1）证明：，，，要证明：，只需证明，即需证明，由绝对值不等式得：，故原不等式得证.（2）解：，对一切实数x，；；不等式对恒成立，则有，∴实数b的最大值，对于任意实数a，都有，∴的最大值为1.本题考查利用绝对值三角不等式证明不等式，以及解绝对值不等式处理恒成立问题，属综合中档题.