2022-2023学年重庆市主城区七校高二下学期期末联考数学试题含答案

2022-2023学年重庆市主城区七校高二下学期期末联考数学试题

一、单选题

1．若函数，则（    ）

A． B． C．3 D．4

【答案】B

【分析】先求出，再将代入即可得到答案.

【详解】，则.

故选：B

2．由1，2，3，4这4个数组成无重复数字的四位数且为偶数，共有多少种排法（    ）

A．12 B．24 C．48 D．256

【答案】A

【分析】先排个位数，再对剩余的数进行全排列即可.

【详解】因为四位数为偶数，则个位数字为偶数，共有种可能，

剩余的三个数进行全排列，共有种可能；

所以共有种排法.

故选：A.

3．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据知即为独立做6次试验，发生了4次的概率，即，即可求解.

【详解】根据 知，即为独立做6次试验，发生了4次的概率，

即.

故选：B

4．函数在闭区间上的最大值、最小值分别是（    ）

A．2，0 B． C． D．

【答案】C

【分析】先研究函数在区间上的单调性，再根据单调性求最值即可.

【详解】，解得，

再根据二次函数性质得在上，

在上，所以函数在单调递增，

在单调递减，所以，

，，

所以.

所以函数在闭区间上的最大值、最小值分别是.

故选：C.

5．端午节为每年农历五月初五，又称端阳节、午日节、五月节等.端午节是中国汉族人民纪念屈原的传统节日，以围绕才华横溢、遗世独立的楚国大夫屈原而展开，传播至华夏各地，民俗文化共享，屈原之名人尽皆知，追怀华夏民族的高洁情怀.小华的妈妈为小华煮了8个粽子，其中5个甜茶粽和3个艾香粽，小华随机取出两个，事件A“取到的两个为同一种馅”，事件B“取到的两个都是艾香粽”，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解.

【详解】由题意，，，所以.

故选：B.

6．若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求出导函数，排除，当时得到函数的单调性以及函数的取值范围，再列不等式组求解即可.

【详解】因为

所以

若时恒成立，

在上单调递增，函数不可能有两个不同的零点，不合题意；

所以，只有

时，，函数递减，此时

时，，函数递增，此时，

因为函数有两个不同的零点，

所以

解得

故选：D.

7．2010年广州亚运会结束了，某运动队的7名队员合影留念，计划站成一横排，但甲不站最左端，乙不站最右端，丙不站正中间.则理论上他们的排法有(  )

A．3864种 B．3216种 C．3144种 D．2952种

【答案】B

【分析】根据题意，分3种情况讨论：①、甲在右端，分乙在中间与乙不在中间，再安排丙的位置，最后再将剩余的4个人全排列；②、若甲在中间，分丙在右端与丙不在右端两种，情况同①. ③、若甲不在中间也不在右端，先排甲，有4种方法，再排乙，分乙在中间与乙不在中间，再安排丙的位置，最后再将剩余的4个人全排列；最后由分类计数原理计算可得答案．

【详解】根据题意，分3种情况讨论：

①、甲在右端，若乙在中间，则丙有5个位置可选，再将剩余的4个人全排列，安排在其余的4个位置，有种情况；

甲在右端，若乙不在中间，则乙还有5个位置可选，此时丙还有4个位置可选，再将剩余的4个人全排列，安排在其余的4个位置， 有种情况；两种情况合并，共有种情况；

②、若甲在中间，分丙在右端与丙不在右端两种，情况同①. 共有种情况；

③、若甲不在中间也不在右端，先排甲，有4种方法，再排乙，乙若在中间，则丙有5种排法；乙若不在中间，则乙有4种排法，此时丙有4种排法；最后，将剩余的4个人全排列，安排在其余的4个位置，共有种情况；

综上，则共有种不同的站法．

故选：B.

8．已知a，b为正实数，直线与曲线相切，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用导数求切点坐标，再由切点在直线上可得，结合目标式有，构造并研究单调性，进而求值域即可.

【详解】函数的导数为，则，

∴切点为，代入，得，

、为正实数，即，

∴，令且，

则，即为增函数，

．

故选：D．

二、多选题

9．给出下列命题，其中正确命题是（    ）

A．若样本数据，，…，（数据各不相同）的平均数为2，则样本数据，，…，的平均数为3

B．随机变量的方差为，则

C．随机变量服从正态分布，，则

D．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷两次，用表示出现正面向上的次数，则

【答案】BCD

【分析】利用离散型随机变量的期望的性质判定选项A错误；利用离散型随机变量的方差的性质判定选项B正确；利用正态分布的对称性判定选项C正确；利用二项分布判定选项D正确.

【详解】对于选项A：

由，得：

，

所以选项A错误；

对于选项B：

由，得：

，

所以选项B正确；

对于选项C：

因为随机变量服从正态分布，

所以，

又因为，

则，

由正态分布的对称性可得：

，

故选项C正确；

对于选项D：

将一枚质地均匀的硬币连续抛掷两次，则

正面向上的次数服从二项分布，

所以，

故选项D正确.

故选：BCD.

10．已知，则（    ）

A．的值为2 B．的值为16

C．的值为﹣5 D．的值为120

【答案】ABC

【分析】利用赋值法判断A、C、D；利用通项公式判断B.

【详解】令x＝0，得，故A正确；

，故，B正确；

令x＝1，得①，

又，∴，故C正确；

令x＝﹣1，得②，由①②得：，D错误．

故选：ABC

【点睛】本题主要考查二项展开式的通项公式，以及赋值法的应用，属于基础题,

11．小明与另外2名同学进行“手心手背”游戏，规则是：3人同时随机等可能选择手心或手背中的一种手势，规定相同手势人数多者每人得1分，其余每人得0分，现3人共进行了4次游戏，每次游戏互不影响，记小明4次游戏得分之和为，则下列结论正确的是（    ）

A．每次游戏中小明得1分的概率是 B．的均值是2

C．的均值是3 D．X的标准差是

【答案】ACD

【分析】的可能取值为0，1，2，3，4，利用列举法求出小明每次得1分的概率，从而，由此能求出和．

【详解】3人同时随机等可能选择手心或手背中的一种手势，

规定相同手势人数多者每人得1分，其余每人得0分，

现3人共进行了4次游戏，记小明4次游戏得分之和为，

则的可能取值为0，1，2，3，4，

设其他两位同学为，，小明为，列表得：

共有8种情况，小明得1分结果有6种情况，

小明每次得1分的概率，故A正确；

，，故B错误，C正确；

，X的标准差是，故D正确.

故选：ACD.

12．已知直线y=a与曲线相交于A，B两点，与曲线相交于B，C两点，A，B，C的横坐标分别为x1，x2，x3，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【分析】画出函数图像，得到x1，x2，x3的范围，由得出A正确，由得出B错误，由得出C正确，由得出D正确.

【详解】

在上单调递增，在上单调递减，.

，

在上单调递增，在上单调递减，.

，则，A对.

在上单调递增，

，B错.

在单调递减，，C对.

对.

故选：ACD.

三、填空题

13．对任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围为        .

【答案】

【分析】参变分离可得恒成立，令，求导后判断单调性可求得最大值，从而可解.

【详解】对任意的，不等式恒成立，

只需对任意的，不等式恒成立，

令，则，

所以当时，单调递增，

当时，单调递减，

所以，

所以，即实数a的取值范围为.

故答案为：

14．某市政府调查市民收入增减与旅游需求的关系时，采用独立性检验法抽查了5000人，计算发现，根据这一数据，市政府断言市民收入增减与旅游需求有关的可信度是        %.

附：常用小概率值和临界值表：

【答案】

【分析】由，对照数表即可得出结论.

【详解】由，

对照数表知，市政府断言市民收入增减与旅游变有关系的可信程度是.

故答案为：

15．已知直线是函数与函数的公切线，若是直线与函数相切的切点，则        .

【答案】

【分析】根据导数的几何意义列方程即可求出．

【详解】，

，

，是直线与函数相切的切点，

，，

，

，

即直线的方程为，

，

，

设与的切点坐标为，，

，

切线方程为，

即，

，，

解得，

，

．

故答案为：．

16．有穷数列满足，且成等比数列.若，则满足条件的不同数列的个数为        .

【答案】32

【分析】根据成等比数列，求得的可能取值，由此进行分类讨论，结合，判断出满足条件的不同数列的个数.

【详解】由于，所以或.

由于成等比数列，所以，

所以，故或.

（1）当时，

在中，，

即，都成立；

在中，，

即，

此时不满足或.即不存在数列满足条件.

（2）当时，

在中，，

即，

有个成立，个成立，方法数有种；

在中，，

即，

有个成立，个成立，方法数有种；

故方法数有种.

综上所述，满足条件的不同数列的个数为.

故答案为：32

四、解答题

17．为进一步激发青少年学习中华优秀传统文化的热情，某校举办了“我爱古诗词”对抗赛，在每轮对抗赛中，高二年级胜高三年级的概率为，高一年级胜高三年级的概率为，且每轮对抗赛的成绩互不影响．

(1)若高二年级与高三年级进行4轮对抗赛，求高三年级在对抗赛中至少有3轮胜出的概率；

(2)若高一年级与高三年级进行对抗，高一年级胜2轮就停止，否则开始新一轮对抗，但对抗不超过5轮，求对抗赛轮数X的分布列与数学期望．

【答案】(1)

(2)分布列见解析；期望为

【分析】（1）先求得高三年级胜高二年级的概率，再根据相互独立事件的概率计算公式求解即可；

（2）先确定出X的所有可能取值，分别求出相应概率，从而列出分布列，求得数学期望．

【详解】（1）由题意，知高三年级胜高二年级的概率为．

设高三年级在4轮对抗赛中有x轮胜出，“至少有3轮胜出”的概率为P，则

．

（2）由题意可知，3，4，5，

则，

，

，

，

故X的分布列为

．

18．已知函数.

(1)当时，求函数的单调区间；

(2)若函数在区间上取得最小值4，求m的值.

【答案】(1)单调增区间为，单调减区间为

(2)

【分析】（1）代入的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；

（2）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最小值即可．

【详解】（1））当时，，

，

时，，时，，

的单调增区间为，单调减区间为；

（2）由，

令，得，，

①当，即时，由，，知，

则在，上单调递增，

从而，可得，不符合题意；

②当，即时，由，，知，

则在，上单调递减，从而，可得，符合题意；

③当时，由，知在，上单调递减，，上单调递增，

从而，解答，不符合题意；

综上，

19．某种产品的广告费支出与销售额 (单位：万元）具有较强的相关性，且两者之间有如下对应数据:

（1）求关于的线性回归方程；

（2）根据（1）中的线性回归方程，当广告费支出为10万元时，预测销售额是多少？

参考数据： ，，．

附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

，.

【答案】（1）（2）当广告费支出为10万元时，预测销售额大约为.

【分析】（1）利用公式和题目中的数据，先求样本中心，代入方程直接求解．

（2）根据第一问的方程，当时代入求解．

【详解】：（1），      

，  

因此所求回归直线方程为

（法二：利用前半个公式求解相应给分）

(2)当时，           

答：当广告费支出为10万元时，预测销售额大约为.

【说明：没有答题和估计的扣两分】

【点睛】：回归直线方程必过样本中心．回归直线及回归系数是一个近似值，只能大致的（不能精确）反映变量的取值和变化趋势．

20．已知函数.

(1)讨论函数的单调性；

(2)设（为自然对数的底数），当时，对任意，存在，使，求实数的取值范围.

【答案】(1)分类讨论，答案见解析；

(2).

【分析】（1）求出函数的导数，再分类讨论求出函数的单调区间作答.

（2）利用（1）的结论求出在上的最大值，再利用给定条件，构建不等式并分离参数，构造函数，求出函数最大值作答.

【详解】（1）函数的定义域为，求导得，

而，当时，由得，由得，

因此函数在上单调递减，在上单调递增，

当时，由得，由得，

因此函数在上单调递减，在上单调递增.

（2）当时，由（1）知，函数在上单调递减，而，则，

任意，存在，使等价于，恒成立，

则有，成立，令，

则，当时，，当时，，

即有在上单调递增，在上单调递减，，

因此当时，最大值为，则，

所以实数的取值范围是.

21．某商城玩具柜台元旦期间促销，购买甲、乙系列的盲盒，并且集齐所有的产品就可以赠送元旦礼品．而每个甲系列盲盒可以开出玩偶，，中的一个，每个乙系列盲盒可以开出玩偶，中的一个．

（1）记事件：一次性购买个甲系列盲盒后集齐，，玩偶；事件：一次性购买个乙系列盲盒后集齐，玩偶；求概率及；

（2）礼品店限量出售甲、乙两个系列的盲盒，每个消费者每天只有一次购买机会，且购买时，只能选择其中一个系列的一个盲盒．通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为；而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为；前一次购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为；如此往复，记某人第次购买甲系列的概率为．

①；

②若每天购买盲盒的人数约为100，且这100人都已购买过很多次这两个系列的盲盒，试估计该礼品店每天应准备甲、乙两个系列的盲盒各多少个．

【答案】（1），；（2）①；②应准备甲系列盲盒40个，乙系列盲盒60个．

【分析】（1）根据题意，集齐，，玩偶的个数可以分三类情况：，， 玩偶中，每个均有出现两次、，， 玩偶中，一个出现一次，一个出现两次，一个出现三次、，， 玩偶中，两个出现一次，另一个出现四次讨论计算，并根据古典概率计算即可；对于，先考虑一次性购买个乙系列盲盒没有集齐，玩偶的概率再求解.

（2）①根据题意，，当时，，再根据数列知识计算即可；

②由①得购买甲系列的概率近似于，故用表示一天中购买甲系列盲盒的人数，则，再根据二项分布的期望计算即可.

【详解】解：（1）由题意基本事件共有：种情况，

其中集齐，，玩偶的个数可以分三类情况，

，， 玩偶中，每个均有出现两次，共种；

，， 玩偶中，一个出现一次，一个出现两次，一个出现三次，共种；

，， 玩偶中，两个出现一次，另一个出现四次，共种；

故.

根据题意，先考虑一次性购买个乙系列盲盒没有集齐，玩偶的概率，即，

所以.

（2）①由题意可知：，当时，，

∴，

所以是以为首项，为公比的等比数列，

∴，

②因为每天购买盲盒的100人都已购买过很多次，

所以，对于每一个人来说，某天来购买盲盒时，可以看作n趋向无穷大，

所以购买甲系列的概率近似于，假设用表示一天中购买甲系列盲盒的人数，则，

所以，即购买甲系列的人数的期望为40，

所以礼品店应准备甲系列盲盒40个，乙系列盲盒60个．

【点睛】本题考查排列组合，数列递推关系，二项分布的数学期望等，考查运算求解能力，是中档题.本题第一问解题的关键在于根据题意，分类计数，注意考虑全面，避免重漏，第二问解题的关键在于根据题意得关于的递推关系，进而利用数列知识求解.

22．已知函数

(1)当，求的最小值；

(2)令，若存在，使得，求证：.

【答案】(1)1

(2)证明见详解

【分析】（1）求出导函数，由的正负确定的单调区间和最值；

（2）求出，由导数确定的单调性和最值，从而得出的范围，由的关系，设，整理得，构建函数，利用导数得出新函数的单调性和符号，结合对数函数的性质得证不等式成立．

【详解】（1）由题意可得：，且的定义域为，

则，

因为在上单调递增，

可得在上单调递增，且，

当时，；当时，；

则在上单调递减，在上单调递增，

所以的最小值为.

（2）由题意可得，

则，

令，解得；令，解得；

则在上单调递增，在上单调递减，

所以，当x趋近于时，趋近于0，

若存在，使得，则，

则，令，

可得，整理得，

则，

构建，则，

可知在上单调递增，可得，

且当时，则，所以当时恒成立，

即，则，

整理得（得证）.

【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤

（1）作差或变形；

（2）构造新的函数h(x)；

（3）利用导数研究h(x)的单调性或最值；

（4）根据单调性及最值，得到所证不等式．

特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．