2022-2023学年内蒙古呼伦贝尔市满洲里市第一中学高二下学期期末考试数学（文）试题含答案

2022-2023学年内蒙古呼伦贝尔市满洲里市第一中学高二下学期期末考试数学（文）试题

一、单选题

1．在复平面中，复数（为虚数单位）对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】利用复数的除法化简所求复数，利用复数的几何意义可得出结论.

【详解】因为，该复数在复平面内对应的点位于第四象限.

故选：D.

2．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】解一元二次不等式化简集合，根据函数的定义域及解对数不等式化简集合，由交集运算即可求解.

【详解】由，解得，故.

由，可得，故，

则.

故选:C.

3．下列函数中，在区间上单调递增的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可.

【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减，

所以在上单调递减，故A错误；

对于B，因为在上单调递增，在上单调递减，

所以在上单调递减，故B错误；

对于C，因为在上单调递减，在上单调递减，

所以在上单调递增，故C正确；

对于D，因为，，

显然在上不单调，D错误.

故选：C.

4．函数的图象大致是（    ）

A．   B．  

C．   D．  

【答案】D

【分析】根据函数的奇偶性及零点个数排除即可.

【详解】易知的定义域为，且,

所以函数为奇函数，故排除AB.

令，可得,解得,

所以在上只有一个零点，故排除C,

故D正确.

故选:D.

5．函数的值域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出函数的取值集合，再利用指数函数的单调性求解作答.

【详解】函数定义域为R，，又函数在R上单调递减，则，

所以函数的值域为.

故选：A

6．设是定义域为的奇函数，且，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用奇函数的性质与题设条件推得的周期为2，从而利用的周期性即可得解.

【详解】因为是定义域为的奇函数，

所以，则，

故的周期为2，

所以，

故选：C．

7．下列说法正确的有（    ）

A．命题“”的否定为“”

B．命题“若，则”的否命题为“若，则”

C．若幂函数在区间上是减函数，则

D．方程有一个正实根，一个负实根，则

【答案】D

【分析】根据命题的否定、否命题、幂函数、方程的根等知识对选项进行分析，由此确定正确答案.

【详解】A选项，命题“”的否定为“”， A选项错误.

B选项，命题“若，则”的否命题为“若，则”，

B选项错误.

C选项，由于函数是幂函数，

所以，解得或，

当时，函数为，在区间上不是减函数，

当时，函数为在区间上是减函数，

所以的值为，所以C选项错误.

D选项，方程有一个正实根，一个负实根，

由两根之积小于0可得，所以D选项正确.

故选：D

8．设函数，则“”是“在上单调递增”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】运用复合函数单调性求得a的范围，再运用集合的包含关系即可求得结果.

【详解】因为在上单调递增，

所以由复合函数的单调性可知，，

所以“”是“”的充分不必要条件，

故选：A.

9．函数的零点所在区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用零点存在性定理计算即可.

【详解】由， 在 上均递减，

所以在上递减，又，，所以零点所在区间为.

故选：C．

10．已知函数是定义在区间上的函数，且在该区间上单调递增，则满足的x的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由已知有，即可求取值范围.

【详解】因为函数是定义在区间上的增函数，满足，

所以，解得.

故选：D

11．已知函数，，若，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】判断出函数是偶函数，且在区间上单调递增，然后比较、、三个数的大小，由此可得出、、的大小关系.

【详解】因为，该函数的定义域为，

，所以函数为偶函数，故，

当时，，

任取，，则，，所以，

所以，，即，

所以函数在上单调递增，

又，由可得，故，

则，即.

故选：A.

12．设函数，若实数a，b，c满足，且．则下列结论不能恒成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】作出函数的图象，根据给定条件确定的范围，再逐项分析判断作答.

【详解】函数在、上单调递减，在上单调递增，当时，恒成立，如图，

由，，，得，且，即，

对于A，由，得，A正确；

对于B，由，得，又，则，当，即时，

有，而函数在上单调递减，此时，B错误；

对于C，由，得，对勾函数在上单调递减，则，

又函数在上单调递减，因此，C正确；

对于D，由，得，对勾函数在上单调递减，则，D正确.

故选：B

【点睛】关键点睛：涉及分段函数不同自变量值对应的函数值相等问题，分析函数的性质，作出函数图象是求解的关键.

二、填空题

13．已知，，用a，b表示       ．

【答案】

【分析】根据对数的运算性质，化简即可得出答案.

【详解】因为，

所以，.

故答案为：.

14．函数的单调递减区间是        .

【答案】

【分析】根据复合函数单调性同增异减来求得正确答案.

【详解】在上单调递减，

在上单调递减，在上单调递增，

根据复合函数单调性同增异减可知，

函数的单调递减区间是.

故答案为：

15．已知定义在上的函数，对任意实数有，若函数的图象关于直线对称，，则      ．

【答案】0

【分析】由函数的图象关于直线对称，可得为偶函数，再由可得函数的周期为8，然后利用周期结合已知可求得答案.

【详解】由函数的图象关于直线对称可知，

函数的图象关于轴对称，故为偶函数．

由，得，

所以是周期的偶函数，

所以，

故答案为：0

16．已知函数，是的导函数，若，不等式恒成立，则实数a的取值范围是      ．

【答案】

【分析】利用基本不等式判断出，则在上递增，求得的最小值，由此化简不等式，进而求得的取值范围.

【详解】由题可知，

两处等号不能同时取到，所以，

在R上单调递增．

，

当且仅当时等号同时成立，所以．

又，所以，解得．

故答案为：

【点睛】关键点点睛：求解不等式恒成立问题，可先求得不等式含的一侧的最值（用导数或基本不等式），然后利用函数的单调性来对问题进行求解.利用基本不等式求最值时，要注意等号成立的条件.

三、解答题

17．已知函数是定义在上的奇函数，当时，．

(1)求时，的解析式；

(2)求不等式的解集．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由奇函数的性质可得出，当时，，即可得出在上的解析式；

（2）分、、解不等式，综合可得出不等式的解集.

【详解】（1）解：是定义在上的奇函数，则，

当时，，则，所以，．

（2）解：当时，．

当时，，可得或，解得；

当时，，可得，解得．

综上所述，不等式的解集为.

18．已知函数.

(1)当时，求的解集；

(2)求函数在区间上的最小值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）直接解一元二次不等式；

（2）先求出对称轴，然后分，和三种情况求其最小值.

【详解】（1）当时， 不等式，即，解得.

所以不等式的解集为.

（2）易知的对称轴为，则

①当时，在上单调递增，则.

②当时，在上单调递减，在上单调递增，则

③当时，在上单调递减，则

综上.

19．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．

(1)求曲线的极坐标方程；

(2)若直线与曲线交于两点，求．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先化参数方程为直角坐标方程，然后将代入整理即可.

（2）联立直线和（1）中的极坐标方程，结合韦达定理求解.

【详解】（1）由可得，

将代入可得，，

整理可得，即为曲线的极坐标方程.

（2）和联立可得，，

设对应得极径分别为，根据韦达定理，，

于是

20．某电视厂家准备在“五一”举行促销活动，现在根据近七年的广告费与销售量的数据确定此次广告费支出．广告费支出x（单位：万元）和销售量y（单位：万台）的数据如下：

（1）若用线性回归模型拟合y与x的关系，求出y关于x的回归方程．

（2）若用模型拟合y与x的关系，可得回归方程，经计算线性回归模型和该模型的分别约为0.75和0.88，请用说明选择哪个回归模型更好．

（3）已知利润z（单位：万元）与x，y的关系为．根据（2）的结果回答：当广告费时，销售量及利润的预测值是多少？（精确到0.01）

参考数据：．

参考公式：线性回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为．

【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）销售量的预测值（万台），利润的预测值（万元）．

【分析】（1）根据回归直线方程计算公式，计算出回归直线方程.

（2）通过比较来说更好.

（3）先求得销售量y的预测值，然后求得利润的预测值.

【详解】（1）由题意得，，，，

，

，

∴y关于x的经验回归方程为．

（2）因为越接近于1，模型的拟合效果越好，所以选用回归模型更好．

（3）当广告费时，销售量y的预测值（万台），

故利润z的预测值（万元）．

21．已知函数.

(1)若，求的极值；

(2)若函数在区间上单调递增，求的取值范围.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，求解极值即可；

（2）在上单调递增转化为在上恒成立，分离参数，构造函数，利用二次函数求解最值即可求解.

【详解】（1）当时，，

则，

由，得或，由，得，

则在和上单调递增，在上单调递减，

故，；

（2）因为，所以，

因为函数在区间上单调递增，所以在上恒成立，

即在上恒成立，

设，

又，

因为，所以，所以，

所以，所以，

故的取值范围是.

22．在直角坐标系中，是过且倾斜角为的一条直线，又以坐标原点为极点，的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

(1)写出直线的参数方程，并将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)若直线与曲线在轴的右侧有两个交点，过点作的平行线，交于两点，求证：．

【答案】(1)（为参数），

(2)证明见解析

【分析】（1）根据直线的参数方程的一般形式得到直线的参数方程，再由二倍角公式及得到曲线的直角坐标方程；

（2）把的参数方程代入的普通方程，根据直线的参数方程中参数的几何意义得到，求出直线的参数方程，同理得到，即可得证.

【详解】（1）因为直线是过且倾斜角为的一条直线，

所以可得直线的参数方程为（为参数），

因为曲线的极坐标方程为，所以，

所以，即，

由，可得曲线的直角坐标方程为．

（2）把的参数方程代入的普通方程中得，

则，

又直线的参数方程为（为参数），

代入的普通方程中得：，可得，

所以.