2022-2023学年四川省泸州市泸县第五中学高二下学期期末数学（文）试题含答案

2022-2023学年四川省泸州市泸县第五中学高二下学期期末数学（文）试题

一、单选题

1．命题“”的否定是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题，即可得出答案.

【详解】解：因为命题“”，

所以其否定为：“”.

故选：B.

2．若复数满足，则的虚部为（    ）

A． B． C．4 D．

【答案】A

【分析】利用复数的运算法则和虚部的定义即可得出．

【详解】由复数满足，得

所以复数的虚部为．

故选：．

【点评】本题考查了复数的运算法则和虚部的定义，属于基础题．

3．具有线性相关关系的变量x，y的回归方程为＝2－x，则下列选项正确的是（    ）

A．变量x与y是函数关系 B．变量x与y呈正相关关系

C．当x＝4时，y的预测值为2 D．若x增加1个单位，则y减少1个单位

【答案】D

【分析】结合回归分析逐项分析判断即可.

【详解】变量x与y是相关关系，不是函数关系，所以A不正确；

变量x与y呈负相关关系，所以B不正确；

当x＝4时，y的预测值为－2，所以C不正确；

若x增加1个单位，则y减少1个单位，所以D正确；

故选：D.

4．已知一组数据的平均数为，标准差为，则数据的平均数和方差分别为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据平均数和方差公式计算可得答案.

【详解】平均数为，

方差为

，

故选：C.

5．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】设，用导数法可得，从而有，可得确定选项.

【详解】设，

所以，

当时，，当时，，

所以，

所以，

所以，

所以，排除B，C，D.

故选A

【点睛】本题主要考查由函数的解析式识别函数图象，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.

6．用反证法证明“若，则至少有一个为0”时，假设正确的是（    ）

A．全不为0 B．全为0

C．中至少有一个不为0 D．中只有一个为0

【答案】A

【分析】假设结论的反面成立即可，

【详解】结论的反面是：全不为0．

故选：A．

7．曲线在点处的切线方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由导数的几何意义与点斜式方程求解即可

【详解】因为，所以，

则当时，，

故曲线在处的切线方程为，

整理得，

故选：B

8．已知函数若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由已知，函数的图象有两个公共点，画图可知当直线介于 之间时，符合题意，故选B.

【解析】函数与方程，函数的图象.

【详解】9．甲、乙、丙、丁四名同学被推荐参加背诵唐诗宋词名篇比赛活动，为了了解他们背诵的情况，老师问询了这四名学生，有如下答复：①甲说：“乙比丁背的少”；②乙说：“甲比丙背的多”；③丙说：“我比丁背的多”：④丁说：“丙比乙背的多”．若四名同学能够背诵古诗数各不相同，而且只有背诵名篇最少的一个说了真话，则四名同学按能够背诵的名篇数量由多到少顺序依次为（    ）

A．丁、乙、丙、甲 B．丁、丙、乙、甲

C．甲、丁、丙、乙 D．丁、丙、甲、乙

【答案】A

【分析】根据只有一人说法正确，逐个进行假设找到矛盾即可分析得到答案

【详解】因为四名同学只有一人说的正确 ，

所以不妨先假设甲说的是正确的，其他都是错误的，则甲最少，乙比丁背的少，甲比丙背的少，丙比丁少，丙比乙少，此时顺序为：丁、乙、丙、甲，

假设乙正确，其他错误，则乙最少，根据①知，乙比丁多，矛盾，所以乙错误，

假设丙正确，其他错误，则丙最少，根据②知，甲比丙少，矛盾，所以丙错误，

假设丁正确，其他错误，则丁最少，根据③知，丙比丁少，矛盾，所以丁错误，

综上，甲说的是正确的，且顺序为：丁、乙、丙、甲，

故选：A

10．若双曲线E：1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣4）2+y2＝16所截得的弦长为4，则E的离心率为（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】A

【分析】由题意可设双曲线的一条渐近线方程为bx+ay＝0，由圆心到直线的距离公式可得d，再利用勾股定理，半弦长和点到直线的距离，和半径的关系得到弦长为即可求出.

【详解】设双曲线的一条渐近线方程为bx+ay＝0，

则圆心（4，0）到该直线的距离d，

由题意可得弦长为：，

即，得，

即离心率

∴E的离心率为2．

故选：A．

【点睛】本题考查圆与双曲线的综合，考查点到直线距离公式的应用及圆的弦长计算，属于一般题.

11．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设，结合导数可求出函数的单调性，由，即可判断的大小关系.

【详解】设，则，令，得，，得，

所以在上单调递增，在上单调递减.

由题意可知，因为，所以，故选: A.

【点睛】本题考查了函数单调性的判断，考查了运用单调性比较数据大小.本题的关键是构造函数.

12．已知函数在区间内任取两个实数，，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A．， B．， C．， D．，

【答案】C

【分析】依题意知，设，不等式恒成立等价于恒成立，构造函数，可得在单调递增，求出，转化为在恒成立，分离参数，利用二次函数的单调性与最值即可求得实数的取值范围．

【详解】设，不等式恒成立，

等价于恒成立，

设，

则在上为增函数，

，

，

，又恒成立，

整理得：恒成立，

函数的对称轴方程为，

该函数在区间上单调递增，

，

．

故选：．

【点睛】本题考查函数恒成立问题，将不等式恒成立等价转化为为增函数是解决问题关键，考查化归思想与理解应用能力，属于中档题．

二、填空题

13．某病毒实验室成功分离培养出奥密克戎BA．1病毒60株、奥密克戎BA．2病毒20株、奥密克戎BA.3病毒40株，现要采用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为30的样本，则奥密克戎BA．3病毒应抽取      株.

【答案】10

【分析】计算该层所占的比例，再乘以总人数得出结果.

【详解】由题意可知，奥密克戎BA.3病毒应抽取株.

故答案为：10.

14．若函数在处有极小值，则实数等于          .

【答案】1

【分析】由f（x）＝ax3﹣2x2+a2x，知f′（x）＝3ax2﹣4x+a2，由f（x）在x＝1处取得极小值，知f′（1）＝3a﹣4+a2＝0，由此能求出a，再根据条件检验即可.

【详解】∵f（x）＝ax3﹣2x2+a2x，

∴f′（x）＝3ax2﹣4x+a2，

∵f（x）＝ax3﹣2x2+a2x在x＝1处取得极小值，

∴f′（1）＝3a﹣4+a2＝0，

解得a＝1或a＝﹣4，

又当a=-4时，f′（x）＝-12x2﹣4x+16=-4（x-1）(3x+4)，此时f（x）在（上单增，在（1，上单减，所以x=1时取得极大值，舍去；

又a=1时，f′（x）＝3x2﹣4x+1=（x-1）(3x-1)，此时f（x）在（上单减，在（1，上单增，符合在x＝1处取得极小值，

所以a＝1．

故答案为1

【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值的问题，属于基础题．解题时要认真审题，仔细解答．易错点是容易产生增根．

15．《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑（biē nào）．已知四面体为鳖臑，平面，且，若此四面体的体积为1，则其外接球的表面积为          ．

【答案】

【分析】由已知，可根据题意，设，然后根据体积为1，求解出，然后把鳖臑的外接球可还原在以为长宽高的长方体中，可根据长方体的外接球半径是其体对角线的一半求解出外接球半径，从而求解外接球表面积.

【详解】由已知，因为平面，可令，

所以，所以，

所以，

由已知，鳖臑的外接球可还原在以为长宽高的长方体中，设其外接球半径为，

所以其外接球的半径，

所以其外接球的表面积.

故答案为：.

16．已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于、两点，在处的切线与的准线交于点，连接．若，则的最小值为          ．

【答案】

【分析】设点、，分析可知抛物线在点处的切线方程为，且直线与轴不重合，设直线的方程为，联立直线与抛物线的方程，列出韦达定理，证明出，，，可求出的值，利用基本不等式可求得的最小值.

【详解】抛物线的准线为，抛物线的焦点为，如下图所示：

设点、，接下来证明出抛物线在点处的切线方程为，

联立可得，可得，

所以，抛物线在点处的切线方程为，

所以，直线的方程为，

若与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，

设直线的方程为，

联立可得，

，由韦达定理可得，，

在直线的方程中，令可得，可得，

即点，，

，

所以，，即，

因为，

当时，因为，则，则；

当轴时，则，直线的方程为，

联立可得，解得，取点、，

此时，直线的方程为，即，

在直线的方程中，令可得，即点，

所以，，则，则，此时，.

综上所述，，.

因为，则，

又因为，所以，，

所以，，即，

因此，，

当且仅当时，即当时，等号成立，

故的最小值为.

故答案为：.

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：

一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；

二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值.

三、解答题

17．已知函数.求：

(1)曲线在点处的切线方程；

(2)函数在区间上的最值.

【答案】(1)

(2)最大值为1，最小值为.

【分析】（1）求出函数的导数，结合切点和斜率求出切线方程；

（2）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，求出函数的极值，最值.

【详解】（1），则，

，切点是，

故切线方程是，即；

（2）令，解得：或，

，，在的变化如下：

在和上单调递增，在上单调递减，

最大值是，又，，

在的最大值是，

在在最小值是.

18．某社会机构为了调查对跑步的兴趣程度与年龄的关系，通过问卷调查，整理数据得如下列联表：

（1）根据列联表，能否有90%的把握认为对跑步的兴趣程度与年龄有关；

（2）若从35岁以下的被调查者中用分层抽样的方式抽取5人，现从这5人被调查者中随机选取3人，求这3名被调查者中恰有1人对跑步不感兴趣的概率．

参考公式及数据：．

【答案】（1）没有；（2）.

【分析】（1）根据表中的数据利用公式求解，然后根据临界值表得出结论，

（2）由分层抽样的定义求得抽取的5人中有3人对跑步很感兴趣，有2人对跑步无兴趣，然后利用列举法求解即可

【详解】解：（1），

所以没有90%的把握认为对跑步的兴趣程度与年龄有关．

（2）由题知35岁以下的被调查者中用分层抽样的方式抽取的5人中有3人对跑步很感兴趣，设为，有2人对跑步无兴趣，设为．从中随机选取3名的基本事件有，，共10个．

其中恰有1个的有，共6个．

所以这3名被调查者中恰有1人对跑步不感兴趣的概率为．

19．如图，在四边形中，，，点在上，且，，现将沿折起，使点到达点的位置，且.

（1）求证：平面平面；

（2）求三棱锥的体积.

【答案】（1）见解析； （2）.

【分析】（1）根据折叠前后关系得PC⊥CD，根据平面几何知识得BE//CD，即得PC⊥BE，再利用线面垂直判定定理得EB⊥平面PBC，最后根据面面垂直判定定理得结论，（2）先根据线面垂直EB⊥平面PBC得高，再根据等积法以及三棱锥体积公式得结果.

【详解】（1）证明：∵AB⊥BE，AB⊥CD，∴BE//CD，

∵AC⊥CD，∴PC⊥CD，∴PC⊥BE，

又BC⊥BE，PC∩BC=C，

∴EB⊥平面PBC，

又∵EB平面DEBC，∴平面PBC 平面DEBC；

（2）解法1：∵AB//DE，结合CD//EB 得BE=CD=2，

由（1）知EB⊥平面PBC，∴EB⊥PB，由PE得,

∴△PBC为等边三角形，  ∴,

∴ .

解法2：∵AB//DE，结合CD//EB 得BE=CD=2，

由（1）知EB⊥平面PBC，∴EB⊥PB，由PE，

得,  ∴△PBC为等边三角形，

取BC的中点O，连结OP，则,∵PO⊥BC，∴PO⊥平面EBCD，

∴ .

【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.

(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.

(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.

(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.

20．已知椭圆的长轴长与短半轴长之比为，且点在椭圆C上．

(1)求椭圆C的方程；

(2)直线与x轴，椭圆C依次相交于三点，点M为线段上的一点，若，求（O为坐标原点）面积的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意得，求解出，从而可得椭圆方程；

（2）将直线方程代入椭圆方程化简，设，，利用根与系数的关系，设，则得，表示出，从而可表示出的面积，再由的范围可求得结果.

【详解】（1）根据题意得，解得，

所以椭圆C的方程为．

（2）由题意得，，

将直线l的方程代入椭圆C的方程，整理得：，

，

由得，，

设，，由韦达定理可得，

设，

所以，，即，

所以，

所以的面积．

因为，

所以的面积．

【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是由求出，从而可表示出的面积，考查数学计算能力和数学转化思想，属于较难题.

21．已知函数，.

（1）若，求证：当时，

（2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）求得函数的导函数，利用分析法，结合取对数运算，证得不等式成立.（2）构造函数，利用导数求得的最小值，利用最小值为非负数列不等式，由此求得的取值范围.

【详解】（1）证明：当时，，则

欲证，即，

故只需证明，两边取对数，即证，，

该不等式显然成立，从而当时，.

（2）解：恒成立，即恒成立

设，则，

只需讨论函数，

因为，所以单调递增，

，欲取一点，使得，

，

因此，取

因此在之间存在唯一零点，得，

则，

故在上单调递减，在上单调递增，

所以，

设，，则只需，即，

此时，由此可得实数a的取值范围是.

【点睛】本小题主要考查利用导数证明不等式，考查利用导数求解不等式恒成立问题，考查分析法证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，综合性较强，属于中档题.

22．已知曲线C的极坐标方程为，以极点为平面直角坐标系的原点O，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系．

（1）求曲线C的普通方程；

（2）为曲线C上两点，若，求的值．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由极坐标与直角的互化公式，代入极坐标方程，即可求得曲线C的普通方程；

（2）由，设，则的点坐标为，结合曲线的极坐标方程和三角函数的基本关系式，即可求解的值.

【详解】（1）由曲线C的极坐标方程为，可得，

将代入，可得

可得曲线C的普通方程为.

（2）因为，所以，

因为，设，则的点坐标为，

所以

.

【点睛】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及曲线的极坐标方程的应用，其中解答中熟记极坐标与直角坐标的互化公式，以及极坐标方程的几何意义是解答的关键，着重考查推理与运算能力.

23．已知函数．

(1)解关于x的不等式；

(2)记的最小值为m，若a、b、c都是正实数，且，求证：．

【答案】(1)不等式的解集为或；

(2)证明见解析.

【分析】（1）化简函数解析式，分、、三种情况解不等式，综合可得出原不等式的解集；

（2）由已知可得，利用柯西不等式即可证得原不等式成立.

【详解】（1）由，可得，

当时，由，解得，此时；

当时，，此时不等式无解；

当时，由，解得，此时.

综上所述，不等式的解集为或.

（2）由绝对值三角不等式可得，

当且仅当时等号成立，

所以的最小值为，故，

由题意可知，正实数、、满足，

由柯西不等式可得，

当且仅当时，等号成立，故原不等式得证.