2024宜宾叙州区二中高二上学期开学考试数学试题含解析

叙州区二中2023年秋期高二开学考试

数学试题

本试卷共4页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．

第I卷 选择题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 从某年级500名学生中抽取60名学生进行体重的统计分析，就这个问题来说，下列说法正确的是（    ）

A. 500名学生是总体

B. 每个被抽取的学生是个体

C. 抽取的60名学生的体重是一个样本

D. 抽取的60名学生的体重是样本容量

【答案】C

【解析】

【分析】根据抽样中总体，个体，样本，样本容量的概念进行判断.

【详解】由题可知，从某年级500名学生中抽取60名学生进行体重的统计分析，

其中总体是该年级500名学生的体重，个体是每名学生的体重，

样本是抽取的60名学生的体重，样本容量是60，故只有C选项正确.

故选：C.

【点睛】本题考查对总体，个体，样本，样本容量的理解，属于基础题.

2. 若（是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值是（    ）

A.  B. 0 C. 1 D. 2

【答案】D

【解析】

【分析】根据复数的运算法则化简得到，再由是纯虚数，列出方程，即可求解.

【详解】由题意，复数，

因为是纯虚数，所以且，解得.

故选：D.

3. 已知向量，满足，，则与的夹角为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由向量垂直可知数量积等于0，从而可求出与的夹角.

【详解】由可得，

则，

又，则，

所以与的夹角为.

故选：B.

4. 已知的内角的对边分别为，若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】直接利用正弦定理求解即可.

【详解】由正弦定理，得.

故选：A.

5. 函数的图像关于直线对称，则可以为（    ）

A.  B.  C.  D. 1

【答案】C

【解析】

【分析】的对称轴为，化简得到得到答案.

【详解】

对称轴为：

当时，取值为.

故选:C.

6. 在正三棱柱中，，点为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】作出异面直线与所成角，利用余弦定理求得该角的余弦值.

【详解】根据正三棱柱的性质可知，

所以是异面直线与所成角，设，

在三角形中，，

由余弦定理得.

故选：C

7. 若三角形三边长分别为a，b，c，则三角形的面积为，其中，这个公式被称为海伦—秦九韶公式.已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，a＝6，则面积的最大值为（    ）

A. 8 B. 12 C. 16 D. 20

【答案】B

【解析】

【分析】根据海伦-秦九韶公式化简得，再利用基本不等式求最值.

【详解】在中，因为，所以，又a＝6，所以，

可得，且，

故的面积，

当且仅当，即时取等号，

故面积的最大值为12.

故选：B

8. 在平面上有及内一点O满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为a，b，c，现有则O为的（    ）

A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心

【答案】B

【解析】

【分析】利用三角形面积公式，推出点O到三边距离相等

【详解】记点O到AB、BC、CA的距离分别为，，，，因为，则，即，又因为，所以，所以点P是△ABC的内心.

故选：B

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 已知一组数据为，，，，，，则该组数据的（    ）

A. 众数是 B. 平均数是 C. 第百分位数是 D. 方差是

【答案】AB

【解析】

【分析】根据众数、平均数、百分位数和方差的计算方法直接求解可得结果.

【详解】对于A，出现频率最高，众数为，A正确；

对于B，平均数，B正确；

对于C，将数据按照从小到大顺序排序为：，，，，，，

，第百分位数为，C错误；

对于D，方差，D错误.

故选：AB.

10. 设函数，则下列结论正确的是（    ）

A. 的最小正周期为

B. 图象关于直线对称

C. 的一个零点为

D. 的最大值为

【答案】ABC

【解析】

【分析】先化简，得到，再根据三角函数的图像和性质对四个选项一一验证.

【详解】函数.

对于A：的最小正周期为.故A正确；

对于B：，所以的图象关于直线对称.故B正确；

对于C：，所以是的一个零点.故C正确；

对于D：函数,所以的最大值为2.故D错误.

故选：ABC

11. 如图，已知在正方体中，和分别为和的中点，则（    ）

A. 直线与为异面直线

B. 正方体过点，的截面为三角形

C. 直线垂直平面

D. 平面平行于平面

【答案】AD

【解析】

【分析】根据异面直线的定义，判断A；

根据平面的公里，以及结合图形，即可求截面，判断B；

根据线面垂直的定义，判断C；

根据面面平行的判断定理，判断D.

【详解】A .由异面直线的定义可知，直线与为异面直线，故A正确；

B.因为点是的中点，所以点在平面,，所以点在平面,所以截面为平行四边形，故B错误；

C．连结，因为,所以四边形是矩形，不是菱形，所以对角线与也不垂直，由B可知，直线不垂直于平面故C错误；

D.因为，平面，平面,所以平面，同理平面,且，平面，平面，所以平面平行于平面，故D正确.

故选:AD

12. 已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：

①；

②，当时，都有；

③.

则下列结论中正确的是（    ）

A.

B. 若，则

C. ，，使得

D. 若，则

【答案】BCD

【解析】

【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，根据单调性判断A，根据单调性与奇偶性将函数不等式转化为自变量的不等式，即可判断B，求出函数的最大值，即可判断C，根据函数的取值情况分类讨论，求出不等式的解集，即可判断D.

【详解】解：因为，，所以函数为偶函数，

又，当时，都有，所以在上单调递减，

根据偶函数的对称性可知函数在上单调递增，

又，所以，所以当或时，当时，

对于A：因为在上单调递减，所以，故A错误；

对于B：因为，

所以，故，即或，

解得或，即，故B正确；

对于C：函数在上的图象是连续不断的，且函数在上单调递增，在上单调递减，

所以的最大值为，

故存在，使得，有，故C正确；

对于D：不等式，

当时，，解得；当时，，解得．

综上所述，不等式的解集为，故D正确；

故选：BCD

第II卷 非选择题

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知，与的夹角为，则 ______.

【答案】

【解析】

【分析】根据向量数量积运算求得正确答案.

【详解】因为，与的夹角为，

所以.

故答案为：

14. 化简：______．

【答案】

【解析】

【分析】利用同角三角函数的关系化简.

【详解】，

故答案为: .

15. 已知函数，则满足实数的取值范围是________.

【答案】

【解析】

【分析】

根据题意，由奇函数的定义可得函数为奇函数，由函数单调性的性质可得函数在上为减函数；据此可得，解可得的取值范围，即可得答案．

【详解】解：根据题意，函数，，即函数为奇函数，

又由在上为减函数，在上增函数与，则函数在上为减函数，

则

，

解可得：，

即的取值范围为；

故答案为：

【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是得到关于的不等式，属于基础题．

16. 设中角所对的边分别为，，，为边上的中线；已知且，．则______．

【答案】##

【解析】

【分析】根据题意利用正、余弦定理分析可得，由结合数量积相关运算整理得关于的方程，运算求解即可.

【详解】因为，且，

由正弦定理可得：，

由余弦定理可得：，整理得，

又因为D为中点，所以，设的夹角为θ，

则

，

即，

且，

因为，则为锐角，可知，

可得，解得或（舍去）

所以，

整理得，解得或，

且，即，所以，

所以.

故答案为：.

  【点睛】关键点睛：对于等分点问题，常利用向量的线性运算以及数量积建立关系，运算求解即可.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知向量，，，且，．

（1）求向量、；

（2）若，，求向量，的夹角的大小.

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）由题意结合向量平行及垂直的坐标表示可求，，进而可求；

（2）设向量，的夹角的大小为．先求出，，然后结合向量夹角的坐标公式可求．

【小问1详解】

解：因为，，，且，，

所以，，

所以，，

所以，；

【小问2详解】

解：设向量，的夹角的大小为．

由题意可得，，，

所以，

因为，所以．

18. 某大型企业为鼓励员工利用网络进行营销，准备为员工办理手机流量套餐．为了解员工手机流量使用情况，通过抽样，得到位员工每人手机月平均使用流量（单位：）的数据，其频率分布直方图如图．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）从该企业的位员工中随机抽取人，求手机月平均使用流量不超过的概率；

（III）据了解，某网络运营商推出两款流量套餐，详情如下：

流量套餐的规则是：每月日收取套餐费．如果手机实际使用流量超出套餐流量，则需要购买流量叠加包，每一个叠加包（包含的流量）需要元，可以多次购买，如果当月流量有剩余，将会被清零．该企业准备订购其中一款流量套餐，每月为员工支付套餐费，以及购买流量叠加包所需月费用．若以平均费用为决策依据，该企业订购哪一款套餐更经济？

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）订购套餐更经济

【解析】

【分析】（Ⅰ）根据频率和为构造方程可求得结果；（Ⅱ）利用减掉超过月平均使用流量超过的概率即可得到结果；（Ⅲ）确定选择两种套餐可能的费用，计算平均费用，根据平均费用的大小可确定订购套餐更经济.

【详解】（Ⅰ）由题意知：

解得：

（Ⅱ）月平均使用流量不超过的概率为：

（Ⅲ）若该企业选择套餐，则位员工每人所需费用可能为元

每月使用流量的平均费用为：

若该企业选择套餐，则位员工每人所需费用可能为元

每月使用流量的平均费用为：

该企业订购套餐更经济

【点睛】本题考查频率分布直方图的相关知识，涉及补全频率分布直方图、利用频率分布直方图计算概率、利用频率分布直方图估计平均数的问题.

19. 在△ABC中，若角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且．

（1）求∠C的大小；

（2）若△ABC的面积，求角A的最大值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）将表达式展开化简可得，即可求出∠C的大小；

（2）由三角形的面积公式可求得，再由正弦定理结合三角恒等变化可求出，即可求角出A的最大值.

【小问1详解】

由条件得，

，

整理得，

即，因为，所以．

【小问2详解】

因为，所以△ABC的面积，

即，

由正弦定理，得，

故，因为，解得，即，

故A的最大值为．

20. 如图，已知平面，平面，是边长为2的正三角形，是的中点，且

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的大小．

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

【分析】（1）由勾股定理，得，过点作，垂足为．取的中点，连接，，可证得四边形是平行四边形，所以，从而得证；

（2）设直线与平面所成角为，点到平面的距离为，利用等体积法，由求得，再由即可得解.

【详解】（1）证明：因为，

所以由勾股定理，得，

过点作，垂足为．取的中点，连接，．

易知是矩形，则，．

由勾股定理，得，

所以，所以．

因为，分别是，中点，

所以且．

又且，所以且．

所以四边形是平行四边形，所以．

又因为平面，平面，

所以平面．

（2）勾股定理，得，

所以

因为平面．平面．

所以平面平面．

易知，平面平面．平面，

所以平面．

设点到平面的距离为．

由，得即，解得．

设直线与平面所成角为．则,

又,所以．

故直线与平面所成角的大小为.

【点睛】本题主要考查了线面平行的判定和线面角的求解，考查了空间想象力，属于基础题.

21. 设，将奇函数图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像．

（1）求a的值及函数的解析式；

（2）设，，求函数的值域．

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据奇函数性质，确定的值，再根据图象变换的规律，确定的解析式；

（2）先写出具体的解析式，利用三角恒等变换化简到最简，根据角的范围，确定函数的值域.

【小问1详解】

因为是奇函数，且在处有定义，

可知，得到，

因为，所以，

由图象向左平移个单位得到，再将图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，

可得.

【小问2详解】

由（1）可得：

，，

∵，∴，

∴.

22. 定义在上函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的一个上界，已知函数，

（1）若函数为奇函数，求实数的值；

（2）在（1）的条件下，求函数在区间上的所有上界构成的集合；

（3）若函数在上是以2为上界的有界函数，求实数的取值范围．

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）由奇函数的定义结合对数函数的运算求解即可；

（2）根据复合函数单调性的性质，结合题中所给的定义进行求解即可；

（3）根据题中的定义，根据绝对值的性质，结合换元法、构造函数法，利用函数的单调性进行求解即可.

【小问1详解】

函数为奇函数，所以，

即，所以，解得

而当时，不合题意，故．

【小问2详解】

由（1）知：，

令，因为在上单调递减，

而在定义域上单调递减，由复合函数的单调性可知在上单增，

所以函数在区间上单增，

，，

所以在区间上值域为

所以，故函数在区间上的所有上界构成的集合为．

【小问3详解】

由题意可知：在上恒成立，所以

即，所以在上恒成立，

所以

令

易知在上递减，所以，

在上递增，所以，