十年高考数学真题分项汇编（2014-2023）（文科）专题09平面向量（文科）（Word版附解析）

这是一份十年高考数学真题分项汇编（2014-2023）（文科）专题09平面向量（文科）（Word版附解析），共34页。试卷主要包含了选择题，填空题，多选题等内容，欢迎下载使用。

TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc142952901" 题型一： 平面向量的概念及其线性运算 PAGEREF _Tc142952901 \h 1
\l "_Tc142952902" 题型二： 平面向量的基本定理 PAGEREF _Tc142952902 \h 1
\l "_Tc142952903" 题型三： 平面向量的坐标运算 PAGEREF _Tc142952903 \h 4
\l "_Tc142952904" 题型四： 平面向量中的垂直与平行 PAGEREF _Tc142952904 \h 5
\l "_Tc142952905" 题型五： 平面向量的数量积与夹角问题 PAGEREF _Tc142952905 \h 7
\l "_Tc142952906" 题型六： 平面向量的模长问题 PAGEREF _Tc142952906 \h 17
\l "_Tc142952908" 题型七：平面向量的综合问题 PAGEREF _Tc142952908 \h 22
题型一： 平面向量的概念及其线性运算
一、选择题
1．(2021年高考浙江卷·第3题)已知非零向量，则“”是“”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】B
解析:若，则，推不出；若，则必成立，故“”是“”的必要不充分条件,故选B．
2．(2020年新高考全国卷Ⅱ数学(海南)·第3题)在中，D是AB边上的中点，则=( )
A．B．C．D．
【答案】C解析：
3．(2014高考数学福建文科·第10题)设为平行四边形对角线的交点，为平行四边形所在平面内任意一点，则等于( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：因为为任意一点,不妨把点看成点,即,
因为M是平行四边形对角线的交点,所以．故选D．
题型二： 平面向量的基本定理
一、选择题
1．(2022新高考全国I卷·第3题)在中，点D在边AB上，．记，则( )
A．B．C．D．
【答案】B
解析：因点D在边AB上，，所以，即，
所以． 故选：B．
2．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(文)·第7题)在中，为边上的中线，为的中点，则( )
A．B．C．D．
【答案】A
解析：如图所示，，，
．
3．(2014高考数学课标1文科·第6题)设分别为的三边的中点，则( )
A．B．C．D．
【答案】A
解析：=, 选A．
二、填空题
1．(2017年高考数学江苏文理科·第12题)如图,在同一个平面内,向量,,的模分别为1,1,,与的夹角为,且tan=7,与的夹角为45°．若, 则______．

A
C
B
O
(第12题)
【答案】3
解析:由可得,,根据向量的分解,易得,即,即,即得,所以．
2．(2019·江苏·文理·第12题)如图，在中，是的中点，在边上，，与交于，若，则的值是______.
【答案】
解析: 法1：，
设，则，
因为三点共线，，所以，所以，
所以，
故，所以.
法2：不妨设，以为原点，，为轴正方向建系，
设，， ，则，
则，所以点，
，所以，所以.
法3：极化恒等式+中线定理：
同解法一知：，同理可得：，取中点，
所以，，，
因为，所以.
由中线定理得，，所以，所以.
题型三： 平面向量的坐标运算
一、选择题
1．(2019·上海·文理·第13题)已知直线方程的一个方向向量可以是( )
B．C．D．
【答案】D
【解析】依题意：为直线的一个法向量，∴ 方向向量为，选D.
2．(2023年北京卷·第3题)已知向量满足，则( )
A．B．C．0D．1
【答案】B
解析：向量满足，所以．
故选：B
3．(2014高考数学广东文科·第3题)已知向量，则( )
A．B．C．D．
【答案】B
解析：由题意得，故选B．
4．(2014高考数学北京文科·第3题)已知向量，，则( )
A．B．C．D．
【答案】A
解析：由，，得：．故选：A
5．(2015高考数学新课标2文科·第4题)已知,,则( )
A．B．C．D．
【答案】C
解析：由题意可得 , 所以．故选C．
6．(2015高考数学新课标1文科·第2题)已知点，向量，则向量( )
A．B．C．D．
【答案】A
解析：∵=(3,1)，∴=(-7,-4)，故选A．
二、填空题
1．(2015高考数学江苏文理·第6题)已知向量，, 若(), 则的值为_______．
【答案】
解析：由题意得：
题型四： 平面向量中的垂直与平行
一、选择题
1．(2023年新课标全国Ⅰ卷·第3题)已知向量，若( )
A．B．
C．D．
【答案】D
解析：因为，所以，，
由可得，，即，整理得：．故选：D．
2．(2015高考数学四川文科·第2题)设向量与向量共线，则实数( )
A. B. C. D.
【答案】B
解析：由向量平行的性质：解得
二、填空题
1．(2021年全国高考乙卷文科·第13题)已知向量，若，则_________．
【答案】
解析：由题意结合向量平行的充分必要条件可得：，解方程可得：．
故答案为：．
2．(2017年高考数学山东文科·第11题)已知向量，，若，则 ．
【答案】
解析: 由可得
3．(2017年高考数学新课标Ⅲ卷文科·第13题)已知向量,且,则_______．
【答案】2
解析: 由题意可得:．
4．(2017年高考数学课标Ⅰ卷文科·第13题)已知向量,若向量与垂直,则______．
【答案】7
解析: 由题得,因为,所以,解.
5．(2016高考数学课标Ⅱ卷文科·第13题)已知向量，，且，则___________．
【答案】
解析: 因为a∥b，所以，解得．
6．(2016高考数学课标Ⅰ卷文科·第13题)设向量，且 ，则 ．
【答案】
解析: 由题意，
7．(2014高考数学四川文科·第14题)平面向量，，且与的夹角等于与的夹角，则＝________．
【答案】2
解析:，由题意知＝，即＝，即，解得．
8．(2020年高考课标Ⅰ卷文科·第14题)设向量，若，则______________．
【答案】5
【解析】由可得，
又因为，
所以，
即，
故答案：5．
9．(2022年全国高考甲卷数学(文)·第13题)已知向量．若，则______________．
【答案】或
【解析】由题意知：，解得．故答案为：．
10．(2018年高考数学北京(文)·第9题) 设向量，若，则 ．
【答案】
解析：因为
所以
由得，
所以，解得
题型五： 平面向量的数量积与夹角问题
一、选择题
1．(2014高考数学山东文科·第7题)已知向量．若向量的夹角为，则实数( )
A．B．C．0D．
【答案】
解析：因为所以解得，故选．
(2015高考数学福建文科·第7题)设，，．若，则实数的值等
( )
A．B．C．D．
【答案】A
解析：由已知得，因为，则，因此，解得，故选A．
3．(2016高考数学课标Ⅲ卷文科·第3题)已知向量，，则( )
A．B．C．D．
【答案】A
解析: 由题意，易知，， ∴，所以，故选A．
4．(2023年全国甲卷文科·第3题)已知向量，则( )
A．B．C．D．
【答案】B
解析：因为，所以，
则，，
所以．
故选：B．
5．(2020年高考课标Ⅱ卷文科·第5题)已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由已知可得：．
A：因为，所以本选项不符合题意；
B：因为，所以本选项不符合题意；
C：因为，所以本选项不符合题意；
D：因为，所以本选项符合题意．
故选：D．
6．(2020年新高考全国Ⅰ卷(山东)·第7题)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范用是( )
A．B．
C．D．
【答案】A
解析：
的模为2，根据正六边形的特征，
可以得到在方向上的投影的取值范围是，
结合向量数量积的定义式，
可知等于的模与在方向上的投影的乘积，
所以的取值范围是，故选：A．
7．(2022新高考全国II卷·第4题)已知向量，若，则( )
A．B．C．5D．6
【答案】C
解析：,,即,解得． 故选C．
8．(2019·全国Ⅰ·文·第8题)已知非零向量，满足，且，则与的夹角为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，且，，有，设与的夹角为，则有，即，，，，，故与的夹角为.
9．(2018年高考数学天津(文)·第8题)在如图的平面图形中，已知，，则的值为( )
A．B．C．D．0
【答案】C
解析：， QUOTE BC=BA+AC=-3AM+3AN=3AN-AM=3MN=3(0N-OM) \* MERGEFORMAT
则． QUOTE BC.0M=3ON-0M.OM=3ON.OM-3OM2 \* MERGEFORMAT
10．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(文)·第4题)已知向量，满足，，则( )
A．4B．3C．2D．0
【答案】B
解析：向量满足，则，故选B．
11．(2014高考数学上海文科·第17题)如图，四个边长为1的小正方形排成一个大正方形，AB是大正方形的一条边，Pi(i=1,2,…,7)是小正方形的其余顶点，则(i=1,2,…,7)的不同值的个数为( )．
A．7B．5C．3D．1
【答案】C
解析：，的值可能为0、1或2．
所以0、2或4，即(i=1,2,…,7)的不同值的个数为3，故选C．
12．(2014高考数学大纲文科·第6题)已知，为单位向量，其夹角为60°，则(2-)·＝( )
A．-1B．0C．1D．2
【答案】B
解析:
13．(2015高考数学重庆文科·第7题)已知非零向量满足,且，则与的夹角为( )
A．B．C．D．
【答案】C
解析：由已知可得，设的夹角为，则有，又因为，所以，故选C．
14．(2015高考数学广东文科·第9题)在平面直角坐标系中，已知四边形是平行四边形，，，则( )
A．B．C．D．
【答案】A
解析：因为四边形是平行四边形，所以，所以，故选A．
15．(2017年高考数学浙江文理科·第10题)如图,已知平面四边形,,,,与交于点．记,,,则( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】法一:

动态研究问题:,．
此时有,,,且,．
故．故选C．
【解析】法二:
如图,取边中点,则,在线段上,再取,中点,则．所以,
,所以．
作交于,所以,而,所以,
,所以,又,．
所以,所以．故选C．

法三:余弦定理得,,所以,
所以,所以．
又由余弦定理得,所以 ,
所以．故．
而,,
,所以．故选C．
16．(2017年高考数学课标Ⅱ卷文科·第4题)设非零向量满足则( )
A．B．C．D．
【答案】 A
【解析】方法一:本题考查平面向量的运算．由题意得．
,所以:,即．故选A．
方法二:由平面向量加减法的几何意义知:分别是以和为邻边所作平行四边形的两对角线,,所以该平行四边形为矩形,邻边垂直,即．
17．(2016高考数学天津文科·第7题)已知是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为( )
A．B．C．D．
【答案】B
解析1：如图，建立平面直角坐标系
则
由，得，则，所以
解法2：
．
二、填空题
1．(2016高考数学北京文科·第9题)已知向量 ，则与 夹角的大小为_________．
【答案】
解析：两向量夹角为,且两个向量夹角范围是,所以夹角为
2．(2020年浙江省高考数学试卷·第17题)设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为_______．
【答案】
解析：，
，
，
．
3．(2019·天津·文·第14题)在四边形中，，，，，点在线段的延长线上，且，则________．
【答案】
【解析】因为，，，所以在等腰三角形中，
又，所以，所以，因为，所以
又，所以
．故答案为
法二：建立如图所示的直角坐标系，则，
因为，，所以，因为，所以
所以直线的斜率为，其方程为，直线的斜率为，其方程为．
由，解得，，所以．所以．
4．(2019·上海·文理·第3题)已知向量，，则与的夹角为________.
【答案】
【解析】.故
5．(2019·全国Ⅲ·文·第12题)已知向量，，，则__________.
【答案】
【解析】，，，
，．故答案为：
6．(2019·北京·文·第9题)已知向量，，且，则 ．
【答案】
【解析】由向量，，且，得，解得．
7．(2018年高考数学上海·第8题)在平面直角坐标系中，已知点、，、是轴上的两个动点，且，则的最小值为 ．
【答案】
解析：设，则，
，最小值为．
解法2：．
取中点，则．显然(当关于原点对称)．
所以．则．
8．(2014高考数学重庆文科·第12题)已知向量与的夹角为，且，则_________．
【答案】10．
解析：由向量的数量积与向量模长公式得．
9．(2014高考数学江苏·第12题)如图，在平行四边形中，已知，，，，则的值是 ．
A
B
D
C
P
【答案】22
解析：解法一：(基底法)考虑将条件中涉及的向量用基底表示，而后实施计算．
，．
则．
因为，则，故．
解法二：(坐标法)不妨以点为坐标原点，所在直线作为轴建立平面直角坐标系，可设，则，．
由，得，由，得，则，
所求．
10．(2015高考数学天津文科·第13题)在等腰梯形中,已知,．点和分别在线段和上, 且则的值为 ．
【答案】
解析：
在等腰梯形ABCD中,由,得,, ,所以
11．(2016高考数学江苏文理科·第13题)如图，在中，是的中点，是上两个三等分点，，，则的值是 ．
【答案】．
解析：令，，则，，
则，，，，，
则，，，
由，可得，，
因此，因此．
12．(2015高考数学湖北文科·第11题)已知向量，，则_________．
【答案】．
解析：因为向量，所以，即，所以，即，故应填．
13．(2015高考数学安徽文科·第15题)是边长为2的等边三角形，已知向量满足，，则下列结论中正确的是 ．(写出所有正确结论得序号)
①为单位向量；②为单位向量；③；④；⑤。
【答案】①④⑤
解析：
∵等边三角形ABC的边长为2,∴＝2＝2,故①正确；
∵ ∴，故②错误，④正确；由于夹角为，故③错误；又∵
∴，故⑤正确 因此，正确的编号是①④⑤
14．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第15题)已知向量，，，_______．
【答案】
解析:由已知可得，
因此，．故答案为：．
题型六： 平面向量的模长问题
一．选择题
1．(2022年高考全国乙卷数学(文)·第3题)已知向量，则=( )
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
解析：因为，所以
2．(2019·全国Ⅱ·文·第3题)已知向量，则( )
A．B．2C．D．50
【答案】A
【解析】由已知，，所以，故选A
3．(2018年高考数学浙江卷·第9题)已知是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是( )
A．B．C．2D．
【答案】A
解析：解法1：(配方法)由得，即，因此．如图，，，，则向量的终点在以为圆心，1为半径的圆上，而的终点在射线上，，问题转化为圆上的点与射线上的点连线长度最小，显然其最小值为圆心到射线的距离减去半径即为．
解法2：(向量的直径圆式)由，得，所以，
如图，，则，即终点在以为直径的圆上，以下同解法1．
解法3：(绝对值性质的应用)由，得，即，
因此，而由图形得，
所以，所以的最小值为．
解法4：(坐标法)设起点均为原点，设，，则的终点在射线上，由，得，即，所以向量的终点在圆
上，的最小值即为求圆上一点到射线上一点的最小距离，
即为．
4．(2014高考数学浙江文科·第9题)设为两个非零向量的夹角．已知对任意实数，的最小值为( )．
A．若确定，则唯一确定B．若确定，则唯一确定
C．若确定，则唯一确定D．若确定，则唯一确定
【答案】B
解析:由于，令，而是任意实数，所以可得的最小值为，则知若确定，则唯一确定．故选B．
5．(2014高考数学课标2文科·第4题)设向量,满足，，则=( )
Ａ．1Ｂ．2Ｃ．3Ｄ．5
【答案】A
解析：∵，∴．∴①﹣②：．∴选A．
6．(2015高考数学湖南文科·第9题)已知点在圆上运动，且若点的坐标为，则的最大值为( )
A．6B．7C．8D．9
【答案】B
解析：由题意，AC为直径，所以 ,当且仅当点B为(-1，0)时，取得最大值7，故选B．
二、填空题
1．(2020北京高考·第13题)已知正方形的边长为，点满足，则_________；_________．
【答案】(1)． (2)．
解析: 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则点、、、，，
则点，，，
因此，，．故答案为：；．
2．(2020江苏高考·第13题)在中，在边上，延长到，使得，若(为常数)，则的长度是________．
【答案】
解析: 三点共线，可设，，
，即，
若且，则三点共线，，即，
，，,,，，
设，，则，．
根据余弦定理可得，，
，，解得，的长度为．
当时， ，重合，此时的长度为，
当时，，重合，此时，不合题意，舍去．故答案为：或．
3．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(文)·第13题)已知向量，，．若，则________．
【答案】
解析：依题意可得，又，，所以，解得．
4．(2023年新课标全国Ⅱ卷·第13题)已知向量，满足，，则______．
【答案】
解析：法一：因为，即，
则，整理得，
又因为，即，
则，所以．
法二：设，则，
由题意可得：，则，
整理得：，即．
故答案为：．
(2014高考数学江西文科·第12题)已知单位向量
_______．
【答案】3
解析:因为所以
6．(2015高考数学浙江文科·第13题)已知，是平面单位向量，且．若平面向量满足，则 ．
【答案】
解析：
由题可知，不妨，，设，则，，所以，所以．
7．(2015高考数学上海文科·第13题)已知平面向量满足，且，则的最大值是 ．
【答案】
解析：令，，如图所示，
当与方向相同时有取最大值，又，
经计算可知，当，时有的最大值为．
8．(2021年高考全国甲卷文科·第13题)若向量满足，则_________．
【答案】
解析：∵
∴
∴．
故答案为：．
题型七：平面向量的综合问题
一、选择题
1．(2019·全国Ⅰ·文·第4题)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为，头顶至脖子下端的长度为，则其身高可能是( )
A．B．C．D．
【答案】B
解析:方法一：设头顶处为点，咽喉处为点，脖子下端处为点，肚脐处为点，腿根处为点，足底处为，，，根据题意可知,故；又，，故；所以身高，将代入可得.根据腿长为，头顶至脖子下端的长度为可得，；即，，将代入可得，所以.
方法二：由于头顶至咽喉的长度与头顶至脖子下端的长度极为接近，故头顶至脖子下端的长度可估值为头顶至咽喉的长度；根据人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是(称为黄金分割比例)可计算出咽喉至肚脐的长度约为；将人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度相加可得头顶至肚脐的长度为，头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是可计算出肚脐至足底的长度约为；将头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度相加即可得到身高约为，与答案更为接近.
2．(2022高考北京卷·第10题)在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析:依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，
因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，
设，，
所以，，
所以
，其中，，
因为，所以，即；
故选,D
3．(2014高考数学湖南文科·第10题)在平面直角坐标系中，为原点，，，，动点满足，则的取值范围是( )
A．B．
C．D．
【答案】B
解析：动点的轨迹为以为圆心的单位圆,则设为,则
4．(2016高考数学四川文科·第9题)已知正三角形的边长为，平面内的动点，满足,，则的最大值是( )
(A)(B)(C)(D)
【答案】B
解析：甴已知易得．
以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系
则设由已知，得，
又
它表示圆上点与点距离平方的
，故选B．
5．(2020年高考课标Ⅲ卷文科·第6题)在平面内，A．B是两个定点，C是动点，若，则点C的轨迹为( )
A．圆B．椭圆C．抛物线D．直线
【答案】A
【解析】设，以AB中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，
则：，设，可得：，
从而：，
结合题意可得：，
整理可得：，
即点C的轨迹是以AB中点为圆心，为半径的圆．
故选：A．
6．(2014高考数学安徽文科·第10题)设，为非零向量，，两组向量，和均由2个和2个排列而成．若所有可能取值中的最小值为4，则与的夹角为( )
A．B．C．D．0
【答案】B
解析：设，则的值以下三种可能：
，，，因为，设，所以，，，由题知：若，则，此时，不符合题意；若，则即，此时，满足题意；故选B．
二、填空题
1．(2023年天津卷·第14题)在中，，，点为的中点，点为的中点，若设，则可用表示为_________；若，则的最大值为_________．
【答案】①． ②．
解析：空1：因为为的中点，则，可得，
两式相加，可得到，即，则；
空2：因为，则，可得，
得到，即，即．
于是．记，
则，
在中，根据余弦定理：，
于是，
由和基本不等式，，
故，当且仅当取得等号，则时，有最大值．
故答案：；．

2．(2016高考数学山东文科·第13题)已知向量若，则实数的值为________．
【答案】
解析：，解得
3．(2021高考天津·第15题)在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E．且交AC于点F,则的值为____________；的最小值为____________．
【答案】①． 1 ②．
解析：设，，为边长为1的等边三角形，，
，
，为边长为的等边三角形，，
，
，
，
所以当时，的最小值为．
故答案为：1；．
4．(2019·浙江·文理·第17题)已知正方形的边长为当每个取遍时，，的最小值是 ，最大值是 ．
【答案】0，
【解析】正方形的边长为1，可得，，．
所以
，
由于，2，3，4，5，取遍，取，，，时
得，，此时所求最小值为0；
由中，中的一个最大值为4，另一个为2，
可取，，，，，此时所求最大值为．
5．(2014高考数学天津文科·第13题)已知菱形ABCD的边长为2，，点E，F分别在边BC，DC上，，．若，则的值为_______．
【答案】2
解析：由题可知，
，
又，所以，
即，
即，解之得．
6．(2014高考数学湖北文科·第12题)若向量，，，则________．
【答案】2eq \r(5)
解析：由题意知，△AOB为等腰直角三角形，且|eq \(OA,\s\up6(→))|=
|AB|＝2eq \r(5)．
7．(2016高考数学上海文科·第12题)如图，已知点，是曲线上一个动点，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题意，设, ，则，又, 所以．
8．(2016高考数学浙江文科·第15题)已知平面向量．若为平面单位向量，则的最大值是______．
【答案】
解析：由已知得，不妨设，设，
则
，取等号时与同号．
所以
，(其中，取为锐角)．
显然
易知当时，取得最大值1
此时为锐角，同为正，因此上述不等式中等号能同时取到
故所求最大值为．
9．(2017年高考数学北京文科·第12题)已知点在圆上,点的坐标为,为原点,则的最大值为_________．
【答案】
【解析】解法一:利用坐标法求数量积,设点,则且,当时,的最大值为．
解法二:利用数量积的定义
所以最大值是．
解法三:利用数量积的几何意义,如图,点是单位圆上的动点,当、、三点共线时,的长度最大,且向量与向量同向,易得．

10．(2017年高考数学江苏文理科·第13题)在平面直角坐标系中,点在圆上,若则点的横坐标的取值范围是______．
【答案】
解析:设,由得,由,可得或,由得P点在圆左边弧上上,由限制条件,可得点P横坐标的取值范围为．
11．(2017年高考数学天津文科·第14题)在△ABC中，，AB=3，AC=2．若，()，且，则的值为____________．
【答案】
【解析】解法1：基底法


又


解法2：坐标法
如图，建立平面直角坐标系
，，
则
又
12．(2017年高考数学浙江文理科·第15题)已知向量,满足,则的最小值是_____,最大值是____．
【答案】,
【解析】(几何法)本题的关键是要挖掘隐含条件:是以为邻边的平行四边形的两条对角线,故．如图,是以为邻边的平行四边形的两条对角线,是以为圆心的单位圆上一动点,构造2个全等的平行四边形．所以．易知当三点共线时,最小,此时;当时,最大,此时
．

(坐标法)
设,,则,,
所以,
则,所以．
(不等式法)
最小值:．(当且仅当方向相反,即时,取“=”)．最大值:．
(当且仅当,即时,取“=”)．
(转化为二元最值问题)
令原题转化为,且, 求的最值．
方法1(数形结合):直线与圆弧有交点,如图可得．
方法2(判别式法):化简得得,所以．当然,本题用基本不等式,柯西不等式等方法都能求最值．

13．(2021年高考浙江卷·第17题)已知平面向量满足．记向量在方向上的投影分别为x，y，在方向上的投影为z，则的最小值为___________．
【答案】
解析:由题意，设，则，即，
又向量在方向上投影分别为x，y，所以，
所以在方向上的投影，
即,
所以，
当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为．故答案为．
三、多选题
1．(2021年新高考Ⅰ卷·第10题)已知为坐标原点，点，，，，则( )
A．B．
C．D．
【答案】AC
解析:A：，，所以，，故，正确；
B：，，所以，同理，故不一定相等，错误；
C：由题意得：，，正确；
D：由题意得：，
，错误；
故选AC．