十年高考数学真题分项汇编（2014-2023）（文科）专题22导数解答题（文科）（Word版附解析）

这是一份十年高考数学真题分项汇编（2014-2023）（文科）专题22导数解答题（文科）（Word版附解析），共108页。试卷主要包含了已知函数，已知函数在处取得极值，已知函数，x∈R，已知函数,其中等内容，欢迎下载使用。
十年（2014－2023）年高考真题分项汇编—导数解答题
目录
题型一： 导数的概念及几何意义 1
题型二： 导数与函数的单调性 5
题型三： 导数与函数的极值、最值 16
题型四： 导数与函数零点问题 37
题型五： 导数与不等式的证明 51
题型六： 导数与其他知识交汇题型 67
题型七：利用导数研究恒成立、能成立问题 75
题型八：导数的综合应用 91


题型一： 导数的概念及几何意义
1．(2022年全国高考甲卷数学(文)·第20题)已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．
(1)若，求a；
(2)求a的取值范围．
【答案】(1)3 (2)
【解析】
(1)由题意知，，，，则在点处的切线方程为，即，设该切线与切于点，，则，解得，则，解得；
(2)，则在点处的切线方程为，整理得，设该切线与切于点，，则，则切线方程为，整理得，
则，整理得，
令，则，令，解得或，
令，解得或，则变化时，的变化情况如下表：




0

1



0

0

0









则的值域为，故的取值范围为．
2．(2020北京高考·第19题)已知函数．
(Ⅰ)求曲线的斜率等于的切线方程；
(Ⅱ)设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．
【答案】(Ⅰ)，(Ⅱ)．
【解析】(Ⅰ)因为，所以，
设切点为，则，即，所以切点为，
由点斜式可得切线方程：，即．
(Ⅱ)显然，
因为在点处的切线方程为：，
令，得，令，得，所以，
不妨设时，结果一样，则，
所以，
由，得，由，得，
所以在上递减，在上递增，所以时，取得极小值，
也是最小值为．
3．(2015高考数学天津文科·第20题)(本小题满分14分)已知函数
(Ⅰ)求的单调区间;
(Ⅱ)设曲线与轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为,求证:对于任意的正实数,都有;
(Ⅲ)若方程有两个正实数根且,求证:．
【答案】(Ⅰ) 的单调递增区间是 ,单调递减区间是;(Ⅱ)见试题解析;(Ⅲ)见试题解析．
解析：
(Ⅰ)由,可得 的单调递增区间是 ,单调递减区间是;(Ⅱ), ,证明 在单调递增,在单调递减,所以对任意的实数x, ,对于任意的正实数,都有;(Ⅲ)设方程 的根为 ,可得,由在 单调递减,得 ,所以．设曲线 在原点处的切线为 方程 的根为 ,可得 ,由 在在 单调递增,且 ,可得 所以．
试题解析:(Ⅰ)由,可得,当 ,即 时,函数 单调递增;当 ,即 时,函数 单调递减．所以函数 的单调递增区间是 ,单调递减区间是．
(Ⅱ)设 ,则 , 曲线 在点P处的切线方程为 ,即,令 即 则．
由于在 单调递减,故在 单调递减,又因为,所以当时,,所以当时,,所以 在单调递增,在单调递减,所以对任意的实数x, ,对于任意的正实数,都有．
(Ⅲ)由(Ⅱ)知 ,设方程 的根为 ,可得,因为在 单调递减,又由(Ⅱ)知 ,所以．类似的,设曲线 在原点处的切线为 可得 ,对任意的,有 即．设方程 的根为 ,可得 ,因为 在 单调递增,且 ,因此, 所以．
4．(2021年全国高考乙卷文科·第21题)已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标．
【答案】(1)答案见解析；(2)．
解析：(1)由函数的解析式可得：，
导函数的判别式，
当时，在R上单调递增，
当时，的解为：，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增；
综上可得：当时，在R上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
(2)由题意可得：，，
则切线方程为：，
切线过坐标原点，则：,
整理可得：，即：，
解得：，则，
即曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为．

题型二： 导数与函数的单调性
一、解答题

1．(2023年全国乙卷文科·第20题)已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程．
(2)若函数在单调递增，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2)．
解析：【小问1详解】
当时，，
则，
据此可得，
所以函数在处的切线方程为，即．
【小问2详解】
由函数的解析式可得，
满足题意时在区间上恒成立．
令，则，
令，原问题等价于在区间上恒成立，
则，
当时，由于，故，在区间上单调递减，
此时，不合题意;
令，则，
当，时，由于，所以在区间上单调递增，
即在区间上单调递增，
所以，在区间上单调递增，，满足题意．
当时，由可得，
当时，在区间上单调递减，即单调递减，
注意到，故当时，，单调递减，
由于，故当时，，不合题意．
综上可知：实数得取值范围是．
2．(2014高考数学山东文科·第20题)(本小题满分13分)
设函数 ，其中为常数．
(Ｉ)若，求曲线在点处的切线方程；
(II)讨论函数的单调性．
【答案】解析：(1)由题意知 时，．此时
可得，所以 在 处的切线方程为

(2)函数 的定义域为．

当 ，函数在上单调递增；
当时，令，
由于，
①当时，， ，函数在上单调递减；
②时，，，，函数在上单调递减；
③当时，
设 是函数的两个零点
则，
由
所以 时，，，函数单调递减
时， ，函数单调递增
时，，函数单调递减
综合可得：
当时，函数在上单调递增加；
当时，函数在上单调递减；
当时，
在(0, ),(,+)上单调递减，
在(，)上单调递增．
3．(2014高考数学湖北文科·第21题)为圆周率，为自然对数的底数．
(1)求函数的单调区间；
(2)求，，，，,这6个数中的最大数与最小数．
【答案】(1)函数f(x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，＋∞)．
(2)6个数中的最大数是3π，最小数是3e．
解析：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
因为f(x)＝，所以f′(x)＝．
当f′(x)>0，即0