2022-2023学年山东省日照市岚山区第一中学高二下学期5月月考数学试题含答案

2022-2023学年山东省日照市岚山区第一中学高二下学期5月月考数学试题

一、单选题

1．已知集合，且，则的值可能为（    ）

A． B． C．0 D．1

【答案】C

【解析】化简集合得范围，结合判断四个选项即可.

【详解】集合，四个选项中，只有，

故选：C．

【点睛】本题考查元素与集合的关系，属于基础题

2．已知，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】B

【分析】根据充分、必要条件的知识确定正确答案.

【详解】或或；

；

所以“”是“”的必要不充分条件.

故选：B

3．已知函数的导函数为，若，则（    ）

A． B．1 C． D．2

【答案】A

【分析】求得，令，即可求解.

【详解】由函数，可得，

令，可得，解得.

故选：A.

4．函数的图像如图所示，则的解析式可以为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用排除法，根据图像从奇偶性，定义域等去逐个分析判断即可

【详解】选项B，是奇函数，所以不正确；

选项C，当时，，所以不正确；

选项D，定义域为，所以不正确；

故选：A．

5．对数的发明并非来源于指数，而是源于数学家对简化大数运算的有效工具的追求.其关键是利用对应关系：.观察下表：

已知299792.468是光在真空中的速度，3153600是一年的总秒数(假设一年365天)，根据表中数据，计算，则一定落在区间（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由对数运算性质及对数函数的性质进行判断．

【详解】解：根据表中数据，，

，

，

即

故选：C．

6．设a=0.9，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】构造函数，，利用导数研究其单调性，再由单调性可比较大小.

【详解】令，因为

所以，当时，，单调递减，

所以，即，；

令，因为

所以，当时，，单调递增，

所以，即，，即.

综上，.

故选：B

7．已知函数，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】分和两种情况分别解不等式即可

【详解】当时，即时，，即，所以，即，所以无解．

当，即，所以，，，

又，所以．

故选B．

8．已知函数（其中），，且函数的两个极值点为.设，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用导数研究函数的单调性，进而比较的大小关系，然后根据的单调性比较函数值的大小，即可求出结果.

【详解】因为函数，

所以，

所以，，

因为函数的两个极值点为，

所以在上是增函数，在上是减函数．

所以.又因为，所以是减函数，所以.

故选：B.

二、多选题

9．已知正数，满足，则（    ）

A．有最大值 B．有最小值8

C．有最小值4 D．有最小值

【答案】ACD

【分析】A由即可确定最大值；B利用基本不等式“1”的代换有即可求最小值；C将代入，利用基本不等式即可求最小值；D将代入，结合二次函数的性质求最值.

【详解】A：，则当且仅当，时取等号，正确；

B：，当且仅当时取等号，错误；

C：，当且仅当时取等号，正确；

D：，故最小值为，正确.

故选：ACD

10．已知函数，则（    ）

A．为奇函数 B．为减函数

C．有且只有一个零点 D．的值域为

【答案】ACD

【分析】化简函数解析式，分析函数的奇偶性，单调性，值域，零点即可求解.

【详解】，，故为奇函数，

又，在上单调递增，

，，，

，，即函数值域为

令，即，解得，故函数有且只有一个零点0．

综上可知，ACD正确，B错误．

故选：ACD

11．数列满足，，，定义函数是数列的特征函数，则下列说法正确的是（    ）

A．当时，数列单调递增

B．当时，

C．当时，

D．当方程有唯一解时，存在，对任意，都有

【答案】BC

【分析】利用数列的单调性可判断A选项；推导出数列为等比数列，结合等比数列的通项公式可判断B选项；利用数学归纳法可判断C选项；取，结合等比数列的通项公式可判断D选项.

【详解】对于A，当时，，故数列单调递减，故A错误；

对于B，当时，，则，

故数列是以为公比，为首项的等比数列，

则，所以，，故B正确；

对于C，当时，则，

因为，则，故，

根据数列迭代递推，不完全归纳可猜想成立，

证明如下：（1）当时，；

（2）假设当时，，

则当时，，，则.

综上，故C正确；

对于D，取，则有唯一的解，则，

所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，

所以，，

当时，，D错.

故选：BC.

【点睛】方法点睛：已知数列的递推关系求通项公式的典型方法：

（1）当出现时，构造等差数列；

（2）当出现时，构造等比数列；

（3）当出现时，用累加法求解；

（4）当出现时，用累乘法求解.

12．已知函数在处取得极值，则下列结论正确的是（    ）

A．

B．

C．函数的图像与直线只有一个公共点

D．对任意的

【答案】ACD

【分析】由函数在处取得极值，求得，即可判断A；欲证，只需证，求得即可判断B；欲证与只有一个交点，只需证只有一个根，结合B项结论，即可判断C；由时，，即，结合对数运算，即可判断D.

【详解】对于A，因为函数在处取得极值，

所以，，解得，故A正确.

即

对于B，因为真数，所以

所以，欲证，只需证

因为，定义域为

所以，令，解得

所以当时，，在上单调递减，

当时，，在上单调递增，

所以，即，所以，

即，故B错误

对于C，欲证与只有一个交点，只需证只有一个根，

即证只有一个根，即只有一个根，

由上述可得在递减，在递增，

所以，故C正确

对于D，由上述得恒成立，

即恒成立，

所以当时，，即

因为

所以

且

所以，

即证，故D正确

故选:ACD.

三、填空题

13．已知等比数列满足，等差数列满足，则___________．

【答案】10

【分析】由已知结合等比数列的性质可求，然后结合等差数列的性质即可求解．

【详解】因为等比数列中，，

所以，

因为，

则由等差数列的性质得．

故答案为：10．

14．已知奇函数，则______.

【答案】7

【分析】结合分段函数以及函数的奇偶性，求出时，的解析式即可求出结果.

【详解】当时，，，又因为函数是奇函数，所以.

所以.

故答案为：7

15．函数在上为增函数，则实数的值为______.

【答案】

【分析】先求出原函数的导数，再分段讨论恒成立时的a值范围即可得解.

【详解】，因函数在上为增函数，则恒成立，即，

时，，而在上递增，即，当且仅当时取“=”，于是有，

时，，而在上递增，即，当且仅当时取“=”，于是有，

综上得.

故答案为：

16．对于函数，若存在，使，则点与点均称为函数的“准奇点”．已知函数，若函数存在5个“准奇点”，则实数的取值范围为______.

【答案】

【分析】由题意可得：，所以是函数的一个“准奇点”，其余还有两对，函数

关于原点对称的图象恰好与有两个交点，即

有两个正根，即有两个正根，构造函数求导判断单调性即可求解.

【详解】因为，所以是函数的一个“准奇点”．

若函数存在5个“准奇点”，原点是一个，其余还有两对，

即函数关于原点对称的图象恰好与有两个交点，

而函数关于原点对称的函数为，

即有两个正根，即有两个正根，

令，，

当时，；当时，，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

当时，，当无穷大时，无穷大，

所以，所以

实数的取值范围为，

故答案为：

四、解答题

17．设不等式的解集为，关于的不等式的解集为.

（1）求集合；

（2）条件：，条件：，是的充分条件，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）解一元二次不等式即可求解.

（2）解一元二次不等式求出，根据充分条件可得，再由集合的包含关系即可求解.

【详解】解：（1）因为，即，所以.

（2）因为不等式，所以，

得，所以.

因为：，：，是的充分条件，所以.

因为，所以且，

所以实数的取值范围是

18．数列的各项均为正数，其前项和为，，且.

（1）证明：数列为等差数列；

（2）若数列满足，求数列的前项和.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）求出，再得到，即可证数列为等差数列；

（2）由（1）知，，得到，即得解.

【详解】解：（1）因为，

当时，，，，所以，

当时，，所以，

即，

数列的各项均为正数，所以，

，而，所以当时，，

所以数列为等差数列.

（2）由（1）知，，

因为，所以

.

数列的前项和

19．已知函数是偶函数.

（1）求实数的值；

（2）若函数，函数只有一个零点，求实数 的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）利用函数为偶函数推出的值，即可求解；

（2）根据函数与方程之间的关系，转化为方程只有一个根，利用换元法进行转化求解即可.

【详解】（1）由题意，函数为偶函数，所以，

即，所以，

即，则对恒成立，解得.

（2）由只有一个零点，

所以方程有且只有一个实根，

即方程有且只有一个实根，

即方程有且只有一个实根，

令，则方程有且只有一个正根，

①当时，，不合题意；

②当时，因为0不是方程的根，所以方程的两根异号或有两相等正根，

由，解得或，

当，则不合题意，舍去；

当，则，符合题意，

若方程有两根异号，则，所以，

综上，的取值范围是.

20．设数列是等差数列，数列是公比大于0的等比数列，已知，，，.

（1）求数列和数列的通项公式；

（2）设数列满足，求数列的前项和.

【答案】（1），；（2）.

【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，列方程组解得后可得通项公式；

（2）求出，当时，，，时，和式用错位相减法求解．

【详解】解：（1）因为是等差数列，是等比数列，公比大于0．

设等差数列的公差为，等比数列的公比为，

由题意可得：，解得，，

故，.

（2）数列满足；

当时，；

当时，

令

则，

两式相减得，

，

整理得，

所以，

综上，.

21．如图，某广场内有一半径为米的圆形区域，圆心为，其内接矩形的内部区域为居民的健身活动场所，已知米，为扩大居民的健身活动场所，打算对该圆形区域内部进行改造，方案如下：过圆心作直径，使得，在劣弧上取一点，过点作圆的内接矩形，使，把这两个矩形所包括的内部区域均作为居民的健身活动场所，其余部分进行绿化，设.

（1）记改造后的居民健身活动场所比原来增加的用地面积为（单位：平方米），求的表达式（不需要注明的范围）；

（2）当取最大值时，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）设与相交于点，与相交于点，求出，，即得解；

（2）利用导数求函数取最大值时的值得解.

【详解】

解：（1）设与相交于点，与相交于点，依题得，，，，

则，

由得，，

所以，

即.

（2），

，

令，得或（不合题意，舍去），

由得，

设，则，则，

①当时，，单调递增；

②当时，，单调递减，

所以当时，取得最大值．

22．已知函数.

（1）若在点处的切线方程为，求的最小值；

（2）若，为函数图像上不同的两点，直线与轴相交于正半轴，求证：.

【答案】（1）0；（2）证明见解析.

【分析】（1）先利用导数的几何意义求切线，得到，再构造函数，利用导数求其最小值即可；

（2）先设，利用直线的方程得到，构造函数，并研究其单调性，判断时不符合题意，再验证时结论成立，时等价于证明，构造函数，结合单调性证得，即证结论.

【详解】解：（1）曲线在点处的切线方程为，即，而，即，

所以切线为，所以，，.

令，，

所以时，，时，，

即在上单调递减，在上单调递增，

所以，即的最小值为0；

（2）不妨假设，直线的斜率为，直线的方程为，即．

由题意可知，，即，所以，

设，则，，令，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

①若，则，这与矛盾，故不符合题意；

②若，则，此时满足题意，有；

③若，则，即，要证，即证，即证，而，故只要证明即可．

设，

则，所以单调递增，所以，即，所以．

综上所述，命题得证．

【点睛】方法点睛：

证明不等式恒成立时，通常根据不等式直接构造函数，根据导数的方法，讨论研究函数的单调性并求最值，即可证得结论.