2022-2023学年山东省菏泽市鄄城县第一中学高二下学期6月月考数学试题含答案

2022-2023学年山东省菏泽市鄄城县第一中学高二下学期6月月考数学试题

一、单选题

1．设为可导函数，且，则曲线在点处的切线斜率为（    ）

A．2 B．-1 C．1 D．

【答案】D

【分析】利用导数的定义及几何意义进行求解.

【详解】由导数的几何意义，点处的切线斜率为，

因为时，，

所以，

所以在点处的切线斜率为，

故选：D.

2．已知随机变量的分布列是

则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用分布列求出，求出期望，再利用期望的性质可求得结果.

【详解】由分布列的性质可得，得，所以，，

因此，.

故选：C.

【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，是基本知识的考查．

3．已知的展开式中第4项与第6项的二项式系数相等，则的展开式的各项系数之和为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由已知条件解出n，令x＝1即可得到答案﹒

【详解】由题知，由组合数性质解得n＝8，

∴＝

令x＝1，得展开式各项系数之和为，

故选：A﹒

4．某公司在2014－2018年的收入与支出如下表所示：

根据表中数据可得回归方程为，依此估计2019年该公司收入为8亿元时支出为

A．4．2亿元 B．4．4亿元 C．5．2亿元 D．5．4亿元

【答案】C

【解析】根据表中数据，计算、以及回归系数，写出回归方程，利用回归方程计算x＝8时的值即可．

【详解】根据表中数据，计算（2.2+2.6+4.0+5.3+5.9）＝4，

（0.2+1.5+2.0+2.5+3.8）＝2，

∴2﹣0.8×4＝﹣1.2，

∴回归直线方程为0.8x﹣1.2，

计算x＝8时0.8×8﹣1.2＝5.2（亿元），

即2017年该公司收入为8亿元时的支出为5.2亿元．

故选C．

【点睛】本题考查了线性回归方程的应用问题，是基础题．线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x与Y之间的关系，这条直线过样本中心点．线性回归方程适用于具有相关关系的两个变量，对于具有确定关系的两个变量是不适用的, 线性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值.

5．小明上学可以乘坐公共汽车，也可以乘坐地铁．已知小明上学乘坐公共汽车的概率为0.4，乘坐地铁的概率为0.6，而且乘坐公共汽车与地铁时，小明迟到的概率分别为0.05和0.04，则小明准时到校的概率为（    ）

A．0.954 B．0.956 C．0.958 D．0.959

【答案】B

【分析】分别求出小明上学可以乘坐公共汽车和地铁准时到校的概率，然后求和可得答案.

【详解】小明上学可以乘坐公共汽车准时到校的概率为

小明上学可以乘坐地铁准时到校的概率为

所以小明准时到校的概率为

故选：B

6．如图所示，积木拼盘由，，，，五块积木组成，若每块积木都要涂一种颜色，且为了体现拼盘的特色，相邻的区域需涂不同的颜色（如：与为相邻区域，与为不相邻区域），现有五种不同的颜色可供挑选，则不同的涂色方法的种数是（    ）

A．780 B．840 C．900 D．960

【答案】D

【分析】先涂，再涂，再涂，再涂，最后涂，由分步乘法计数原理，可得不同的涂色方法种数.

【详解】解：先涂，则有种涂法，再涂，因为与相邻，所以的颜色只要与不同即可，有种涂法，同理有种涂法，有种涂法，有种涂法，由分步乘法计数原理，可知不同的涂色方法种数为．

故选：D.

7．某中学高三（1）班有50名学生，在一次高三模拟考试中，经统计得：数学成绩，则估计该班数学得分大于120分的学生人数为（    ）（参考数据：）

A．16 B．10 C．8 D．2

【答案】C

【分析】根据正态分布的性质，结合题中所给的公式进行求解即可.

【详解】因为数学成绩，所以，因此由

所以有，

估计该班数学得分大于120分的学生人数为，

故选：C

8．已知且且且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】令，利用导数研究其单调性后可得的大小.

【详解】因为，故，同理，

令，则，

当时，，当时，，

故在为减函数，在为增函数，

因为，故，即，而，

故，同理，，，

因为，故，

所以.

故选：D．

【点睛】思路点睛：导数背景下的大小比较问题，应根据代数式的特征合理构建函数，再利用导数讨论其单调性，此类问题，代数式变形很关键．

二、多选题

9．下列说法正确的是（    ）

A．设有一个经验回归方程＝3－5x，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位

B．若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则样本相关系数r的值越接近于1

C．在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高

D．在一元线性回归模型中，决定系数R2越接近于1，说明回归的效果越好

【答案】CD

【分析】根据线性回归方程的含义即可判断A，由相关系数以及决定系数的定义即可判断BD，由残差的含义即可判断C.

【详解】A选项，因为＝3－5x，所以变量x增加一个单位时，y平均减少5个单位，故A错误；B选项，线性相关性具有正负，相关性越强，则样本相关系数r的绝对值越接近于1，故B错误；

C选项，在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明波动越小，即模型的拟合精度越高，故C正确；

D选项，在一元线性回归模型中，决定系数R2越接近于1，说明模型拟合的精度越高，即回归的效果越好，故D正确.

故选：CD

10．一盒中有7个乒乓球．其中5个未使用过，2个已使用过，现从盒子中任取3个球来用，用完后再装回盒中．记盒中已使用过的球的个数为X，则下列结论正确的是（    ）

A．X的所有可能取值是 B．X最有可能的取值是5

C．X等于3的概率为 D．X的数学期望是

【答案】AC

【分析】先求出随机变量X的可能取值，然后求出其对应的概率，由数学期望的计算公式求出E(X)，由此判断四个选项即可.

【详解】记未使用过的乒乓球为A，已使用过的为B，

任取3个球的所有可能是：1A2B，2A1B，3A；

A使用后成为B，故X的所有可能取值是3，4，5；

，

，

，

所以X最有可能的取值是4；

.

故选：AC

11．若，则（    ）

A．

B．

C．除以4的余数为1

D．

【答案】ACD

【分析】变形二项式，再求出展开式中含项的系数判断A；赋值计算判断BC；对给定等式两边求导，再赋值计算判断D作答

【详解】将变形为：

，

则展开式中含项为，因此，A正确；

令，得，令，得，

因此，B错误；

令，得，令，可得，

于是

，因此除以4的余数为1，C正确；

把两边对变量求导，

得，

令，得，D正确.

故选：ACD

12．已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A．函数存在两个不同的零点

B．函数既存在极大值又存在极小值

C．当时，方程有且只有两个实根

D．若时，，则t的最小值为2

【答案】ABC

【分析】首先求函数的导数，利用导数分析函数的单调性和极值以及函数的图象，最后直接判断选项．

【详解】对于A，由，得，∴，故A正确；

对于B，，

当时，，当时，，

∴在，上单调递减，在上单调递增，

∴是函数的极小值，是函数的极大值，故B正确；

对于C，当时，，根据B可知，函数的最小值是，再根据单调性可知，当时，方程有且只有两个实根，所以C正确；

对于D：由图象可知，t的最大值是2，所以D不正确．

故选：ABC.

【点睛】本题考查了导数分析函数的单调性，极值点，以及函数的图象，首先求函数的导数，令导数为0，判断零点两侧的正负，得到函数的单调性，本题易错的地方是是函数的单调递减区间，但当时，，所以图象是无限接近轴，如果这里判断错了，那选项容易判断错了．

三、填空题

13．已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同．甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为      ．

【答案】

【分析】根据题意，利用古典概型，直接求概率.

【详解】已知他第一次拿到白球，那么现在还剩下9个球，包含3个红球，1个白球，5个黑球，则第二次拿到红球的概率.

故答案为：

14．某校为迎接市春季运动会，从5 名男生和4名女生组成的田径队中选出4人参加比赛，要求男、女生都有，则男生甲与女生乙至少有1人入选的方法总数为             .

【答案】86

【分析】分为男生甲入选女生乙不入选，男生甲不入选女生乙入选，男生甲入选女生乙入选三类考虑，结果相加即可.

【详解】由题可分三类考虑：

男生甲入选女生乙不入选的方法数为：，

男生甲不入选女生乙入选的方法数为：，

男生甲入选女生乙入选的方法数为：,

所以男生甲与女生乙至少有1人入选的方法总数为：.

故答案为：86.

15．小赵计划购买某种理财产品，设该产品每年的收益率为X，若，则小赵购买该产品4年，恰好有2年是正收益的概率为           .

【答案】

【分析】先求出该产品每年为正收益的概率，再利用二项分布的概率计算公式进行求解即可.

【详解】由，及，可知该产品每年为正收益的概率为，则小赵购买该产品4年，

恰好有2年是正收益的概率为.

故答案为：.

16．已知函数有两个极值点，则实数m的取值范围是      .

【答案】（，0）

【分析】先求导函数，函数有两个极值点，等价于有两个根，等价于函数与的图象由两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象．由图可求得实数的取值范围．

【详解】因为，所以，令，得，要使函数有两个极值点，只需有两个不同根，从而函数与的图象由两个交点，，令，则在（0，+∞）上单调递减且，∴当时，，即，在（0，1]上单调递增；当）时，，即，在（1，+∞）上单调递减，故，令得，当时，，，当时，，，若有两极值点，只要和的图象在（0，+∞）上有两个交点，所以，故实数m的取值范围是.

故答案为：.

四、解答题

17．已知函数，求函数在区间上的最小值.

【答案】答案见解析

【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，再分、、三种情况讨论，分别求出函数在区间上的最小值.

【详解】因为，则，         

由，得，

当时，当时，

所以在区间上单调递减，在区间上单调递增.

①当，即时，在上单调递增，

所以的最小值为；

②当，即时，

在上单调递减，在上单调递增，

所以的最小值为；

③当，即时，在上单调递减，

所以的最小值为.

综上，当时，的最小值为0；

当时，的最小值为；

当时，的最小值为.

18．某校为全面加强和改进学校体育工作，推进学校体育评价改革，建立了日常参与，体质监测和专项运动技能测试相结合的考查机制，在一次专项运动技能测试中，该校班机抽取60名学生作为样本进行耐力跑测试，这60名学生的测试成绩等级及频数如下表

(1)从这60名学生中随机抽取2名学生，这2名学生中耐力跑测试成绩等级为优或良的人数记为X，求；

(2)将样本频率视为概率，从该校的学生中随机抽取3名学生参加野外拉练活动，耐力跑测试成绩等级为优或良的学生能完成该活动，合格或不合格的学生不能完成该活动，能完成活动的每名学生得100分，不能完成活动的每名学生得0分．这3名学生所得总分记为Y，求Y的数学期望．

【答案】(1)；

(2)90.

【分析】（1）由题意根据古典概率公式可求得答案；

（2）由题得Y可以取0，100，200，300，分别求得Y取每一个随机变量的概率得出Y的分布列，由期望公式可求得答案．

【详解】（1）解：由题意得；

（2）解：能完成活动的概率为，不能完成活动的概率为，

由题得Y可以取0，100，200，300，则

，

，

，

，

所以Y的分布列为：

则Y的数学期望为．

19．为进一步保护环境，加强治理空气污染，某市环保监测部门对市区空气质量进行调研，随机抽查了市区100天的空气质量等级与当天空气中的浓度（单位：），整理数据得到下表：

若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”，根据上述数据，回答以下问题.

（Ⅰ）估计事件“该市一天的空气质量好，且的浓度不超过150”的概率；

（Ⅱ）完成下面的列联表，

（Ⅲ）根据（Ⅱ）中的列联表，判断是否有的把握认为该市一天的空气质量与当天的浓度有关？

附：；

【答案】（1）0.46；（2）列联表见解析；（3）有

【分析】（1）求出该市一天的空气质量好，且的浓度不超过150的天数即可求出概率；

（2）根据表中数据即可得出列联表；

（3）求出卡方值，和6.635比较即可判断.

【详解】（1）由表格可知，该市一天的空气质量好，且的浓度不超过150的天数为天，

则该市一天的空气质量好，且的浓度不超过150的概率为；

（2）由表格数据可得列联表如下：

（3）由（2）知，

所以有99%的把握认为该市一天的空气质量与当天的浓度有关.

20．某学校组织“纪念共青团成立100周年”知识竞赛，有A，B，C三类问题，每位参加比赛的同学需要先选择一类并从中随机抽取一个问题回答，只有答对当前的问题才有资格从下一类问题中再随机抽取一个问题回答．A类问题中的每个问题回答正确得10分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分，C类问题中的每个问题回答正确得30分，否则得0分．已知小康同学能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，能正确回答C类问题的概率为0.4，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．

(1)若小康按照的顺序答题，记X为小康的累计得分，求X的分布列；

(2)相比较小康自选的的答题顺序，小康的朋友小乐认为按照的顺序答题累计得分期望更大，小乐的判断正确吗？并说明理由．

【答案】(1)答案见解析;

(2)小乐的判断正确；理由见解析

【分析】(1) 题可知，X的所有可能取值为0，30，50，60,分别求出对应的概率即可；

(2)分别求出小康和小乐的均值，比较均值大小即可判断.

【详解】（1）由题可知，X的所有可能取值为0，30，50，60

所以X的分布列为

（2）由（1）知，．

若小康按照顺序答题，记Y为小康答题的累计得分，则Y的所有可能取值为0，10，30，60,

所以

故小乐的判断正确.

21．全球化时代，中国企业靠什么在激烈的竞争中成为世界一流企业呢？由人民日报社指导，《中国经济周刊》主办的第十八届中国经济论坛在人民日报社举行，就中国企业如何提升全球行业竞争力进行了研讨.数据显示，某企业近年加大了科技研发资金的投入，其科技投入(百万元)与收益(百万元)的数据统计如下：

根据数据特点，甲认为样本点分布在指数型曲线的周围，据此他对数据进行了一些初步处理.如下表：

其中，.

（1）请根据表中数据，建立关于的回归方程(系数精确到)；

（2）①乙认为样本点分布在直线的周围，并计算得回归方程为，以及该回归模型的决定系数(即相关指数)，试比较甲乙两人所建立的模型，谁的拟合效果更好？

②由①所得的结论，计算该企业欲使收益达到亿元，科技投入的费用至少要多少百万元？(精确到)

附：对于一组数据，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，，决定系数：.参考数据：.

【答案】（1）；（2）①甲建立的回归模型拟合效果更好；②科技投入的费用至少要百万元.

【分析】（1）两边取对数得，令，利用最小二乘法可求得，由此可得回归方程；

（2）①根据公式计算可得相关指数，由此可得结论；

②由，解不等式可求得范围，由此可得结果.

【详解】（1）将两边取对数得：，令，则，

，根据最小二乘估计可知：，

，

回归方程为，即.

（2）①甲建立的回归模型的.

甲建立的回归模型拟合效果更好.

②由①知，甲建立的回归模型拟合效果更好.

设，解得：，解得：.

科技投入的费用至少要百万元，下一年的收益才能达到亿.

22．已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）证明不等式恒成立．

【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）证明见解析．

【分析】（1）求出函数导数，讨论的范围结合导数即可得出单调性；

（2）构造函数，利用导数可得在上有唯一实数根，且，则可得，即得证.

【详解】（1）

当时，，所以在上单调递增；

当时，令，得到，

所以当时，，单调递增，

当时，，单调递减．

综上所述，当时，在上单调递增；

当时，在上单调递增，在上单调递减．

（2）设函数，

则，可知在上单调递增．

又由，知，在上有唯一实数根，且，

则，即．

当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

所以，结合，知，

所以，

则，

即不等式恒成立．

【点睛】关键点睛：本题考查不等式恒成立的证明，解题的关键是转化为证明的最小值大于0.