2022-2023学年广东省广州市天河区高二下学期期末数学试题含答案

这是一份2022-2023学年广东省广州市天河区高二下学期期末数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．在某项测试中，测量结果服从正态分布，若，则（ ）
A．0.1B．0.2C．0.3D．0.4
【答案】C
【分析】根据正态分布对称性相关知识求解.
【详解】因为服从正态分布，，
所以，
所以.
故选：C
2．已知随机变量，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用对立事件的概率公式结合独立事件的概率公式可求得的值.
【详解】因为随机变量，则.
故选：A.
3．已知数列满足，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分析可知，数列是首项为，公差为的等差数列，逐项计算可得出所求代数式的值.
【详解】因为，所以，数列是首项为，公差为的等差数列，
则，，，，，
因此，.
故选：A.
4．已知抛物线上的点到其焦点的距离为，则点的横坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用抛物线的定义可求得点的横坐标.
【详解】设点的横坐标为，抛物线的标准方程为，该抛物线的准线方程为，
因为抛物线上的点到其焦点的距离为，则，解得.
故选：C.
5．古希腊时期，人们把宽与长之比为的矩形称为黄金矩形，把这个比值称为黄金分割比例，其中.如下图为希腊的一古建筑，其中图中的矩形、、、、、均为黄金矩形，若与之间的距离超过，与之间的距离小于，则该古建筑中与之间的距离可能是（ ）
（参考数据：，，，，，）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设，，进而根据题意得，，故，解不等式即可得答案.
【详解】设，,因为矩形、、、、、均为黄金矩形，
所以有，，，，，，
由题设得，且，，
解得，即.
故选：B.
6．甲、乙、丙三人相互做传球训练，第次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则次传球后球在乙手中的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】①先求出次传球的路线种数，再求出次传球后球在乙手中的路线种数，再利用古典概型的概率计算公式求解即可；
【详解】由题意可知，次传球总的传球路线种数为种，
次传球后球在乙手中有如下线路：
甲乙甲丙乙，甲乙丙甲乙，甲丙甲丙乙，甲丙乙甲乙，甲丙乙丙乙，共种，
故次传球后球在乙手中的概率；
故选：D.
7．某校高二年级羽毛球社团为了解喜欢羽毛球运动是否与性别有关，随机在高二年级抽取了若干人进行调查.已知抽取的女生人数是男生人数的3倍，其中女生喜爱羽毛球运动的人数占女生人数的，男生喜爱羽毛球运动的人数占男生人数的.若本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为喜爱羽毛球运动与性别有关”的结论，则被调查的男生至少有（ ）
参考公式及数据：.
A．35人B．32人C．31人D．30人
【答案】B
【分析】设出人数，列出列联表，由独立性检验的思想求解即可.
【详解】设男生人数为，则女生人数为，
所以其中女生喜爱羽毛球运动的人数为，
男生喜爱羽毛球运动的人数为，
所以得到的列联表为：
解得：，故被调查的男生至少有人.
故选：B.
8．已知函数，若对任意正数，，都有恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据条件可变形为，构造函数，利用其为增函数，结合导数可得恒成立，进而结合二次函数的性质即可求解.
【详解】根据，可知，
令
由，知为增函数，
所以恒成立，
分离参数得，
而当时，在时有最大值为，
故，即实数的取值范围为.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题由条件恒成立，转化为恒成立是解题的关键，再根据此式知函数为增函数，结合导数可得恒成立，进而求解即可.
二、多选题
9．已知，则（ ）
A．B．
C．D．展开式中所有项的二项式系数的和为
【答案】AD
【分析】令，利用赋值法可判断AC选项；利用二项展开式通项可判断B选项；利用二项式系数和可判断D选项.
【详解】令.
对于A选项，，A对；
对于B选项，的展开式通项为，
所以，，B错；
对于C选项，，C错；
对于D选项，展开式中所有项的二项式系数的和为，D对.
故选：AD.
10．设离散型随机变量的概率分布列如表，若，，则下列各式正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】根据分布列的性质以及期望公式可得出关于、的方程组，求出这两个未知数的值，可判断AB选项，求出的值，结合期望和方差的性质可判断CD选项.
【详解】由分布列的性质以及期望公式可得，解得，
，
又因为，则，
，A错，BCD对.
故选：BCD.
11．已知函数，，则下列结论中正确的有（ ）
A．必有唯一极值点
B．若，则在上有极小值
C．若，对有恒成立，则
D．若存在，使得成立，则
【答案】BC
【分析】取，利用导数分析函数的单调性，可判断A选项；当时，利用导数求出函数在上的极小值，可判断B选项；利用参变量分离法可判断CD选项的正误.
【详解】对于A选项，当时，对任意的恒成立，
此时，函数在上单调递增，则函数无极值点，A错；
对于B选项，当时，，则，
令可得，当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，当时，在上有极小值，B对；
对于C选项，当时，有恒成立，即恒成立.
当时，则有，此时，，
当时，由可得，令，其中，
则，当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，，故.
综上所述，，C对；
对于D选项，若存在，使得，可得，
令，其中，则对任意的恒成立，
所以，函数在上单调递增，所以，，
所以，，解得，D错.
故选：BC.
12．已知双曲线的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为、，为双曲线右支上的一点，且直线与的斜率之积等于，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的渐近线方程为
B．若，且，则
C．分别以线段、为直径的两个圆内切
D．
【答案】ACD
【分析】通过求得，从而求得双曲线的渐近线方程，由此判断A选项的正确性；结合三角形的面积以及双曲线的定义求得，由此判断B选项的正确性；通过圆心距和两个圆半径间的关系判断C选项的正确性；结合二倍角的正切公式来判断D选项的正确性.
【详解】对于A选项，设点，则，
因为、，所以，
由，得，故双曲线的渐近线方程为，A对；
对于B选项，因为，所以，
根据双曲线的定义可得，
又因为，所以，整理得.
由，可得，
即，解得，B错；
对于C，设的中点为，为原点.因为、分别为、的中点，
所以，

则可知以线段、为直径的两个圆内切，C对；
对于D，当点在第一象限时，设点，则，.
因为渐近线方程为，
所以，.
当时，即当轴时，则，
所以，，可得，所以，，
此时，为等腰直角三角形，则，满足；
当时，，，
所以
，
因为，所以；
当点在第四象限时，同理可得，
综上可知，D对.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
三、填空题
13．椭圆的离心率为 .
【答案】
【分析】求出、的值，即可得出椭圆的离心率的值.
【详解】在椭圆中，，，则，
因此，椭圆的离心率为.
故答案为：.
14．有4名同学和2位老师排成一排合影，其中2位老师必须相邻，则不同的排法有 种.（用数字作答）
【答案】
【分析】相邻问题用捆绑法即可求出结果.
【详解】将2位老师看成一个整体和4名同学全排列，共有.
故答案为：.
四、双空题
15．要做一个无盖的长方体箱子，其体积为，底面长方形长与宽的比为，则当它的宽为 时，可使其表面积最小，最小表面积为 .
【答案】
【分析】设长方体的宽为，则长方体的长为，可得出长方体的高为，设长方体箱子的表面积为，求出函数的解析式，利用导数求出函数的最小值及其对应的值，即可得出结论.
【详解】设长方体的宽为，则长方体的长为，故长方体的高为，
设该长方体箱子的表面积为，
则，则，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
故当时，函数取最小值，且其最小值为.
因此，当它的宽为时，可使其表面积最小，最小表面积为.
故答案为：；.
五、填空题
16．已知等比数列满足：，.数列满足，其前项和为，若恒成立，则的最小值为 .
【答案】/
【分析】设等比数列的公比为，求出、的值，可得出数列的通项公式，可求出的通项公式，求出，利用对勾函数的单调性求出的最大值，即可得出实数的最小值.
【详解】设等比数列的公比为，则，解得，
所以，，解得，则，
所以，，
，所以，数列为等差数列，
所以，，
则，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，；当时，.
又因为，故的最大值为.
因此，对任意的恒成立，所以，，故的最小值为.
故答案为：.
六、解答题
17．已知函数，其图象在点处的切线方程为.
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在区间上的最值.
【答案】(1)
(2)最大值为，最小值为
【分析】（1）利用导数的几何意义可得出，可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出函数的解析式；
（2）利用导数求出函数的极大值和极小值，再与、进行大小比较，即可得出结论.
【详解】（1）解：因为，则，
因为函数的图象在点处的切线方程为，
则，解得，故.
（2）解：因为，则，列表如下：
又因为，，
所以，函数在上的最大值为，最小值为.
18．已知椭圆的焦点坐标为、，点为椭圆上一点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)经过点且倾斜角为的直线与椭圆相交于、两点，为坐标原点，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由椭圆的定义求出的值，结合的值可得出的值，由此可得出椭圆的标准方程；
（2）设点、，写出直线的方程，将直线的方程与椭圆的方程联立，求出点、的纵坐标，再利用三角形的面积公式可求得的面积.
【详解】（1）解：由椭圆的定义可得，
所以，，又因为，则，
所以，椭圆的标准方程为.
（2）解：设点、，由题意可知，直线的方程为，即.
联立可得，解得，，

所以，.
19．月日是全国大、中学生心理健康日，“”的谐音即为“我爱我”，意在提醒孩子们“珍惜生命、关爱自己”.学校将举行心理健康知识竞赛，第一轮选拔共设有、、三个问题，每位参加者按问题、、顺序作答，规则如下：
①每位参加者计分器的初始分均为分，答对问题、、分别加分、分、分，答错任一题减分；
②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于分时，答题结束，进入下一轮；
③当答完三题，若累计分数大于或等于分，则答题结束，进入下一轮；否则，答题结束，淘汰出局.
假设甲同学对问题、、回答正确的概率依次为、、，且各题回答正确与否相互之间没有影响.
(1)求甲同学进入下一轮的概率；
(2)用表示甲同学本轮答题结束时答对的个数，求的分布列和数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列答案见解析，
【分析】（1）记答对、、分别为事件、、，设甲同学进入下一轮为事件，则，利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得的值；
（2）由题意先求出的可能取值，然后分别计算每一个值对应的概率，列出分布列，代入期望的计算公式即可求解.
【详解】（1）解：记答对、、分别为事件、、，
甲同学进入下一轮为事件，则，
则.
因此，甲同学进入下一轮的概率为.
（2）解：由题意知的可能取值为、、，
，
，
，
所以的分布列为
数学期望.
20．已知正项数列的前项和为，，数列是公比为2的等比数列，且.
(1)求数列和的通项公式；
(2)数列，的所有项按照“当为奇数时，放在前面；当为偶数时，放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新数列：，，，，，，，，…，求数列的前项的和.
【答案】(1)数列的通项公式为，的通项公式为
(2)
【分析】（1）根据与的关系进行转化求得数列是首项为1，公差为1的等差数列，根据定义法即可得到数列的通项公式，再根据等比数列定义法直接得到的通项公式；
（2）先根据题意判断数列的前项的构成，再运用等差等比公式法分别求和，结合分组求和法即可得到答案.
【详解】（1）因为，
所以令，得，即，
所以或，因为数列是正数数列，所以；
当时，由，
则，
两式相减，
即，
整理得，
因为，
所以，
所以，即
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列.
所以；
所以，
因为数列是公比为2的等比数列，
所以.
所以数列的通项公式为，的通项公式为.
（2）由题意知，数列的前项由数列的前项，的前项组成，
数列的前项的和为，
数列的前项的和为，
所以数列的前项的和.
21．某医疗团队为研究市的一种疾病发病情况与该市居民的年龄关系，从该市疾控中心得到以下数据：
(1)若将每个区间的中点数据记为，对应的发病率记为（，2，3，4，5），根据这些数据可以建立发病率关于年龄（岁）的经验回归方程，求；
(2)医学研究表明，化验结果有可能出现误差.现有市某一居民年龄在，表示事件“该居民化验结果呈阳性”，表示事件“该居民患有这种疾病”.用频率估计概率，已知，求.
参考公式及数据：， ， .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出，结合所给数据，代入公式求出，进而求出；
（2）利用条件概率得到和，进而求出，利用全概率公式求出答案.
【详解】（1）由题意得，
，
故，，
则，
则；
（2）用频率估计概率，可得，
故，，
故，
故.
22．已知函数，.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，证明：；
(3)证明：对任意的且，都有：.
【答案】(1)见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）求得，对参数进行分类讨论，即可求得不同情况下函数的单调性；
（2）构造函数，利用导数研究函数单调性和最值，即可证明；
（3）根据（2）中所求得，结合放缩法和累加法即可证明.
【详解】（1）函数定义域，
，
当时，恒成立，所以在单调递增；
当时，令，得，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
综上所述，当时， 在单调递增；
当时， 在单调递增，在单调递减.
（2）当时，，
要证明，
即证，即证，
设，则，
令得，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
所以，即，
故得证.
（3）由（2）可得，（当且仅当时等号成立），
令，，
则，
所以
，
即，
所以.
【点睛】方法点睛：本题考查利用导数研究含参函数单调性，以及构造函数利用导数证明不等式，以及数列和导数的综合，要善于运用转化法，整体代换转化进行放缩证明不等式.
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
男生
女生
合计
喜爱羽毛球运动
不喜爱羽毛球运动
合计
增
极大值
减
极小值
增
P
年龄段（岁）
发病率（）
0.09
0.18
0.30
0.40
0.53