2022-2023学年江苏省南通市如皋市高二下学期教学质量调研（二）数学试题含答案

2022-2023学年江苏省南通市如皋市高二下学期教学质量调研（二）数学试题

一、单选题

1．已知集合，，若，则实数的值可能为（    ）

A． B． C．0 D．2

【答案】C

【分析】由题意可得，由得，所以，排除AB，然后选项CD代入验证即可.

【详解】因为当时，，当时，，

所以

因为，所以，

所以，得，

所以AB错误，

对于C，若，则，此时，所以C正确，

对于D，若，则，此时，不合题意，所以D错误，

故选：C

2．已知幂函数，下列能成为“是上奇函数”充分条件的是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【分析】根据幂函数的定义域、奇偶性的判断方法依次判断各个选项即可.

【详解】对于A，，的定义域为，

又，是定义在上的奇函数，充分性不成立，A错误；

对于B，，的定义域为，

为非奇非偶函数，充分性不成立，B错误；

对于C，，的定义域为，

又，是定义在上的偶函数，充分性不成立，C错误；

对于D，，的定义域为，

又，是定义在上的奇函数，充分性成立，D正确.

故选：D.

3．函数的零点个数为（    ）

A．1 B．3 C．5 D．7

【答案】B

【分析】求出为奇函数，并得到，考虑时无零点，时，求导，得到函数极值和最值情况，结合零点存在性定理得到零点，结合函数的对称性求出零点个数.

【详解】定义域为R，，

又，故为奇函数，

当时，由于恒成立，故恒成立，无零点，故时，也不存在零点，

当时，，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

故在处取得极大值，也时最大值，，显然，，

故由零点存在性定理知，在上存在一零点，

结合函数为奇函数，在上存在一零点，

综上，一共有3个零点.

故选：B

4．云计算是一种全新的网络应用概念，其核心概念是以互联网为中心，在网站上提供快速且安全的云计算服务与数据存储.近年来，我国云计算市场规模持续增长.某科技公司云计算市场规模与年份代码的关系可以用模型拟合，设，2018年至2022年数据统计表如下：

若根据上表得到回归方程，则该科技公司2025年云计算市场规模约为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据已知求出的值，代入回归方程，求出的值，可得关于的回归方程，代入，求出的值，从而求出的值，即可求解.

【详解】，，

将代入回归方程，可得，

即，所以关于的回归方程为，

2025年即当时，，此时.

故：B.

5．若，，，则下列关系正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用指数函数的单调性可判断的范围，利用对数函数的性质比较的大小，即可得答案.

【详解】因为指数函数为R上的单调递减函数,

故可得，

，

故，

故选：A

6．已知函数，存在最小值，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】画出函数的图象，根据图象即可求解.

【详解】,

令得

且时，时，时，

在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

又，

又时,或或，

所以其图象如下：

由图像，时存在最小值，必有，

故选：

7．已知当时，.根据以上信息，若对任意，有，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据已知条件，依次求出，的展开式，再结合对应的系数，即可求解.

【详解】由题知，，

同理得，

因为，有，

所以.

故选：B

8．已知函数，，（其中为自然对数的底数）.若存在实数，使得，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由存在实数，使得可转化为，构造函数，研究函数的单调性，再分离参数即可得解.

【详解】因为存在实数，使得，

所以，即，

令，则，

函数在R上单调递增，，

即的最小值，

令，，

当时，，当时，，

函数在上单调递减，在上单调递增，

时，函数取得极小值即最小值，

，

.

故选：C

二、多选题

9．若函数的单调递增区间为，则可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】先求定义域，再求导，令导函数大于0求出递增区间.

【详解】A选项，的定义域为，故单调递增区间不可能为，A错误；

B选项，定义域为，

，令，解得，

所以单调递增区间为，B正确；

C选项，定义域为，

，令，解得或，

所以单调递增区间为，，C错误；

D选项，定义域为，

，令，解得，

故单独递增区间为，D正确.

故选：BD

10．某同学在高二年级所有检测中语文和数学成绩均服从正态分布，记语文成绩为，数学成绩为，且，，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】根据正态分布的性质结合已知条件逐个分析判断即可

【详解】对于A，因为，所以，所以A正确，

对于B，因为，所以，所以B错误，

对于C，因为，所以，所以C正确，

对于D，因为，，所以，所以D正确，

故选：ACD

11．若展开式中二项式系数和为64，下列结论正确的是（    ）

A． B．展开式中第3项为

C．展开式中常数项为60 D．展开式中各项系数之和为729

【答案】AD

【分析】对于A，由题意可得，从而可求出的值，对于BC，求出二项式展开式的通项公式，然后分析计算，对于D，令求解即可.

【详解】对于A，因为展开式中二项式系数和为64，

所以，得，所以A正确，

对于B，由选项A可知二项式为，则其展开式的通项公式为，

所以展开式中第3项为，所以B错误，

对于C，令，得，所以展开式中常数项为，所以C错误，

对于D，令，则，所以展开式中各项系数之和为729，所以D正确，

故选：AD

12．在长方体中，，，为棱上任意一点，则下列结论正确的是（    ）

A．长方体表面积的最大值为6

B．长方体外接球表面积的最小值为

C．到平面的距离的最大值为

D．三棱锥体积的最大值为

【答案】AD

【分析】对于A，设，（），然后表示出长方体的表面积，根据二次函数的性质可求得其最大值，对于B，设长方体外接球半径为，则，化简后利用二次函数的性质可求出的最小值，从而可求出其外接球表面积的最小值，对于C，设点到平面的距离为，则由可表示出，从而可求出其范围，对于D，，然后利用基本不等式可求得结果.

【详解】对于A，设，（），则该长方体表面积为

，

所以当时，取得最大值6，

即长方体表面积的最大值为6，所以A正确，

对于B，设，（），设长方体外接球半径为，

则，

所以当时，上式取得最小值3，此时的最小值为，

所以长方体外接球表面积的最小值为，所以B错误，

对于C，设点到平面的距离为，即点到平面的距离为，

因为，所以，

，

所以，

设，（），则

所以，

因为，所以，

所以到平面的距离无最大值，所以C错误，

对于D，，

当且仅当，即时取等号，

所以三棱锥体积的最大值为，所以D正确，

故选：AD

【点睛】关键点点睛：此题考查长方体外接球问题，考查点到面的距离，考查基本不等式的应用，解题的关键是根据已知条件设出，则（），然后表示出长方体的表面积和三棱锥的体积，再利用二次函数的性质和基本不等式可求得结果，考查空间想象能力和计算能力，属于中档题.

三、填空题

13．已知，则的值为      .

【答案】

【分析】首先求出，又，再根据对数的运算性质计算可得.

【详解】因为，所以，即，

所以，

所以，

所以.

故答案为：

14．如图，直三棱柱所有棱长均为2，M为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为      .

【答案】

【分析】取中点，找到异面直线与所成角，结合余弦定理可求答案.

【详解】取的中点，连接；

因为分别为的中点，所以且，

或其补角是异面直线与所成角；

因为直三棱柱所有棱长均为2，所以，

，；

在中，.

所以异面直线与所成角的余弦值为.

故答案为：.

15．某同学连续两天在学校信息图文中心2楼和3楼进行拓展阅读，第一天等可能地从信息图文中心2楼和3楼中选择一层楼进行阅读.如果第一天去2楼的条件下第二天还在2楼阅读的概率为0.7；第一天去3楼的条件下第二天去2楼阅读的概率为0.8，该同学第二天去3楼阅读的概率为      .

【答案】/

【分析】利用全概率公式可求答案.

【详解】设事件“第天去2楼阅读”， 事件“第天去3楼阅读”，

则，，；

所以 .

故答案为：

16．已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则      .

【答案】

【分析】根据偶函数定义可推导得到，结合已知等式可得是周期为的周期函数，由此可得；采用赋值法可求得，由此可得结果.

【详解】为偶函数，，

令，则，，；

又，，即，

，

是周期为的周期函数，，

由得：，即，

又，，.

故答案为：.

四、解答题

17．已知函数且.

(1)判断函数的奇偶性，并说明理由；

(2)若，当时，求的值域.

【答案】(1)奇函数，理由见解析

(2)

【分析】（1）由对数真数大于零可求得定义域关于原点对称，由奇偶性定义可得到结论；

（2）根据可求得，从而化简得到，可利用不等式的性质或者函数单调性求得的范围，进而确定的值域.

【详解】（1）为奇函数，理由如下：

由得：，的定义域为；

，为定义在上的奇函数.

（2），，

；

方法一：当时，，，，

，即的值域为；

方法二：令，

在上单调递减，，，

，，即的值域为.

18．如图，三棱锥中，平面，线段的中点为，，且.

(1)证明：平面；

(2)若，，求二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用两种方法证明：几何法，通过证明线线垂直，证明线面垂直；向量法，先求出平的法向量，再证明，即可证明结果；

（2）几何法，过点作，垂足为，通过证明平面，从而得到为二面角的平面角，再，利用几可关系求出和,即可求出结果；向量法，根据（1）中所求平面法向量，利用向量中的空间角向量公式即可求出结果.

【详解】（1）法一：在中，，线段的中点为，

所以,

因为平面，平面，

所以．

因为平面，平面，，

所以平面．

法二：如图，以为基底建立空间直角坐标系．

因为，，线段的中点为，

所以，

所以．

设平面的一个法向量为，由

，得到，解得．

令，则，所以．

易知，平面的一个法向量为，

设平面的一个法向量为，

则由，得到，取，所以．

又因为，

所以，

所以平面

（2）在中，过点作，垂足为，连接，

因为平面，平面，

所以,又因为，平面，平面，，

所以平面，又因为平面，所以．

又因为，平面，平面，，

所以平面，所以，

所以为二面角的平面角，

在中，，，

所以，．

同理，在中，，

所以．

所以二面角的余弦值．

法二，设二面角的平面角为，则为锐角，则

，

所以二面角的余弦值．

19．一盒子中放有个大小相同的小球，其中个红球，个白球.现从中抽取两次，一次抽取两个球，若第一次抽出后不放回.

(1)求第一次抽到两个红球的条件下，第二次抽到两个白球的概率；

(2)若一次抽出的两个球同色即中奖，求中奖次数的概率分布和数学期望.

【答案】(1)

(2)概率分布见解析，数学期望

【分析】（1）根据条件概率公式直接计算即可；

（2）首先确定所有可能的取值，并计算得到每个取值对应的概率，由此可得概率分布；根据数学期望公式可求得期望值.

【详解】（1）记“第一次抽到两个红球”为事件，“第二次抽到两个白球”为事件，

则，，

.

（2）由题意知：所有可能的取值为，

；；；

的概率分布为：

数学期望.

20．已知函数，其中.

(1)当时，求函数的极小值；

(2)若在处的切线与图象也相切，求实数的值.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）当时，利用导数分析函数的单调性，即可得出函数的极小值；

（2）利用导数求出函数在处的切线方程，将切线方程与联立，由可求得实数的值.

【详解】（1）解：当时，，其中

所以，令，解得．

列表如下：

所以函数的极小值为．

（2）解：因为，所以，所以．

因为，所以在处的切线方程为．

因为与图像相切，

所以有两个相等的实根，

所以，解得，所以实数的值为或．

21．直播带货业务是当前行业电商的主要业务构成之一.某公司通过抖音，快手，淘宝等直播平台与网红，明星等进行带货合作，甲公司和乙公司所售商品存在竞争关系，两公司在某购物平台上同时开启直播带货促销活动.

(1)现对某时段21-40岁年龄段100名用户观看直播后选择甲公司和乙公司所售商品选购情况进行调查，统计数据如下表：

请完成上述列联表，并判断是否有99.9%的把握认为选择哪家直播间购物与用户年龄有关?

(2)五一期间，甲公司购物平台直播间进行“抢购”活动，假设直播间每人下单的概率均为，直播间每人下单成功与否互不影响.若从直播间随机抽取5人，记5人中恰有3人下单成功的概率为，求的最大值，并求出取得最大值时的值.

参考公式：，其中.

临界值表：

【答案】(1)列联表见解析，有把握

(2)最大值，

【分析】（1）由题意可得列联表,进而计算的值,与临界值表比较,可得结论；

（2）设5人中下单成功的人数为，确定，从而可得的表达式，利用导数判断其单调性，即可求得最值.

【详解】（1）由题意可得列联表：

提出假设：选择哪家直播间购物与用户年龄无关．

因为，

所以

，

即假设不成立，

所以有99.9%的把握认为选择哪家直播间购物与用户年龄有关．

（2）设5人中下单成功的人数为，

因为直播间每人下单成功与否互不影响，

所以，

所以．

所以，

令，解得．

列表如下：

所以当时，取得极大值，即最大值．

22．已知函数，其中为自然对数的底数.

(1)讨论函数的单调性，并说明理由；

(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）先求出函数的定义域，然后对函数求导，再分和两种情况讨论导数的正负，从而可求出函数的单调区间，

（2）由，得，然后构造函数，求导后，再构造函数，然后分，和三种情况讨论函数的单调性，只需即可.

【详解】（1）的定义域为，

由，得，

当时，，所以在上递减，

当时，由，得，

由，得，

所以在上递减，在上递增，

综上，当时，在上递减；

时，在上递减，在上递增，

（2）由，得，即，

令，则，

令，则，

①当时，，，

所以在上递增，

所以，

所以在上递增，

所以，符合题意，

②当时，，，

所以在上递增，

，

若，则，使，

所以当时，，

所以在上递减，

所以时，，不合题意，舍去，

若，则在上恒小于零，

所以在上递减，

所以时，，不合题意，舍去，

③当时，，，

所以在上递减，

所以，

所以在上递减，

所以，不合题意，舍去，

综上，，即实数的取值范围为.

【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数讨论函数的单调性，考查利用导数解决不等恒成立问题，第（2）问解题的关键是将问题转化为当时，恒成立，然后构造函数，求导后无法判断导数的正负，所以再次构造函数，再求导判断导数正负，考查分类讨论的思想和计算能力，属于难题.