2022-2023学年江西省上饶市民校考试联盟高二下学期阶段测试（四）数学试题含答案

2022-2023学年江西省上饶市民校考试联盟高二下学期阶段测试（四）数学试题

一、单选题

1．在等差数列中，首项，前3项和为6，则等于（    ）

A．0 B．6 C．12 D．18

【答案】A

【分析】根据题意求出公差，从而可得出答案.

【详解】设公差为，

则，解得，

所以.

故选：A.

2．下列导数运算正确的是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则逐项计算即可判断.

【详解】；；；.

故选：D.

3．已知公差不为零的等差数列满足：，且成等比数列，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据条件列出关于等差数列基本量的方程组，即可求解.

【详解】设等差数列的首项为，公差为，

则，，

因为成等比数列，所以，即，

因为，所以，

所以.

故选：A

4．已知，的导函数分别为，且，则（    ）

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】C

【分析】确定，代入数据计算得到答案.

【详解】由得，所以，

故选：C

5．中国古代某数学名著中有这样一个类似问题：“四百四十一里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见末日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：有一个人一共走了441里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问最后一天走的路程是（    ）

A．7里 B．8里 C．9里 D．10里

【答案】A

【分析】由“每天走的路程为前一天的一半”可知这个人每天走的路程是等比数列，再根据等比数列求和公式得出答案.

【详解】设第六天走的路程为，第五天走的路程为……第一天走的路程记为，

根据题意每天走的路程为前一天的一半，所以公比，且，，所以，从而解得，

故选：A.

6．记等比数列的前项和为，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】首先根据等比数列通式求出，再化简得，代入计算即可.

【详解】设等比数列的公比为，

由，得，

故选：D.

7．已知函数，若函数有个零点，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用导数可求得单调性和最值，由此可得图象，根据函数零点个数可直接构造不等式求得结果.

【详解】定义域为，，

当时，；当时，；

在上单调递减，在上单调递增；，

可得图象如下图所示，

有个零点，，解得：，即实数的取值范围为.

故选：D.

8．给定函数，若数列满足，则称数列为函数的牛顿数列．已知为的牛顿数列，，且，数列的前项和为．则（　　）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由导数结合题设条件得出，两边取对数，结合等比定义以及求和公式求解即可.

【详解】，，

，则两边取对数可得.

即，所以数列是以为首项，为公比的等比数列.

所以.

故选：A

二、多选题

9．已知函数，关于的性质，以下四个结论中正确的是（    ）

A．函数在处取得最小值 B．函数在区间上是增函数

C．有两个零点 D．是奇函数

【答案】AC

【分析】求出函数的导数，利用导数探讨单调性、最值判断AB；解方程求出零点判断C；利用奇偶性定义判断D作答.

【详解】函数的定义域为R，，

当时，，即函数在上单调递减，

当或时，，即函数在，上单调递增，B错误；

函数的极大值，极小值，

而当或时恒有，因此函数在处取得最小值，A正确；

由解得或，因此函数有两个零点，C正确；

因为，，即是非奇非偶函数，D错误.

故选：AC

10．已知数列的前项和为，若，则下列说法正确的是（    ）

A．是递增数列 B．数列是递增数列

C．数列中的最小项为 D．、、成等差数列

【答案】AB

【分析】根据可知数列为等差数列，根据通项公式和求和公式结合选项逐个判断.

【详解】因为，所以数列为等差数列，公差为3，

因为，所以，；

对于A，因为，所以是递增数列，A正确；

对于B，因为，所以数列是递增数列，B正确；

对于C，因为，所以数列中的最小项为，C不正确；

对于D，当时，，显然不是等差数列，D不正确.

故选：AB.

11．已知函数，函数，下列选项正确的是（     ）

A．点是函数的零点；

B．，，使

C．若关于的方程有一个根，则实数的取值范围是

D．函数的值域为

【答案】BD

【分析】由函数零点的定义可判断A不正确，根据函数的单调性，结合图像可判断B与D是否正确，根据函数的单调性与极值情况，结合图像可确定a的取值范围，可判断选项C．

【详解】令，可得，是函数的零点，零点是实数0，不是点，A错误；

因为，当时，，当时，，当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且的极小值为和，且，

当时，，当时，，如图，作出函数的图像，

观察图像可知，，，使，所以B正确；

函数的值域为，D正确；

对于C，由，得，因为，则，

令，得或或，当变化时，，的变化情况，如下表

如图，

当或或时，关于的方程有一个根，所以a的取值范围是，C不正确.

故选：BD．

12．如图，有一列曲线，，……，，……，且1是边长为1的等边三角形，是对进行如下操作而得到：将曲线的每条边进行三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到，记曲线的边数为，周长为，围成的面积为，则下列说法正确的是（    ）

A．数列{}是首项为3，公比为4的等比数列

B．数列{}是首项为3，公比为的等比数列

C．数列是首项为，公比为的等比数列

D．当n无限增大时，趋近于定值

【答案】ABD

【分析】结合图形规律得，即可判断A,根据第个图形的边长为 ，即可判断B，根据，利用累加法及等比数列的前项和公式求出．

【详解】是在的基础上，每条边新增加3条新的边，故，又,所以数列{}是首项为3，公比为4的等比数列,且 故A正确，

第个图形的边长为 ，所以，故数列{}是首项为3，公比为的等比数列，故B正确，

因为是在的每条边上再生出一个小正三角形，于是

，

同理，对是在的每条边上再生出一个小正三角形，

于是的面积等于的面积加上个新增小三角形的面积，

即，

于是可以利用累加的方法得到

将上面式子累加得

当时， ，故C错误，D正确，

故选：ABD

三、填空题

13．若数列为等差数列，且，，则该数列的前项和为         ．

【答案】

【分析】根据等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程，求得首项和公差，即可求得答案.

【详解】由题意数列为等差数列，且，，

设数列公差为d，则，解得，

故，

故答案为：

14．已知，成等差数列，则      .

【答案】2

【分析】先利用对数的定义求出的范围，再利用等差数列的性质建立方程解出即可.

【详解】由对数定义有：，

由成等差数列，

所以，即

，

化简得：，

解得：或，由，

所以：，

故答案为：2.

15．已知恰有一个零点，则的值为      .

【答案】/

【分析】根据条件可得，进而把问题转化为只有一解，然后利用导数研究函数的性质结合函数图象即得；或根据公切线的几何求法转化为方程只有一解进而求解.

【详解】解法一：

因为，即，

所以，

故，

令，则，

因为，当时，，函数单调递增，

又因为时，，，

所以，即只有一解，

设，则，

由可得，函数单调递增；

由可得，函数单调递减；

当时，函数，可得函数的大致图象，

所以即.

解法二：

因为函数与互为反函数，图象关于对称，

要使恰有一个零点，则与相切，

所以，即，

所以只有一个解，以下同方法一.

故答案为：.

四、双空题

16．已知，若对任意两个不等的正实数都有恒成立，则的取值范围是   ，若在区间上存在单调递增区间，则的取值范围是        ．

【答案】         

【分析】将不等式等价变形成，构造函数，利用函数单调性得解；由函数的导函数大于0在上有解即可作答.

【详解】因对任意两个不等的正实数都有，则不妨令，于是有，

设函数，依题意，是定义域上的增函数，

则有，而当时，取得最大值1，从而得，

所以的取值范围是；

因在区间上存在单调递增区间，则不等式，即在上有解，

而时，，于是得，

所以的取值范围是.

故答案为：；

五、解答题

17．已知数列是公差为2的等差数列，它的前n项和为Sn，且成等比数列.

（1）求的通项公式；

（2）求数列的前n项和.

【答案】（1），（2）

【分析】（1）由题意可得，从而可求出，进而可求得的通项公式；

（2）由（1）可得，然后利用裂项相消求和法可求得结果

【详解】（1）因为数列是公差为2的等差数列，且成等比数列，

所以即，解得，

所以；

（2）由（1）得，

所以.

18．已知函数，，且．求

(1)的值及曲线在点处的切线方程；

(2)函数在区间上的最小值．

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）求出函数的导函数，由代入求出，从而得到函数解析式与导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程；

（2）求出函数的单调区间，从而求出函数的极小值，在计算端点值，即可判断.

【详解】（1）由题意，，

因为，所以，解得，

所以，则，，则，

所以切点为，切线的斜率，

所以切线方程为.

（2）因为，，则，

所以当或时，当时，

所以在，上单调递增，在上单调递增，

则函数在处取得极大值，在处取得极小值，

又，，，

所以.

19．已知数列的前n项和为，满足，是以为首项，且公差不为0的等差数列，成等比数列．

(1)求，的通项公式；

(2)令，求数列的前n项和．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据可求，据此可求数列的通项，利用基本量法结合等比中项可求的公差，故可求其通项公式.

（2）根据错位相减法可求.

【详解】（1）因为，所以当时，，所以，

当时，，两式相减可得，，

故，而，故，所以，

所以是首项为，公比为的等比数列，所以.

设等差数列的公差为，

因为，所以．

因为成等比数列，所以，

解得：（舍去）或，所以.

（2），

，

，

故.

20．已知是函数的极值点，且曲线在点处的切线斜率为．

(1)求函数的解析式；

(2)设，若对任意，总存在，使得成立，求实数m的取值范围．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据极值点处的导数为零，结合导数几何意义，列出满足的等量关系，求得，则问题得解；

（2）求得在区间上的值域，根据值域的包含关系，列出的不等式，求解即可.

【详解】（1），则，由题可知，，

解得，故.

（2）由（1）知，，

故当，，单调递减；当，，单调递增；

又，故在上的值域为；

，当，单调递增，故值域为；

根据题意，是的子集，

故，解得，故实数的取值范围为.

21．如图，曲线下有一系列正三角形，设第个正三角为坐标原点）的边长为．

(1)求，的值；

(2)记为数列的前项和，求的通项公式．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据题意求得点和，代入曲线，即可求解；

（2）记为数列的前项和，求得，得到，结合，化简得到，利用等差数列的通项公式，即可求解.

【详解】（1）由题意知为边长为的等边三角形，可得，

因为点在曲线上，可得，解得，

又由，可得，解得.

（2）记为数列的前项和，则，

即，整理得，

当时，可得，

所以，即，

因为，所以，

又因为，即数列是以为首项，为公差的等差数列，

所以数列的通项公式为．

22．已知函数．

(1)若在处取得极大值，求的单调区间；

(2)若恰有三个零点，求实数的取值范围．

【答案】(1)的单调减区间为，单调增区间为和；

(2)

【分析】（1）求导之后，分解因式求出导函数的零点，按零点的大小分类讨论即可求解（2），显然是的零点，

则问题转化为方程，即恰有两个不为2的实数根，构造函数数形结合即可求解

【详解】（1）由题意得，

令，则或，

①当时，即时，

令，则：令，则，或，

∴在上递减，在上递增，

∴在处取得极小值，此时不符合题意；

②当时，即时，则，

∴在上递增，

∴在处不取极值，比时不符合题意

③当时，即时，

令，则；令，则，或，

∴在和上递增，在上递减，

∴在处取得极大值，此时符合题意；

综上，的单调减区间为，单调增区间为和

（2）由题意得，显然是的零点，

则方程，即恰有两个不为2的实数根，

令，则，

令，则；令，则，

∴在上递增，在上递减，

当时，的值域为；当时，的值域为，

∴，且，∴，且，

综上，实数a的取值范围为．