江西省南昌市二十八中教育集团联盟2023-2024学年九年级上学期开学考试数学试题

南昌二十八中教育集团2023—2024学年暑期开学阶段性测试卷

九年级数学

一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

1.中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中不是轴对称图形的是（    ）

A. B. C. D.

2.石墨烯具有优异的光学、电学、力学特性，在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景，被认为是一种未来革命性的材料，石墨烯中每两个相邻碳原子间的键长为0.000000000142米，数字“0.000000000142”用科学记数法表示为（    ）

A. B. C. D.

3.若一个三角形的三边长分别为2、6、a，则a的值可以是（    ）

A.3 B.4 C.7 D.8

4.下列二次根式中，能与合并的是（    ）

A. B. C. D.

5.如图，在中，点D，E，F分别是，，中点，以这些点为顶点，在图中能画出多少个平行四边形（    ）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

6.如图，用弹簧测力计将一铁块悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，使铁块完全露出水面，并上升一定高度，则下列能反映弹簧测力计的读数y（单位：N）与铁块被提起的时间x（单位：s）之间的函数关系的大致图象是（    ）

A. B. C. D.

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

7.分解因式：_____________.

8.某校举行了“珍爱生命，预防溺水”为主题的演讲比赛，提高学生的安全意识.演讲者的最终比赛成绩按照演讲内容、现场效果、外在形象三项得分分别占40%，40%，20%的比例折算.已知李明同学的三项原始得分分别是90分，95分，90分，那么李明同学最终比赛成绩为__________分.

9.在平面直角坐标系中，将向下平移3个单位，所得函数图象过，则a的值为____________.

10.以正五边形的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新五边形的顶点落在直线上，则正五边形旋转的度数至少为__________°.

11.如图，在中，，，D，E分别是边，的中点，点F在上，且，则的长是__________.

12.已知函数与，若，则x的值是__________.

三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）

13.计算：（1） （2）解方程：

14.以下是某同学化简分式的部分运算过程：

（1）上面的运算过程中第__________步开始出现了错误；（2）请你写出完整的解答过程.

15.如图，等边三角形的边长是4，D，E分别为边，的中点，延长至点F，使，连接，，.

（1）求证：四边形是平行四边形；

（2）求的长.

16.已知四边形是平行四边形，为对角线，分别在图①、图②中按要求作图（保留作图痕迹，不写做法）.

       图①                       图②

（1）如图①，点P为上任意一点，请仅用无刻度的直尺在上找出另一点Q，使；

（2）如图②，点P为上任意一点，请仅用无刻度的直尺在上找出一点Q，使.

17.已知关于x的一元二次方程，其中a，b，c分别为三边的长.

（1）如果是方程的一个根，试判断的形状，并说明理由；

（2）如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.

四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

18.“人间烟火味，最抚凡人心”，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源.某经营者购进了A型和B型两种玩具，已知用520元购进A型玩具的数量比用175元购进B型玩具的数量多30个，且A型玩具单价是B型玩具单价的1.6倍.

（1）求两种型号玩具的单价各是多少元？

根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程：

甲：，解得，经检验是原方程的解.

乙：，解得，经检验是原方程的解.

则甲所列方程中的x表示______________，乙所列方程中的x表示______________；

（2）该经营者准备用1350元以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个，则最多可购进A型玩具多少个？

19.已知一次函数（k、b为常数，且）的图象（如图1）.

    图1              图2

（1）求k，b的值；

（2）正比例函数（m为常数，）与一次函数相交于点P（如图2），则不等式的解集为______________；不等式组的解集为______________.

20.古希腊的几何学家海伦在他的《度量》一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的“海伦公式”：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，设，则三角形的面积.我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三斜求积术）：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，则三角形的面积.依据上述公式解决下列问题：

（1）若一个三角形的三边长分别是5，6，7，则这个三角形的面积等于___________；

（2）若一个三角形的三边长分别是，3，，求这个三角形的面积.

五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）

21.甲、乙两名队员参加射击训练，每人射击10次，成绩分别如下：根据以上信息，整理分析数据如下：

（1）__________，__________，__________.

（2）填空：（填“甲”或“乙”）.

从中位数的角度来比较，成绩较好的是__________；从众数的角度来比较，成绩较好的是__________；成绩相对较稳定的是__________.

（3）从甲、乙两名队员中选一名队员参加比赛，选谁更合适，为什么？

22.已知：直线与x轴、y轴分别相交于点A和点B，点C在线段上.将沿折叠后，点O恰好落在边上点D处.

（1）直接写出点A，点B的坐标；

（2）求的长度；

（3）取的中点M，若点P在y轴上，点Q在直线上，存在以C、M、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，则点Q的坐标为____________.

六、（本大题共1题，共12分）

23.我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”.数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透.

某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析：

【提出问题】已知，求的最小值

【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题.

【解决问题】

（1）如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点.设，则.则线段__________线段__________；

（2）在（1）的条件下，已知，求的最小值；

（3）【应用拓展】应用数形结合思想，求的最大值.

南昌二十八中教育集团2023--2024学年暑期开学阶段性测试卷

九年级数学（答案）

一、选择题（本大题共6小题，共18分）

1.A.  2.B.  3.C.  4.B.  5.C.  6.D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

7..  8.92.  9..  10.72.  11.3.  12.1或2或4

三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）

13.解：（1）原式；···································································3分

（2），

或，解得，.·········································································6分

14.解：（1）上面的运算过程中第一步开始出现了错误；

故答案为：一；······································································2分

（2）原式.··········································································6分

15.（1）证明：∵D、E分别是，中点，∴是的中位线，

∴，，∵，∴，且，

∴四边形是平行四边形；·······························································3分

（2）解：由（1）可知，四边形为平行四边形，∴，

∵是等边三角形，∴，∵D为的中点，

∴，，∴，

∴，∴.·············································································3分

16.解：（1）如图，点Q即为所求作.·······················································1分

（2）如图，点Q即为所求作.·····························································2分

       图①                       图②             ·························································6分

17.解：（1）是等腰三角形，

理由：∵是方程的根，∴，∴，

∴，∴，∴是等腰三角形；·····························································3分

（2）如果是等边三角形，则，原方程可化为：，

∴，解得：，.·······································································6分

四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

18.解：B型玩具的单价；A型玩具的数量；··················································4分

（2）设可购进A型玩具a个，则B型玩具个，

根据题意得：，，∴整数a最大值是116，

答：最多可购进A型玩具116个.···························································8分

19.解：（1）分别将，代入得：

，解得；···········································································4分

（2），.············································································4分

20.解：（1），

.

答：这个三角形的面积等于.

故答案为：.·········································································4分

（2）.

答：这个三角形的面积是3.······························································8分

五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）

21.解：（1），，

，

故答案为：7，7.5，4.2；·······························································3分

（2）由表中数据可知，甲，乙平均成绩相等，乙的中位数，众数均大于甲，说明乙的成绩

好于甲，乙的方差大于甲.

从平均数和中位数的角度来比较，成绩较好的是乙；从平均数和众数的角度来比较，成绩较好的是乙；成绩相对较稳定的是甲.

故答案为：乙，乙，甲；·······························································6分

（3）选乙，理由：甲、乙两名队员平均成绩一样，但乙的中位数比甲高，众数比甲高，说明乙的高分比甲多，所以选乙更合适.（答案不唯一）.······9分

22.解：（1）对于直线，令，则，

令，则，∴，；······································································2分

（2）由（1）知，，由勾股定理得，，

∵将沿折叠后，点O恰好落在边上点D处.

∴，，，∴，

设，则，

在中，由勾股定理得，，解得，∴；······················································6分

（3）∵，，∴的中点，

设，，

当为对角线时，由中点坐标公式得：

，解得，∴，

当为对角线时，由中点坐标公式得：

，解得，∴，

当为对角线时，由中点坐标公式得：

，解得，∴，

综上：或或.·········································································9分

六、（本大题共1题，共12分）

23.解：（1）由题意得，，

故答案为：、；······································································2分

（2）如图，作点A关于的对称点H，连接交于点P，

此时，最小，即和最小，

由题意得：，，

则，

即的最小值为：；····································································7分

（3）如图，在矩形的基础上，构建，连接、，设，，，，

则，

，

当A、C、D共线时，最大，即的最大，

且的最大值，

即的最大值为：.·····································································12分