2023-2024学年河南省信阳高级中学高二上学期开学考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年河南省信阳高级中学高二上学期开学考试数学试题含答案，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年河南省信阳高级中学高二上学期开学考试数学试题 一、单选题1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】化简集合，根据补集和交集的概念可求出结果.【详解】由得或，则或，则，又，所以.故选：A2．若，（为虚数单位，是的共轭复数），则（    ）A．2 B． C． D．6【答案】C【分析】根据复数乘法法则得到，然后求模长即可.【详解】，所以.故选：C.3．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚正面向上”，事件“第二枚反面向上”，则事件A与B的关系是（    ）A． B． C．相互独立 D．互斥【答案】C【分析】列举出抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果，再逐一分析判断各个选项即可.【详解】依题意，记抛掷一枚质地均匀的硬币正面向上为，反面向上为，则抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果是：，事件A包含的结果有：，事件B包含的结果有：，而事件A，事件B中有不同的结果，则事件A与事件B不互相包含，也不相等，故AB错误；显然事件A，事件B都含有“”这一结果，即事件A，事件B能同时发生，因此，事件A与事件B不互斥，故D错误；因为，则，所以A与B相互独立，故C正确.故选：C.4．已知向量，则向量在向量上的投影向量（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】投影向量结合数量积公式转化即可.【详解】由题意可得 ， 所以.故选：A5．甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女，若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，则选出的2名教师性别相同的概率是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】从甲校和乙校报名的教师中各任选名，列出基本事件的总数，利用古典概型求解即可.【详解】设甲校2男1女的编号分别为1，2，A，乙校1男2女编号分别为B，3，4，若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果有：，，，，，，，，共计9个，选出的2名教师性别相同的结果有，，，共计4个，故选出的2名教师性别相同的概率为．故选：B.6．车厘子是一种富含维生素和微量元素的水果，其味道甘美，受到众人的喜爱根据车厘子的果径大小，可将其从小到大依次分为个等级，其等级（）与其对应等级的市场销售单价单位：元千克近似满足函数关系式若花同样的钱买到的级果比级果多倍，且级果的市场销售单价为元千克，则级果的市场销售单价最接近（   ）参考数据：，，，A．元千克 B．元千克C．元千克 D．元千克【答案】C【分析】利用指数运算，化简求的值.【详解】由题意可知，解得，由，可得（元/千克），最接近元千克故选：C7．如图，在正四面体中，点E，F分别是棱上的点（不含端点），，记二面角的大小为，在点F从点A运动到点C的过程中，下列结论正确的是（    ）A．一直增大 B．一直减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大【答案】D【分析】根据正四面体的几何特征,作出二面角的平面角,再根据平面角的正切值的表达式得出θ的取值情况.【详解】过P作PO⊥面ABC于O,则OP⊥EF.过O作OM⊥EF于点M.因为，所以面OPM.连接PM,则∠PMO为二面角P-EF-B的平面角,即.当点F从点A运动到点C的过程中，,OM先变大后变小.所以.因为PO不变,∴先变小后变大.故选：D8．在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且BC边上的高为，则角A的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】用两种方法表示出，从而得到，再根据余弦定理，得到，消去后利用辅助角公式得到，再利用基本不等式求出的取值范围，进而求出角A的取值范围.【详解】∵BC边上的高为，∴由面积公式得：，∴，故由余弦定理得：∴由辅助角公式得：∴其中，当且仅当时，等号成立∴，解得：∵∴故选：C 二、多选题9．设，，为复数，且.下列命题中正确的是（    ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】AD【分析】根据复数的特征、几何意义以及复数运算判断各选项即可.【详解】对于选项A：若，则，因为，则，所以，故A正确；对于选项B：若，则，因为与不一定相等，所以不一定相等，故B错误；设，对于选项C：所以，由，则，整理得，又因为不一定等于0，故C错误；对于选项D：因为，则，由选项C可知：因为，，所以，故D正确；故选：AD.10．已知向量，则下列结论正确的是（    ）A．若向量同向，则B．若向量反向，则C．若，则D．若，则【答案】ABD【分析】向量同向和反向都是说的共线，就利用向量共线的定理分别求解即可；然后利用向量数量积的计算求解其角度即可.【详解】由题意可得.当同向时，，则A正确；当反向时，（），则B正确；由，得，所以，即，解得，则D正确；因为，所以，所以，则C错误.故选：ABD11．数学与音乐有着紧密的关联，每一个音都是由纯音合成，纯音的数学模型是函数.像我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多个纯音的结合，称为复合音.复合音的产生是发声体在全段振动，产生的频率为的基音的同时，其各部分，如二分之一、三分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如，等.这些音叫谐音，因为其振幅较小，我们一般不易单独听出来.如我们听到的某个声音函数，对此以下说法正确的是（    ）A．函数的周期为B．函数图象关于点对称C．函数图象关于直线对称D．函数在单调递增【答案】BD【分析】根据周期函数的定义判断A，证明，判断B，证明判断C，结合正弦函数单调性判断D.【详解】对于A：，A选项错误对于B：.∴函数关于点对称，∴B选项正确，对于C：∴函数不关于直线对称，∴C选项错误对于D：，，，在均单调递增，由函数单调性的性质可知，在上单调递增所以D选项正确故选：BD.12．如图1，在菱形中，是的中点，将沿直线翻折至的位置，得到如图2所示的四棱锥.若是的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是（    ）A．点到平面的距离恒为B．当时，过点的截面周长为4C．异面直线与所成的角不断变小D．当时，直线与平面所成的角的正切值为【答案】ABD【分析】对A：求得点到平面的距离，再求点到平面的距离即可；对B：作出截面图，求得各边的长度即可；对C：讨论的变化，即可判断正误；对D：根据的长度，求得到面的距离，再求线面角即可.【详解】对A：根据题意可得：，又面，故面，则点到面的距离为，易得；又//，面面，故//面，则到平面的距离也为；又为的中点，故点到平面的距离恒为，A正确；对B：因为面，故此时面；取的中点为，连接，如下所示：因为分别为△中两边的中点，故//，则四边形即为所求截面；又因为，故四边形为平行四边形；又面，故面，即△为直角三角形，则，故其周长为，故B正确；对C：因为//，故所成的异面直线夹角，即为所成直线的夹角，即当为钝角时，其补角即为所求；当为直角时，所成的异面直线夹角为；当为锐角时，所求异面直线夹角即为；显然在折叠过程中，所求异面直线的夹角先增大，后减小，故C错误；对D：过点作的垂线，交的延长线于点，连接如下所示：由A所证可得面，又面，故面面，又面面，面，故面，故即为所求直线与面的夹角；在△中，，由余弦定理，又，故可得；在△中，，则，；在直角梯形中，容易得，，故由余弦定理，即，解得，故，即直线与平面所成的角的正切值为，D正确.故选：ABD. 三、填空题13．河北省九大高峰按照海拔（单位：米）排名依次为小五台山（2882）､驼梁山（2281）､雾灵山（2118）､长城岭（2100）､白石山（2096）､野三坡（1983）､祖山（1428）､天桂山（1270）､狼牙山（1105），则这九大高峰的海拔数据的第70百分位数为      .【答案】2118【分析】将数据从小打到排列，利用百分位数的定义即可求解.【详解】解：将这九大高峰的海拔数据按照从小到大的顺序排列，依次为1105，1270，1428，1983，2096，2100，2118，2281，2882，因为，所以第70百分位数为第7项数据，即2118.故答案为：2118.14．已知点在平面内，为平面外一点，且，则的最小值是           .【答案】9【分析】由题可得，再利用基本不等式即可求出.【详解】因为共面，所以，又， 则，当且仅当时，等号成立，所以的最小值是9.故答案为：9.15．已知一组样本数据，，，，的方差为5，且满足，则样本数据的方差为            .【答案】9【分析】由条件可求原数据的平均数和方差的表达式，再求新数据的平均数和方差可得结论.【详解】因为，所以数据，，，，的平均数为，方差，由已知，数据的平均数，方差.故答案为：.16．已知中，，，且的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值是      .【答案】【分析】设，，可得、、三点共线，则的最小值即的最小值为表示到边上的高为，根据几何关系求出，。再根据极化恒等式将化成，通过几何关系求出的最小值即可。【详解】∵∴设，又∵，∴、、三点共线，的最小值即的最小值为.由图可得，当时，有最小值，又∵，，，∴，即，由余弦定理，。设为中点，由极化恒等式，，∴当取最小值时，有最小值。∵为边上任意一点，∴当时，有最小值。设，过点作于点，则，又∵，为的中位线，∴。即。故答案为：【点睛】本题考查了平面向量三点共线定理和极化恒等式的运用，遇到两个带系数的向量相加时，可以看看是否能将其中一个向量转换成另一向量从而将系数凑成定值，再运用平面向量三点共线定理。本题属于难题。 四、解答题17．已知复数，，其中i是虚数单位，.(1)若为纯虚数，求m的值；(2)若，求的虚部.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据复数乘法和纯虚数的定义进行求解即可；（2）根据复数乘法运算法则，结合虚数单位的性质、复数虚部定义进行求解即可.【详解】（1）由题意得，因为为纯虚数，所以且，解得.（2）因为，所以，即，所以，所以，所以的虚部为.18．已知，设向量，.（1）若，求x的值；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据向量共线的坐标表示，得到，求解，即可得出结果；（2）根据向量的数量积，得到，整理，得到，根据题中条件求出，再由，由两角差的正弦公式，即可得出结果.【详解】（1）∵，∴，即.又，∴.（2）∵，∴，即.又，故，∴.所以.【点睛】本题主要考查三角恒等变换的化简求值，涉及平面向量共线和数量积的坐标表示，属于常考题型.19．已知的内角的对边分别为 ，且.(1)求角B；(2)设的角平分线交于点D，若，求的面积的最小值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简求值，可得答案.（2）根据三角形的面积之间的关系，即，可得，结合基本不等式，即可求得答案.【详解】（1）由已知及正弦定理得：，又在中，,∴，即，又，∴,又，∴，即角B的大小为.（2）∵.是的角平分线，而，∴，即，∴.∵，∴，∵，∴，即,当且仅当时取等号，则，即的面积的最小值为.20．如图，在直三棱柱中，，且，点P为线段上的动点．  (1)当P为线段中点时，求证：平面平面；(2)当直线AP与平面所成角的正切值为时，求二面角P-AB-C的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）由题意，得平面，从而，又，可得平面，由此可证得结论；（2）由（1）得平面，所以直线AP与平面所成角即为，求得，作，，可证得∠PNM为二面角P-AB-C的平面角，求解即可.【详解】（1）由题意，，，，平面，故平面，∵平面，∴，∵P为的中点，∴，且，平面∴平面，又∵平面ABP，∴平面平面.（2）由（1）得平面，所以直线AP与平面所成角即为，故，解得．作，，连接PN如图．  则平面ABC，又平面ABC，故．又，平面PMN，故平面PMN，故∠PNM为二面角P-AB-C的平面角，又，，故，故，即二面角P-AB-C的余弦值为.21．甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛，约定赛制如下:累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空:每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.已知在每场比赛中，甲胜乙和甲胜丙的概率均为，乙胜丙的概率为，各场比赛的结果相互独立.经抽签，第一场比赛甲轮空.(1)求前三场比赛结束后，丙被淘汰的概率；(2)求只需四场比赛就决出冠军的概率；(3)求甲最终获胜的概率.【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）前三场比赛结束后，丙被淘汰的情况有2种①乙胜丙、乙胜甲、乙胜丙②乙胜丙、甲胜乙、甲胜丙，再利用相互独立事件概率的乘法运算即可得出答案.（2）首先分析出只需四场比赛就决出冠军的情况，再利用相互独立事件概率的乘法运算即可得出答案.（3）首先分析出甲最终获胜的情况，再利用相互独立事件概率的乘法运算即可得出答案.【详解】（1）记事件A为甲胜乙，则，，事件B为甲胜丙，则，，事件C为乙胜丙，则，，前三场比赛结束后，丙被淘汰的概率为.（2）只需四场比赛就决出冠军的概率为：.（3）由于甲胜乙和甲胜丙的概率均为，且乙胜丙和丙胜乙的概率也相等，均为，第一场比赛甲当裁判，以后的比赛相对于甲，可视乙丙为同一人，设甲胜为事件D，甲当裁判为事件E，所以甲最终获胜的概率.22．已知函数（，，）的图象如图所示．（1）求函数的单调递减区间；（2）将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线C，把C上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的曲线对应的函数记作．①求函数的最小值；②若函数在内恰有6个零点，求m的值．【答案】（1），；（2）①；②或．【分析】(1)根据所给图象求出函数的解析式，再列出关于x的不等式即可得解；(2)由(1)结合给定图象变换求出的解析式，再求出并作变形即可得解；求出并令，将转化为关于t的一元二次方程，按根所在区间讨论得解.【详解】（1）观察图象得，最小正周期为T，，则，而，则，，又，于是得，所以，由，，得，，所以单调递减区间为，．（2）由题意得，①，当，即时取最小值-1，所以的最小值为；②依题意，，令，可得，令，得，由于，即方程必有两个不同的实数根，，且，，由知、异号，不妨设，，若，则，，无解，在内有四个零点，不符题意；若，则，在内有2个零点，在内有4个零点，符合题意，此时，得；若，，在有4个零点，则在内应恰有2个零点，必有，此时，，，综上所述有或．