2022-2023学年新疆维吾尔自治区和田地区洛浦县高二上学期11月期中数学试题含答案

这是一份2022-2023学年新疆维吾尔自治区和田地区洛浦县高二上学期11月期中数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年新疆维吾尔自治区和田地区洛浦县高二上学期11月期中数学试题 一、单选题1．若，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先对化简求出复数，再求复数的模即可【详解】由已知可得，所以．故选：D．2．最小值是 A．-1 B． C． D．1【答案】B【详解】试题分析：∵，∴当sin2x=-1即x=时，函数有最小值是，故选B【解析】本题考查了三角函数的有界性点评：熟练掌握二倍角公式及三角函数的值域是解决此类问题的关键，属基础题 3．如果两条直线与平行，那么a等于（    ）A．1 B． C．2 D．或2【答案】B【分析】根据直线平行的充要条件即可求出．【详解】因为，显然以及时不满足题意，所以，解得．故选：B．4．如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是OA，CB的中点，点G在线段MN上，且使，用向量，，表示向量是（    ）A． B．C． D．【答案】D【解析】根据所给的图形和一组基底，从起点出发，把不是基底中的向量，用是基底的向量来表示，就可以得到结论．【详解】.故选：D．【点睛】本题考查向量的基本定理及其意义，解题时注意方法，即从要表示的向量的起点出发，沿着空间图形的棱走到终点，若出现不是基底中的向量的情况，再重复这个过程，属于基础题．5．如图，在平行六面体中，，，则（    ）A．1 B． C．9 D．3【答案】D【分析】根据图形，利用向量的加法法则得到，再利用求的模长.【详解】在平行六面体中，有，，由题知，，，，，所以，，与的夹角为，与的夹角为，与的夹角为，所以.所以.故选：D.6．经过抛物线的焦点，且倾斜角为的直线方程为 （ ）A． B．C． D．【答案】C【分析】由抛物线方程求得焦点坐标，根据倾斜角可得直线斜率，利用直线点斜式可整理得到所求直线方程.【详解】由得：，抛物线焦点为；直线倾斜角为，直线斜率，所求直线方程为：，即.故选：C.7．如图，四棱锥中，底面为矩形且平面，连接与，下面各组向量中，数量积不一定为零的是（    ）A．与 B．与C．与 D．与【答案】C【分析】根据线面垂直的判定定理及向量垂直的充要条件即可求解.【详解】对于A,因为平面，平面,所以,因为底面为矩形，所以,,平面,所以平面，平面,所以,即，所以，故A不正确；对于B, 因为平面，平面,所以,因为底面为矩形，所以,,平面,所以平面，平面,所以,即，所以，故B不正确；对于C，因为底面为矩形，所以与不垂直，所以与不一定垂直，所以与不一定垂直，所以与的数量积不一定为0，故C正确．对于D,因为平面，平面,所以,因为底面为矩形，所以,,平面,所以平面，平面,所以,即，所以，故D不正确.故选：C.8．已知点为双曲线右支上一点，分别为双曲线的左、右焦点，为的内心（三角形内切圆的圆心），若（分别表示的面积）恒成立，则双曲线的离心率的取值范围为A． B． C． D．【答案】A【分析】利用双曲线的定义，由三角形内切圆的性质，结合，可得关于半实轴与半焦距的不等式，从而可得结果.【详解】如图，设圆与的三边分别相切于点，分别连接，则，， ，， ，又，，，，又，故选：A. 二、多选题9．下列数学符号可以表示单位向量的是（    ）A． B． C． D．【答案】BD【分析】根据单位向量的定义及模为1，逐一分析四个选项，根据向量坐标求出向量的模，即可判断A选项；根据向量坐标和同角三角函数的平方关系，即可判断B选项；根据平面向量的数量积运算，即可判断C选项；根据单位向量的定义，即可判断D选项，从而得出答案.【详解】解：因为单位向量的模为1，对于A：，故A错误；对于B：，故为单位向量，故B正确；对于C：，为数量，不是向量，故C错误；对于D：，由定义可得为单位向量，故D正确；故选：BD.10．已知 的最小正周期为，则下列说法正确的是（    ）A．B．的最大值为2C．为的一条对称轴D．为的一个对称中心【答案】ACD【分析】由题意利用三角函数恒等变换化简函数解析式，再利用正弦函数的图像和性质即可求解．【详解】解：，即，所以，解得，故A正确；所以，因为，所以，故B错误；，所以函数关于对称，故C正确；，所以为的一个对称中心，故D正确；故选：ACD11．在棱长为1的正方体中，点P满足，，，则以下说法正确的是（    ）A．当时，平面B．当时，存在唯一点P使得DP与直线的夹角为C．当时，的最小值为D．当点P落在以为球心，为半径的球面上时，的最小值为【答案】ACD【分析】根据已知条件，结合向量关系，分别对答案进行空间关系的判断和求值即可.【详解】当时，如图（1），的轨迹为线段，由正方体的结构特征，可知平面平面，而平面，∴平面，故A正确；当时，如图（1），点的轨迹为线段，直线直线，当与重合时，与直线所成角最大，即与直线所成角最大，最大为，故B错误；当时，如图（2），点轨迹为线段，将三角形旋转至平面内，可知．故C正确；当点落在以为球心，为半径的球面上时，点的轨迹为以为圆心，1为半径的四分之一圆弧，建立如图所示的平面直角坐标系，则，则的轨迹方程为：，设，有可得，故，故，因为，故当时，．故D正确．故选：ACD．12．已知椭圆的左、右焦点分别为，定点，若点P是椭圆E上的动点，则的值可能为（    ）A．7 B．10 C．17 D．19【答案】ABC【分析】右焦点为，求出的范围，利用椭圆定义，从而可得出的取值范围，可判断各选项．【详解】由题意可得，则，故．因为点P在椭圆E上，所以，所以，故，由于，所以，故的可能取值为7，10，17．故选：ABC．【点睛】本题考查椭圆的定义，在涉及到椭圆上点到一个的焦点的距离时，可利用椭圆定义转化为到另一焦点的距离，从而得出相应范围． 三、填空题13．已知空间向量，，则与的夹角为      .【答案】【分析】计算出，由此可得出与的夹角.【详解】由已知条件可得，，因此，与的夹角为.故答案为：.【点睛】本题考查利用空间向量的数量积求空间向量的夹角，考查计算能力，属于基础题.14．双曲线=1的焦距是     .【答案】8【分析】根据双曲线中a、b、c的关系即可求得c，进而得到焦距．【详解】根据双曲线中a、b、c的关系，可知 ，即所以 则焦距为【点睛】本题考查了双曲线方程的简单应用，双曲线中a、b、c的关系，属于基础题．15．双曲线的一条渐近线与直线垂直，则t=__________.【答案】【分析】求得双曲线的渐近线方程，直线的斜率为，运用两直线垂直的条件：斜率之积为（两直线斜率都存在时），计算即可得到所求值．【详解】双曲线的标准方程为，可得该双曲线的渐近线方程为，直线的斜率为，而渐近线的斜率为，当两直线的斜率都存在时，两直线垂直的条件：斜率之积为，可得或，解得.故答案为：. 四、双空题16．已知正方体的棱长为1，动点在正方体的表面上运动，且与点的距离为.动点的集合形成一条曲线，这条曲线在平面上部分的形状是          ；此曲线的周长是       .【答案】     圆弧     【分析】本题首先要弄清楚曲线的形状，再根据曲线的性质及解析几何知识即可求出长度.【详解】由题意，此问题的实质是以A为球心、半径为的球在正方体各个面上交线的长度计算.因为球半径小于1，所以球面只与平面ABCD、相交，因平面ABCD、为过球心的截面，截痕为大圆弧，各弧圆心角为，故各段弧长为.这条曲线周长为.故答案为：圆弧；【点睛】本题以正方体为载体，考查轨迹，考查曲线的周长，涉及圆的截面，圆弧的计算，属于难题. 五、解答题17．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足（1）求角B的大小；（2）若，求的值；（3）若，，求边a的值.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）由正弦定理的边角转化得，结合三角形内角性质即可求角B.（2）由两角差、倍角公式展开，根据已知条件及（1）的结论即可求值.（3）根据余弦定理列方程即可求a的值.【详解】（1）由正弦定理有：，而为的内角，∴，即，由，可得，（2），∵，，可得，而，∴，（3）由余弦定理知：，又，，，∴，可得.18．（1）求经过两条直线和的交点，且平行于直线的直线l的方程；（2）求经过两点，，且圆心在x轴上的圆的方程.【答案】（1）；（2）【解析】（1）首先求出两条直线的交点，再设出直线的方程，代入即可得到答案.（2）首先设圆心为，根据题意得到，再解方程即可得到答案.【详解】（1），即交点为.设直线，代入，解得，所以.（2）设圆心为，由题知：，解得，所以圆心为，.圆的方程为：.19．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2BC＝2CC1＝2，点是的中点．(1)求点D到平面AD1E的距离；(2)求证：平面AD1E⊥平面EBB1．【答案】(1);(2)证明过程见解析. 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用点到平面距离公式求出答案；（2）利用空间向量的数量积为0证明出，从而证明出线面垂直，进而证明出面面垂直.【详解】（1）以D为坐标原点，分别以DA，DC，为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则，令得：，所以，则点D到平面AD1E的距离为；（2），所以，，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以平面⊥平面.20．设抛物线的焦点为F，从点F发出的光线经过抛物线上的点M（不同于抛物线的顶点）反射，证明反射光线平行于抛物线的对称轴．【答案】证明见解析【分析】不妨假设点M在第一象限， 设M(a,b)(b> 0),求导求得切线斜率及切线方程，然后得出法线的斜率及方程，求出二者的交点坐标，然后利用对称性求得发射光线，根据反射光线平行与对称轴得出结论.【详解】不妨假设点M在第一象限， 设M(a,b)(b> 0),抛物线在第一象限内的解析式为(x>0),从而有记抛物线在点M处的切线为直线l，过点M且垂直于切线l的直线记为m，则直线l的斜率是，直线m的斜率是，所以直线m的方程为，设点F关于直线m的对称点为N(s,t),线段FN的中点为Q，则点Q在直线m上,且直线FN⊥m，由题意可知,则，从而有①因为FN⊥m，所以直线FN的斜率②，由②可得③,将③代入①可得，化简得④，因为点M(a, b)在上，所以,将代入④可解得t = b，所以点M的纵坐标等于点N的纵坐标，所以FN//x轴,即符合题意的反射光线平行于抛物线的对称轴.同理可证，当点M在第四象限时，符合题意的反射光线平行于抛物线的对称轴.综上可知，符合题意的反射光线平行于抛物线的对称轴.21．如图，是圆的直径，圆所在的平面，为圆周上一点，为线段的中点，，．(1)证明：平面平面．(2)若为的中点，，求点到平面的距离．【答案】(1)证明见详解；(2). 【分析】（1）根据题意可知平面，根据线面垂直的性质得出，再由圆的性质得出，根据线面垂直的判定定理可证出平面，从而有，结合条件和等腰三角形的性质得出，最后根据面面垂直的判定定理，即可证明平面平面；（2）由（1）得，平面，根据题意求出和，设点到平面的距离为，利用等体积法得出，根据棱锥的体积公式进行计算，即可求出点到平面的距离．【详解】（1）证明：因为圆所在的面，即平面，而平面，所以，因为是圆的直径，为圆周上一点，所以，又，所以平面，而平面，则，因为，，所以，又，所以，又为线段的中点，所以，又，所以平面，而平面，故平面平面.（2）解：由（1）得，平面，平面，则，平面，由题可知，为的中点，，则，，由于三棱锥的体积等于三棱锥的体积，而，，由于平面，则点到平面的距离为，设点到平面的距离为，由，即，则，解得：，所以点到平面的距离为.22．已知椭圆的左右焦点分别为，，焦距为4，直线与椭圆相交于，两点，关于直线的对称点为斜率为的直线与线段相交于点，与椭圆相交于，两点．（1）求椭圆的标准方程．（2）求四边形的面积取值范围．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）求出、的值，进一步求出的值，由此可得出椭圆的标准方程；（2）设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出的取值范围，由斜率关系可得出，根据四边形的面积公式求出四边形面积关于的关系式，由此可求得结果.【详解】（1）线段的中点为，直线的斜率为，由已知条件可得，解得，，因此，椭圆的标准方程为；（2）设直线的方程为，设点、．由得，，所以，，由韦达定理可得，由（1）知直线代入椭圆得、，得，由直线与线段相交于点，由，解得，所以，解得，满足．，而与，知，．由，得，四边形面积的取值范围.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的取值范围问题的求解方法（1）函数法：用其他变量作为参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解．（2）不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数的取值范围．（3）判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用根的判别式求参数的取值范围．（4）数形结合法：研究参数所表示的几何意义，利用数形结合思想求解.