2022-2023学年陕西省西安市西咸新区泾河新城第一中学高二下学期三月质量检测数学（理）试题含答案

2022-2023学年陕西省西安市西咸新区泾河新城第一中学高二下学期三月质量检测数学（理）试题

一、单选题

1．设是一个离散型随机变量，其分布列为

则等于（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】C

【分析】根据分布列的知识列方程来求得.

【详解】依题意，，

解得（大于，舍去）或.

故选：C

2．已知，则x=（　　）

A．3或10 B．3 C．17 D．3或17

【答案】A

【分析】根据组合数的性质求解即可

【详解】因为，故或，

即或

故选：A

3．如图，一条电路从处到处接通时，可构成的通路有（    ）

A．8条 B．6条 C．5条 D．3条

【答案】B

【分析】分别写出处、处的连通方式，进而确定构成通路的条数.

【详解】由图知：要构成通路，则处有种方式，处种方式，

∴可构成的通路有种.

故选：B

4．某晚会有三个唱歌节目，两个舞蹈节目，要求舞蹈节目不能相邻，有（    ）种排法？

A．72 B．36 C．24 D．12

【答案】A

【分析】先排唱歌节目，利用插空法排舞蹈节目即可.

【详解】先排三个唱歌节目这有：种情况，

然后四个空排两个舞蹈节目这有：种情况，

所以舞蹈节目不能相邻的情况有：情况.

故选：A.

5．200件产品中有3件次品，任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有（　　）

A．种 B．＋种

C．种 D．种

【答案】B

【分析】根据分步加法计算原理，结合组合数的计算即可求解.

【详解】至少2件次品包含两类：（1）2件次品，3件正品，共种抽法，

（2）3件次品，2件正品，共种抽法，由分类加法计数原理得，抽法共有＋种．

故选:B

6．展开式中的系数为（    ）

A．14 B．20 C．25 D．28

【答案】A

【分析】先利用二项式定理求得展开式中与的系数，从而可求得展开式中的系数.

【详解】因为展开式的通项公式为，

所以展开式中的系数为，的系数为，

因此展开式的系数为.

故选：A.

7．在的展开式中，第四项为（    ）

A．160 B． C． D．

【答案】D

【分析】直接根据二项展开式的通项求第四项即可.

【详解】在的展开式中，

第四项为.

故选：D.

8．把6个相同的小球放入4个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法（    ）

A．10种 B．种 C．种 D．60种

【答案】A

【分析】采用隔板法，在个空中插入块板，根据组合数公式计算可得；

【详解】解：依题意，采用隔板法，在个空中插入块板，则不同的放法共有种；

故选：A

9．将10本完全相同的科普知识书，全部分给甲､乙､丙3人，每人至少得2本，则不同的分法数为（    ）

A．720种 B．420种 C．120种 D．15种

【答案】D

【分析】先每人分一本书，再将剩下的7本书分给3人，每人至少一本，由“隔板法”可得答案.

【详解】先从10本书中拿出3本，分给每人一本书，

再将余下7本书采用“隔板法”分给3个人，分法种数为15，

故选: D

10．如图，要给①、②、③、④四块区域分别涂上五种颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同颜色，则不同的涂色方案种数为（    ）．

A．180 B．160 C．96 D．60

【答案】A

【分析】按照①②③④的顺序，结合乘法计数原理即可得到结果.

【详解】首先对①进行涂色，有5种方法，

然后对②进行涂色，有4种方法，

然后对③进行涂色，有3种方法，

然后对④进行涂色，有3种方法，

由乘法计数原理可得涂色方法种数为

种

故选:A

11．已知，则（    ）

A．128 B．2187 C．78125 D．823543

【答案】D

【分析】由展开式通项公式可得系数小于0，系数大于0，由赋值法令，所求值即为.

【详解】的展开式中第项为，故系数，

即当为奇数时，系数小于0，当为偶数时，系数大于0.

.

故选：D

12．下列等式不正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】按照排列数和组合数的运算依次判断4个选项即可.

【详解】，故A错误；

，C正确；

，B正确；

，D正确.

故选：A.

二、填空题

13．二项式的展开式中含项的系数为          ．

【答案】

【详解】由题意得，二项式的展开式中含项为，故其系数为.

14．从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，设取得的次品数为，则        ．

【答案】

【分析】由题可得服从超几何分布，进而即得.

【详解】由题意知服从超几何分布，则，

所以．

故答案为：.

15．4张卡片的正、反面分别写有数字1，2；1，3；4，5；6，7．将这4张卡片排成一排，可构成不同的四位数的个数为     

【答案】336

【分析】根据题意，利用间接法，先分析全部的排法，再排除其中两个1的情况，进而即得.

【详解】依题意，不考虑数字的重复问题，4张卡片排成一排，可以组成种情况，

其中若两张卡片都是1，有种情况，

所以将这4张卡片排成一排，可构成不同的四位数的个数为.

故答案为：336.

16．由海军、空军、陆军各3名士兵组成一个有不同编号的的小方阵，要求同一军种不在同一行，也不在同一列，有     种排法

【答案】2592

【分析】假设海军为a，空军为b，陆军为c，先将a，b，c，填入的小方阵，有12种填入方法，再每个a，b，c填入3名士兵均有种，根据分步计数原理可得．

【详解】解：假设海军为a，空军为b，陆军为c，先将a，b，c，填入的小方阵，则有种，每个a，b，c填入3名士兵均有种，故共有，

故答案为2592

【点睛】本题考查了分步计数原理，考查了转化能力，属于难题．

三、解答题

17．已知．

(1)求；

(2)求．

【答案】(1)；

(2)129.

【分析】（1）根据给定的二项展开式，利用赋值法计算作答.

（2）利用赋值法求出，再求出展开式的最高次项的系数即可计算作答.

【详解】（1）令x=2，得．

（2）令x＝1，得，

x7的系数，

所以＝129．

18．如图，小张将从地去往图中的某地，已知图中每个小正方形的面积都相等.

(1)试问他沿着图中的线段从地到达地最近的路线有多少条？

(2)试问他沿着图中的线段从地到达地（不经过地）最近的路线有多少条？

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）沿着图中的线段从A地到达地最近的路线需要向右移动4个单位长度，向上移动5个单位长度，进而可求出结果；

（2）找出中间点，利用分类加法和分步乘法计数原理即可得解.

【详解】（1）沿着图中的线段从地到达地最近的路线需要向右移动4个单位长度，向上移动5个单位长度，则共有条；

（2）解法一：设B下面五个点从上到下依次是，

若沿路线（不经过地），则有条，

若沿路线（不经过、D地），则有条，

若沿路线（不经过、D、E地），则有条，

若沿路线（不经过、D、E、F地），则有条，

若沿路线（不经过、D、E、F、G地），则有条，

则共有条.

解法二：设B右下角的点分别为，

若沿路线，则有条，

若沿路线，则有条，

若沿路线，则有条，

若沿路线，则有条，

则共有条.

19．若，且．

(1)求实数a的值；

(2)求的值．

【答案】(1)1；

(2)2.

【分析】（1）根据给定条件，利用二项式定理求出的表达式即可计算作答.

（2）利用赋值法求出，再取即可求解作答.

【详解】（1）依题意，，因此，解得，

所以实数a的值是1.

（2）由（1）知，，当时，，

当时，，

因此，

所以.

20．（1）由，，，，，这个数字组成没有重复数字的四位偶数有多少个？

（2）把本不同的书分给个同学，每人至少本书，有多少种不同的方法？

【答案】（1）（2）

【分析】（1）分个位上的数字为和不为两类（2）不同元素的分配问题，先分份再分配

【详解】（1）若个位上的数字为，则

若个位上的数字不为，则先排个位，再排首位，最后排中间两位

所以

所以由，，，，，这个数字能组成的没有重复数字的四位偶数共有（个）

（2）先把本不同的书分成或或三份，再把三份不同的书分给三位不同的同学，则不同的分法（种）

21．（1）求值：

（2）求关于的不等式的解集．

【答案】（1）466；（2）

【分析】（1）根据题意可得，解之即可得解；

（2）根据组合数的运算公式计算即可得出答案.

【详解】解：（1）由可得：

，解得，

则；

（2）不等式，

即不等式，

解得，

又因，

所以关于的不等式的解集为.