2022-2023学年浙江省温州中学高二下学期学考模拟测试数学试题含答案

  2022学年第二学期温州中学高二学考模拟测试

数学试题

本试卷分选择题和非选择题两部分，共5页，满分100分，考我时间80分钟．

考生注意：

1．考生答题前，务必将自己的姓名.准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卷上.

2．选择题的答案须用2B铅笔将答题卷上对应题目的答案涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦净.

3．非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卷上相应区城内，答案写在本试题卷上无效.

选择题部分

一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分.）

1. 已知集合，则（）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】先求出集合，然后根据交集的概念计算.

【详解】由题意，，于是.

故选：C

2. 复数（为虚数单位）的共轭复数是（）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据共轭复数的定义直接得出结果.

【详解】根据共轭复数的定义，的共轭复数是.

故选：D

3. 函数的定义域是（）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据真数大于0，即可求解.

【详解】由题意可得，解得，

所以函数的定义域是.

故选：D

4. 若，且是第三象限角，则

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据同角三角函数基本关系，结合角的范围，先求出正弦，即可求出正切.

【详解】因为，且是第三象限角，

所以，

所以.

故选：C.

【点睛】本题主要考查由余弦求正切，熟记同角三角函数基本关系即可，属于基础题型.

5. 朔门古港遗址入选2022年度全国十大考古新发现，遗址出土数十吨古代瓷片，以龙泉窑产品为主，实证了温州古港是成就“天下龙泉”盛世场景的海运起点和枢纽港口．为了更好地打造“千年商港，幸福温州”的城市新定位，温州市博物馆陶瓷馆巡礼中展示了温州出土的瓯窑青釉褐彩瓜形盖罐（南朝）、青釉点彩盘口鸡首壶（东晋）和瓯窑虎形灯座（东晋）三件文物，若将三件文物排成一排进行巡展，则瓯窑虎形灯座（东晋）排在中间的概率是（）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据古典概型概率公式结合排列数即可求解.

【详解】因为三件文物排成一排的排法有种，瓯窑虎形灯座（东晋）排在中间的排法有种，

所以瓯窑虎形灯座（东晋）排在中间概率是.

故选：B

6. 己知的外接圆圆心为，且，则在上的投影向量为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】连接、，推导出四边形为菱形，设，则为的中点，且，再利用投影向量的定义可得结果.

【详解】连接、，

因为，则，所以，且，

又因为，则四边形为菱形，

设，则为的中点，且，

因此，在上的投影向量为，

故选：A.

7. 若不同直线a，b，l与平面，且满足，则“a与b异面”是“b与l相交”的（）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】根据充要条件的定义即可判断.

【详解】因，又因为a与b异面，所以b与l相交；

因为，又因为b与l相交，所以a与b异面.

所以“a与b异面”是“b与l相交”的充要条件.

故选：C

8. 如图，网格中每个小正方形的边长为1，现将一个三棱锥的侧面展开图剪切后放置其中，则该三棱锥的表面积是（）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由题意先还原出三棱锥，然后再求表面积.

【详解】根据题意，该三棱锥可以被还原成如下形状，边长数据如图：

即该几何体由三个直角三角形和一个等腰三角形组成，在中，由余弦定理，

，三角形内角的正弦值是正数，故，

根据三角形的面积公式，，

于是三棱锥的表面积是.

故选：B

9. 当时，则有（）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】对于A，利用对数函数的单调性即可判断；对于B，令，分别求解后即可判断；对于C，利用作商比较法即可判断；对于D，令，分别求解后即可判断.

【详解】对于A，当时，，故A错误；

对于B，令，，

则，故B错误；

对于C，，，

即，故C正确；

对于D，令，故D错误.

故选：C

10. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度可由公式求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数．现有一物体放在的空气中冷却，物体的温度为，再过后物体的温度为，则该物体的初始温度约为（）（结果精确到个位）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由题意可得，，求解即可.

【详解】由题意可知，

，

所以，，

故选：B

11. 已知平面向量满足，则的最大值是（）

A.  B. 12 C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由题意可得，从而可得，令，利用即可求解.

【详解】由可得，即，

，即，

，即，

，

令，

则，即，

当且仅当即时，等号成立，

所以的最大值是.

故选：A

【点睛】思路点睛：

求的最大值时，可利用来求解.

12. 如图所示，是边长为3正三角形，，S是空间内一点，分别是，的二面角，满足，点D到直线SB的距离是1，则（）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先求得，根据二面角以及解直角三角形等知识分别求得和，由此求得正确答案.

【详解】由于，所以，

由余弦定理得，

则，而为锐角，

所以，，

同理可求得.

设平面，且平面，

过作，垂足为，过作，垂足为，连接，

由于平面，所以，

由于平面，所以平面，

由于平面，所以，所以，

同理可证得，依题意，

即，

设，则，

所以，

，，

所以三点共线，而平面，所以，

，，

连接，过作，垂足为，则，

所以，所以，

由两边平方得

，

即，为锐角，故解得.

由两边平方得

，

即，为锐角，故解得，

所以.

故选：D

【点睛】求解二面角有关问题，关键是利用二面角的定义作出二面角的平面角.常用的方法有定义法和线面垂直法.定义法是：在交线上任取一点，过这点在两个面内分别引交线的垂线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角.线面垂直法是：自二面角的一个面上的一点向另一个面引垂线，再由垂足向交线作垂线，连线后得到二面角的平面角.

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.在每小题列出的四个选项中有多个特合题目要求，全部选对得4分，部分选对且没有错选得2分，选错或不选得0分）

13. 以下函数中，图象经过第二象限的函数是（）

A.  B.  C.  D.

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据指对幂函数图象性质逐项分析即可.

【详解】幂函数图象位于第一、三象限，故A不符合；

对数函数的图象位于第一、四象限，函数与函数关于轴对称，所以函数图象位于第二、三象限，故B符合；

幂函数的定义域为，所以是偶函数，故图象位于第一、二象限，故C符合；

指数函数的图象位于第一、二象限，故D符合.

故选：BCD.

14. 连续抛掷两次一枚质地均匀的硬币，分别记录下每次抛掷的结果，记事件“正面向上的次数大于反面向上的次数”，事件“第i次抛掷的结果为正面向上”（其中），则有（）

A. 事件A与事件是互斥事件 B. 事件与事件是相互独立事件

C.  D.

【答案】BC

【解析】

【分析】对于A，根据互斥事件的定义即可判断；对于B，根据每一次抛郑硬币都是相互独立的，即可判断；对于C，求得，，即可判断；对于D，求得，即可判断.

【详解】对于A，事件与事件不是互斥事件，它们有可能同时发生，故A错误；

对于B，每一次抛郑硬币都是相互独立的，所以第一次抛掷结果是正面向上与第二次抛掷结果是正面向上是相互独立的，故B正确；

对于C，，，

所以，故C正确；

对于 D，，，故D错误；

故选：BC

15. 已知定义在上的函数满足，且函数为奇函数，则（）

A. 函数是周期函数 B. 函数为上的偶函数

C. 函数为上的单调函数 D. 函数的图像关于点对称

【答案】ABD

【解析】

【分析】对于A，由可得，即可判断；对于B，由函数为奇函数可得，从而可得，即可判断；对于C，根据函数为上的偶函数可判断；对于D，由，从而有即可判断.

【详解】对于A，由可得，

所以函数是周期为4的周期函数，故A正确；

对于B，因为函数为奇函数，所以，

则，所以函数为上的偶函数，故B正确；

对于C，根据B的解析可知函数为上的偶函数，所以函数在上没有单调性，故C错误；

对于D，因为，且函数周期为，

所以，即

的图像关于点对称，故D正确.

故选：ABD

16. 已知的三个内角的正弦值分别等于的三个内角的余弦值，则（）

A. 为钝角三角形

B.

C.

D. 中最大边长与最小边长的比值

【答案】AB

【解析】

【分析】由题意不妨设，可得是锐角三角形，从而可得，对于A，用反证法即可判断；对于B，因为是锐角三角形，不妨设，从而可得，同理可得，相加后即可判断；对于C，由A解析可求得，. 从而，利用余弦函数的性质即可判断；对于D，先确定是最小角，不妨设是最大边，从而有，再根据正弦定理即可判断.

【详解】由题意不妨设，因为三角形内角都在之间，所以正弦均大于，

所以所以是锐角三角形，

所以，所以.

对于，假设是锐角三角形，所以，三式子相加得，

而事实上，所以矛盾，假设不成立，

假设是直角，则得，假设不成立，

所以是钝角三角形，所以正确；

对于，因为是锐角三角形，所以任意两角之和均大于，

不妨设，

即，同理，

所有不等式相加可知，，B正确；

由可知，为钝角三角形，不妨设为钝角，所以，

变形，三式相加得，即.

对于C，，

易知，所以，所以，所以错误；

对于D，不妨设所对边为，因为，所以不可能是最大角，

所以不是最大边.

如果也不是最小角，那一定存在一个角小于，这样剩下的角就大于，

与是锐角三角形矛盾，所以是最小角，即是最小边.

不妨设是最大边，

即，，

根据正弦定理可得错误.

故选：AB.

【点睛】关键点睛：

这道题的关键是能够由题意不妨设，从而可得推出是锐角三角形，从而可得.

非选择题部分

三、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）

17. 若a，，且，则的最大值为___________．

【答案】

【解析】

【分析】根据，从而可得，求解即可.

【详解】因为，所以，

当且仅当时，等号成立，

所以的最大值为.

故答案为：

18. 如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一个平面内，如果四边形是边长为2的正方形，则这个八面体的体积是___________．

【答案】##

【解析】

【详解】可知正四棱锥的高为，

所以八面体体积为.

故答案为：

19. 年月日，中国国家统计局公布了年一季度中国经济运行成绩单（如表1，表2所示），中国经济运行实现良好开局．从行业增长角度分析，则第百分位数是___________；从产业增长角度分析，年一季度中国约增长___________．

参考：增长模型：，代表的增长率，表示在其他因素不变的情况下，经济固有增长率，统计得，代表第产业比上年同期的增长率，代表第产业的占比，代表随机误差项．

表1  年一季度行业初步核算数据

表2  年一季度产业初步核算数据

【答案】    ①. ##    ②.

【解析】

【分析】利用百分位数的定义可求得行业增长的第百分位数，利用增长率公式可求得年一季度中国的增长率.

【详解】将表1中各行业比上年同期增长率（）按由小到大排列为：、、、、

、、、、、、、，共个数据，

因为，故从行业增长角度分析，则第百分位数是，

由题意可知，从产业增长角度分析，年一季度中国约增长

.

故答案为：；.

20. 如图，将边长为1的大正方形分割成四个全等的小正方形，沿顺时针方向将小正方形依次记为（1），（2），（3），（4）．是小正方形（i）内部和边界上的动点，O是大正方形的中心，则的最小值是___________．

【答案】##

【解析】

【分析】令，从而可得，利用数量积的定义即可求解.

【详解】令，

所以

如图，建立直角坐标系，设，则，

因为，

所以，

所以，

当或或或时，等号成立，即最大为，

同理，当或或或时，最大为，

故当，，

或，

或，，

或，时，此时最大为,最大为，且，

即的最小值为.

故答案为：

四、解答题（本大题共3小题，共33分）

21. 已知函数．

（1）求；

（2）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象，求在上的值域．

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）把代入直接计算即可；

（2）先化简为，再根据平移可得，由可得，结合余弦函数的性质即可求解.

【小问1详解】

；

【小问2详解】

，

图象向左平移个单位长度，得到的图象，

，

，，

的值域为.

22. 如图，三棱台的六个顶点都在球心为O的半球面上，在半球底面上，球的直径．

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面ABC所成角的大小．

【答案】（1）证明见解析

（2）

【解析】

【分析】（1）连接，证得四边形是平行四边形，从而可证，从而利用线面平行的判定定理即可证明；

（2）延长交于点，连交于，连接，可证得平面，从而得到为与平面所成角，再利用即可求解.

【小问1详解】

连接是等边三角形，

四边形是等腰梯形，

，

四边形是平行四边形，，

平面平面平面;

【小问2详解】

延长交于点，连交于，连接，

是球的直径，为中点，

三棱台，

为中点，平面平面，

为与平面所成角，

，

直线与底面所成角大小为.

23. 已知函数．

（1）当时，解关于x的不等式；

（2）当时，若方程有4个不同的根，其中，且满足，求的值．

【答案】（1）答案见解析；

（2）

【解析】

【分析】（1）分、求解即可；

（2）问题等价于与均有2个不同的根，从而可得，根据求根公式结合，可得代入已知条件可得，从而可求解.

【小问1详解】

由已知可得，即:，

当时，;当时，.

综上所述，当时，原不等式的解集为，

当时，原不等式的解集为.

【小问2详解】

有4个不同的根，方程与均有2个不同的根，即与均有2个不同的根，.

而两根分别为

两根分别为，

又，

，

所以，所以，

，

，

由得：，得，

【点睛】关键点睛：

第二问中，关键是把问题等价于与均有2个不同的根，从而利用求根公式得到从而问题可以顺利求解.