2022-2023学年江苏省南通市海安县、如东县高二上学期期末考试数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年江苏省南通市海安县、如东县高二上学期期末考试数学试卷（含解析）
南通市海安县如东县2022-2023学年度第一学期高二数学期末试卷解析一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知集合A={x|-20的最大的正整数k为13．故满足Sk>0的最大的正整数k可能为13与14．  11. 已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，P(x0,y0)为C上一动点，点A(2,1)，则(    )A. 当x0=2时，|PF|=3B. 当y0=1时，C在点P处的切线方程为2x-2y+1=0C. |PA|+|PF|的最小值为3D. |PA|-|PF|的最大值为2【答案】ACD 【解析】【分析】本题考查抛物线的定义、几何性质，属于中档题．当x0=2时，求出|PF|判断A；设切线与抛物线联立使Δ求出切线方程判断B；利用抛物线的定义转化求解|PA|+|PF|的最小值可判断C；根据三角形的性质判断D．【解答】解：因为抛物线C: y2=4x，所以准线 l的方程是x=-1．对于A，当 x0=2时，2p=4，此时|PF|=x0+p2=2+1=3，故A正确；对于B，当y0=1时，x0=14，令切线方程为：m(y-1)=x-14，与y2=4x联立得y2-4my+4m-1=0，Δ=16m2-16m+4=0，解得m=12，即切线方程为：12(y-1)=x-14，即4x-2y+1=0，故B错误；对于C，过点P，A分别作准线l的垂线，垂足为Q，B，则|PA|+|PF|=|PA|+|PQ| ≥|AB|=3，所以|PA|+|PF|的最小值为3，C正确．对于D，因为焦点F(1,0)，所以|PA|-|PF| ≤|AF|= 2-12+12=2，所以|PA|-|PF|的最大值为 2，D正确．  12. 已知x2-y2-y，所以ux>u-y，故C正确；对于D，cosx-cosy>y2-x2，即x2+cosx>y2+cosy．令tx=x2+cosx，则tx>ty．因为t-x=-x2+cos-x=x2+cosx=tx，所以tx=x2+cosx为偶函数．所以tx>ty即为tx>t-y．则t'x=2x-sinx．令mx=2x-sinx，则m'x=2-cosx>0，所以mx单调递增．又m0=0，所以当x∈-∞,0时，mx0，函数tx单调递增．当-y0.则不等式f(x2-3x+2)>0的解集为          ．【答案】1,2 【解析】【分析】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了一元二次不等式的解法，属于中档题．设gx=fxex，可得gx单调递减，fx2-3x+2>0可转化为gx2-3x+2>g0，根据单调性即可求解．【解答】解：设gx=fxex，则g'x=f'x-fxex0可转化为fx2-3x+2ex2-3x+2>0，即gx2-3x+2>g0．因为gx单调递减，所以x2-3x+20a-44>-1Δ=(a-4)2-8(3-a)>0，解得：a>22，所以所求实数a的取值范围是(22,+∞). 【解析】本题考查利用导数研究闭区间上函数的最值及极值，属于中档题．(1)对函数求导，研究函数的单调性，从而可得函数的最值；(2)条件等价于2x2+(4-a)x+3-a=0在区间(-1,+∞)上有两个不相等的实数根，列关于a的不等式，求解即可．20. (本小题12.0分)设数列{an}的前n项积为Tn，且Tn=2n2．(1)求数列an的通项公式;(2)记区间[am,am+1](m∈N*)内整数的个数为bm，数列{bm}的前m项和为Sm，求使得Sm>2023的最小正整数m．【答案】解：(1)因为数列{an}的前n项积为Tn，且Tn=2n2， ①当n=1时，a1=2，当n≥2时，a1⋅a2⋯an-1=2(n-1)2， ② ①除以 ②得an=22n-1，又n=1时，a1=2也满足an=22n-1，所以an=22n-1，(2)因为区间[am,am+1](m∈N*)内整数的个数为bm，所以bm=22m+1-22m-1+1=3⋅22m-1+1，所以Sm=3×2(1-4m)1-4+m=2×4m+m-2由Sm>2023，得2×4m+m-2>2023，即2×4m+m>2025，当m=4时，2×44+4=512+4=5162025，因为2×4m+m随m的增大而增大，所以Sm>2023的最小整数为5． 【解析】本题考查了根据递推关系式求通项，等比数列求和，属于中档题．(1)根据数列{an}的前n项积为Tn，且Tn=2n2，当n=1时，a1=2，当n≥2时，a1⋅a2⋯an-1=2(n-1)2，可求得an=22n-1．(2)因为区间[am,am+1](m∈N*)内整数的个数为bm，所以bm=22m+1-22m-1+1=3⋅22m-1+1，利用等比数列求和公式可得Sm=3×2(1-4m)1-4+m=2×4m+m-2，再求得m的值．21. (本小题12.0分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32，左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，上顶点为B，△BF1F2的周长为23+4.点P，Q在C上，直线A1P，A2Q，A2P，的斜率分别为k1，k2，k3，且k1=3k2(1)证明k1k3为定值;(2)求点B到直线PQ距离的最大值．【答案】解：(1)设椭圆焦距为2c，由题知ca=32，2a+2c=23+4，a2=b2+c2，解得a=2b=1c=3，所以椭圆的标准方程为x24+y2=1，依题意A1(-2,0)，A2(2,0)，设椭圆上任一点P(x1,y1)，则x124+y12=1，所以k1⋅k3=y1x1+2·y1x1-2=y12x12-4=1-x124x12-4=-14；(2)再设Q(x2,y2)若直线PQ的斜率为0则P，Q关于y轴对称，必有k1=-k2，不合题意，所以直线PQ斜率必不为0，设其方程为x=ty+n(n≠±2)，与椭圆C联立x2+4y2=4x=ty+n，整理得：(t2+4)y2+2tny+n2-4=0，所以Δ=16(t2+4-n2)>0，且y1+y2=-2nt2+4y1y2=n2-4t2+4,由(1)知k1=-14k3=3k2，即12k2⋅k3=-1，即12y1y2(x1-2)(x2-2)=-1，即12y1y2t2y1y2+t(n-2)(y1+y2)+(n-2)2=-1，即12(n+2)t2(n+2)-2t2n+(n-2)(t2+4)=-1，所以n=-1，此时△=16(t2+4-n2)=16(t2+3)>0，故直线PQ恒过x轴上一定点D(-1,0)，所以点B到直线PQ的最大距离为|BD|，即为2． 【解析】本题主要考查椭圆的标准方程，椭圆的焦点三角形问题，直线与椭圆的位置关系及其应用，椭圆中的定点、定值、定直线问题，属于中档题．(1)由椭圆定义及几何性质即可得椭圆的方程，再根据两点间的斜率公式证明；(2)设Q(x2,y2)，若直线PQ的斜率为0则P，Q关于y轴对称，必有k1=-k2，不合题意，所以直线PQ斜率必不为0，设其方程为x=ty+n(n≠±2)，代入椭圆的方程得(t2+4)y2+2tny+n2-4=0，由韦达定理，可得y1+y2=-2nt2+4y1y2=n2-4t2+4即可解答．22. (本小题12.0分)已知函数f(x)=alnx-bx，其中a，b∈R.(1)若a=1，求函数f(x)的单调区间;(2)若b=1，函数f(x)有两个相异的零点x1，x2，求证：x1x2>e2．【答案】解(1)当a=1时，f(x)=lnx-bx，定义域为(0,+∞)，所以，f'(x)=1x-b=1-bxx，所以，b⩽0时，f'(x)⩾0在(0,+∞)上恒成立，故f(x)在(0,+∞)上单调递增，当b>0时，令f'(x)=0得x=1b，所以，当x∈1,1b时，f'(x)>0，f(x)单调递增;x∈1b,+∞时，f'(x)0时，f(x)在(0,1b)上单调递增，在(1b,+∞)上单调递减．(2)由题知b=1，f(x)=alnx-x，因为函数y=f(x)有两个相异零点x1，x2，且f(1)=-1，所以x1≠1且x2≠1，，即a=x1lnx1a=x2lnx2,所以，方程a=xlnx有两个不相等的实数根，令g(x)=xlnx，则g'(x)=lnx-1(lnx)2，故当x∈(0,1)∪(1,e)时，g'(x)0在(1,+∞)恒成立，所以，h(t)在(1,+∞)上单调递增，所以，h(t)>h(1)=0，即(t+1)lnt>2(t-1)，所以，x1x2>e2成立． 【解析】本题考查了函数的零点、应用导数研究函数的单调性、最值，对于恒成立问题往往转化为函数最值解决，属于难题．(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；(2)不妨令x1>x2>0，用分析法对x1x2>e2进行等价转化，最后可构造函数即可证明结论成立．