2022-2023学年广东省深圳市南方科技大学附属中学高二下学期5月月考数学试题含答案

2022-2023学年广东省深圳市南方科技大学附属中学高二下学期5月月考数学试题

一、单选题

1．若集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先分别求出集合，再根据交集的定义即可得解.

【详解】因为，

所以.

故选：C.

2．函数的定义域是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用根式及对数函数的定义建立不等式组，解不等式组得到定义域即可.

【详解】由，得，解得，

所以函数的定义域为.

故选：D．

3．设复数满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用复数的除法运算化简求值即可.

【详解】由，得，

故选：D．

4．已知向量，，，则实数（    ）.

A． B．0 C．1 D．或1

【答案】D

【分析】由已知求出，，.由已知可得，展开代入，即可得出答案.

【详解】由已知可得，，，.

因为，

所以，，

所以有，

所以，，解得.

故选：D.

5．已知函数，则要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ）

A．向左平移个单位 B．向右平移个单位

C．向左平移个单位 D．向右平移个单位

【答案】C

【分析】利用三角函数的平移法则求解即可.

【详解】因为，

所以要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位即可，

故选：C.

6．岭南古邑的番禺不仅拥有深厚的历史文化底蕴，还聚焦生态的发展．下图是番禺区某风景优美的公园地图，其形状如一颗爱心．图是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用基本不等式可求得，知A错误；由时，可知B错误；根据、图象中的特殊点及函数的奇偶性、单调性可知C正确；根据函数定义域可知D错误.

【详解】对于A，（当且仅当，即时取等号），

在上的最大值为，与图象不符，A错误；

对于B，当时，，与图象不符，B错误；

对于C，，当时，；

又过点；

由得：，解得：，即函数定义域为；

又，

为定义在上的偶函数，图象关于轴对称；

当时，，则函数在上单调递增，在上单调递减；

综上所述：与图象相符，C正确；

对于D，由得：，不存在部分的图象，D错误.

故选：C.

7．某县政府分派4名干部到甲、乙、丙三个贫困村开展“精准扶贫”工作，要求每名干部只去一个贫困村，且每个贫困村至少安排一名干部，则不同的分配方案种数有（    ）

A．24种 B．36种 C．48种 D．72种

【答案】B

【分析】根据题意，利用分步计数原理：首先4名干部中任选2名作为一组，其它各自成组，再随机分派到3个村，即可知分配方案的种数；

【详解】由题意，按分步计数原理：

1、4名干部中任选2名为一组，其它2名各为一组，即共三组，有种选法；

2、将三组干部随机分派到甲、乙、丙三个贫困村，有种分法；

∴不同的分配方案种数有：种；

故选：B

【点睛】本题考查了分步计数原理，先分组后分派求分配方案种数；

8．已知，满足，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由，得到，化简，结合基本不等式，即可求解.

【详解】由，可得，

因为，可得且，解得，

则，

当且仅当时，即时，等号成立，

所以的最小值为.

故选：B.

二、多选题

9．下列结论中正确的是（    ）

A．正四面体一定是正三棱锥 B．正四棱柱一定是长方体

C．棱柱的侧面一定是平行四边形 D．棱柱的两个互相平行的平面一定是棱柱的底面

【答案】ABC

【分析】根据各几何体的定义直接判断.

【详解】A选项：正三棱锥是底面为正三角形，各侧棱长均相等的几何体，正四面体四个面均为正三角形且所有棱长均相等，所以A选项正确；

B选项：正四棱柱为底面为正方形的直棱柱，所以正四棱柱即为长方体，所以B选项正确；

C选项：棱柱上下底面互相平行且全等，且各侧棱互相平行，所以棱柱的侧面均为平行四边形，所以C选项正确；

D选项：正四棱柱的侧面两两平行，所以D选项错误；

故选：ABC.

10．总和生育率有时也简称生育率，是指一个人口群体的各年龄别妇女生育率的总和．它反映的是一名妇女在每年都按照该年龄别现有生育率生育的假设下，在育龄期间生育的子女总数．为了了解中国人均GDPx（单位：万元）和总和生育率y以及女性平均受教育年限z（单位：年）的关系，采用2012~2022近十年来的数据绘制了散点图，并得到经验回归方程，，对应的决定系数分别为，，则（    ）

A．人均GDP和女性平均受教育年限正相关．

B．女性平均受教育年限和总和生育率负相关

C．

D．未来三年总和生育率一定继续降低

【答案】AB

【分析】根据回归方程判断A，写出女性平均受教育年限和总和生育率的关系式，从而判断B，根据散点图的拟合效果判断C，由回归方程可预测未来趋势，但实际值不一定会持续降低，从而判断D.

【详解】由回归方程知人均GDP和女性平均受教育年限正相关，故A正确；

因为，，

可得女性平均受教育年限z和总和生育率y的关系式为，

所以女性平均受教育年限z和总和生育率y负相关，故B正确；

由散点图可知，回归方程相对拟合效果更好，

所以，故C错误；

根据回归方程预测，未来总和生育率预测值有可能降低，

但实际值不一定会降低，故D错误．

故选：AB

11．若,且（，且）在上单调递增，则a的值可能是（    ）

A． B． C．3 D．

【答案】BC

【分析】由在上单调递增分析，两段函数都要递增，且分段处也要符合递增的情形，故而可得不等式组，求解即可.

【详解】因为在上单调递增，

所以，解得，

则BC符合取值范围.

故选：BC.

12．设数列的前项和为，若存在实数使得对任意，都有，则称数列为“数列”，则以下结论正确的是（    ）

A．若是等差数列，且，公差，则数列是“数列”

B．若是等比数列，且公比满足，则数列是“数列”

C．若，则数列是“数列”

D．若，则数列是“数列”

【答案】BC

【分析】分别根据四个选项中的条件分别求出数列的前项和，再根据的关系式判断是否存在实数使得对任意，都有，即可判断四个选项的正误.

【详解】对于A，若是等差数列，且，公差，则，当无穷大时，也无穷大，所以数列不是“数列”，故A选项错误；

对于B，若是等比数列，且公比满足，所以，所以数列是“数列”，故B选项正确；

对于C，若，所以，所以数列是“数列”，故C选项正确；

对于D，若，所以，当当无穷大时，也无穷大，所以数列不是“数列”，故D选项错误.

故选：BC.

三、填空题

13．已知，，则         .

【答案】

【分析】利用诱导公式与平方和关系求解即可.

【详解】因为，所以，所以

故答案为：

14．已知函数，则曲线在点处的切线方程为          .

【答案】

【分析】根据题意，求导可得，再由直线的点斜式即可得到结果.

【详解】由题意可得，，则，

由直线的点斜式可得，化简可得.

故答案为:

15．数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an+1＝2Sn（n∈N*），则an＝            .

【答案】

【分析】利用项和公式求解即可.

【详解】由题得，

两式相减得，即，

n=1时，，

所以数列{an}从第2项起是等比数列，所以，

所以数列的通项为.

故答案为

【点睛】本题主要考查项和公式求数列的通项，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.

16．过抛物线的焦点作直线与抛物线交于、两点，线段的垂直平分线交轴于，点为的平分线上任意一点，记与的面积分别为、，则      ．

【答案】/

【分析】由角平分线的定义得，设线段的垂直平分线与交于点，转化为求，分别过点、作抛物线的准线的垂线，垂足分别为、，再过点作，垂足为，然后利用抛物线的定义求解.

【详解】因为P为的平分线上任意一点，所以，

设线段的垂直平分线与线段交于点，分别过点、作抛物线准线的垂线，垂足分别为、，再过点作，垂足为．

因为，，所以，所以．

设，（不妨设），

由抛物线定义得，，所以．

而，所以．

故答案为：.

四、解答题

17．在中，，，.

(1)求的面积；

(2)求c及的值.

【答案】(1)

(2)，

【分析】（1）利用平方关系求得，应用三角形面积公式求的面积；

（2）余弦公式求c，再应用正弦定理求.

【详解】（1）由且，则，

所以.

（2）由，则，

而，则.

18．已知递增的等差数列的前项和为，满足，且成等比数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列{}的前项和为，证明．

【答案】（1）；（2）见解析

【分析】(1)通过已知化简可得,,即可求得可得;

(2) ,通过裂项求和即可求得.

【详解】（1）递增的等差数列的公差设为

由，可得，即，

成等比数列，可得，

即为，

解得可得；

（2）证明：，

可得前项和为

．

【点睛】本题考查了等差通项公式和求和公式,考查了裂项求和,难度较易.

19．2023年春节档有多部优秀电影上映，其中《流浪地球》是比较火的一部.某影评网站统计了100名观众对《流浪地球》的评分情况，得到如下表格：

(1)根据以上评分情况，试估计观众对《流浪地球》的评价在四星以上（包括四星）的频率；

(2)以表中各评价等级对应的频率作为各评价等级对应的概率，假设每个观众的评分结果相互独立.

（i）若从全国所有观众中随机选取3名，求恰有2名评价为五星1名评价为一星的概率；

（ii）若从全国所有观众中随机选取5名，记评价为五星的人数为，求的分布列､数学期望和方差.

【答案】(1)0.81

(2)（i）；（ii）分布列见详解，

【分析】（1）根据表中的数据求解即可，

（2）（i）先根据表中的数据求出评价为五星的概率和评价为一星的概率，然后利用独立事件的乘法公式可求得结果，（ii）由题意可知，然后利用二项分布的概率公式求出相应的概率，从而可求得的分布列､数学期望和方差.

【详解】（1）由给出的数据可得，评价为四星的人数为6，评价为五星的人数是75，故评价在四星以上（包括四星）的人数为，

故可估计观众对《流浪地球》的评价在四星以上（包括四星）的频率为；

（2）（i）依题意评价为五星的概率为，评价为一星的概率为，

记“恰有2名评价为五星1名评价为一星”为事件，

则；

（ii）由题可知，

，

，

故.

20．如图，在三棱锥中，，，为中点．

(1)证明：平面；

(2)若点在棱上，，且，求二面角的大小．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）证得和，然后根据线面垂直的判定定理即可得出结论；

（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角坐标公式即可求出结果.

【详解】（1）解：（1）证明：因为，且为中点，所以，

因为，且为中点，所以，因为，且为中点，

所以，因为，，，所以，所以，

，所以平面.

（2）解：因为，且为中点，所以，从而，，两两垂直，

如图，建立以为原点，以，，分别为，，轴的空间直角坐标系，

易知，，，，

设，由，即，可求得，

所以，，

不妨设平面的一个法向量为，则，

即，

令，则，，所以，

取平面的一个法向量为，

所以，

所以二面角的大小为．

21．已知函数在处取得极小值．

（1）求f（x）；

（2）令函数，若f（x）≤g（x）对x∈[1，4]恒成立，求m的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）先对函数求导，然后结合极值存在的条件代入即可求解a，b，进而可求函数解析式；

（2）由已知不等式恒成立，分离参数后转化为求解函数的最值问题，可构造函数，结合导数可求．

【详解】解：（1），

所以，f（），

解可得，

；

（2）若f（x）≤g（x）对x∈[1，4]恒成立，则，

所以m对x∈[1，4]恒成立，

令h（x），x∈[1，4]，

则，

当1时，h′（x）＞0，函数单调递增，当时，h′（x）＜0，函数单调减，

故h（x）max＝h（），

即m的范围．

【点睛】本题考查了函数极值存在条件的应用，考查利用分离法处理恒成立问题中参数范围求解问题，体现了转化思想的应用，是中档题．

22．在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上异于左、右顶点的一点，的周长为．

（1）求椭圆的方程；

（2）若点为椭圆上一点，直线，的斜率分别记为，，若，试探究是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．

【答案】（1）；（2）是定值，此定值为3．

【分析】（1）据题意得，解方程即可得答案；

（2）设，，由题知，再结合点，在椭圆上得，进而解得，，再结合点到直线的距离即可得答案.

【详解】解：（1）由题意可知，

解得．

所以椭圆的方程为．

（2）设，，则，，

由，所以，即，

因为，在椭圆上，

所以，

整理得，所以，

则为定值．

【点睛】本题考查椭圆的方程的求解，椭圆中的定值问题，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于设出点，，进而根据题意得方程，，联立求解即可.