2023年湖南省湘西州中考数学试卷（含解析）

2023年湖南省湘西州中考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  今年五一假期，湘西州接待游客万人次，实现旅游收入元，旅游复苏形势喜人将用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  已知直线，将一块直角三角板按如图所示的方式摆放若，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  某校九年级科技创新兴趣小组的个成员体重单位：如下：，，，，，，，则这组数据的众数和中位数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

6.  如图是由个完全相同的小正方体搭成的几何体，其箭头所指方向为主视方向，则这个几何体的俯视图是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  不等式组的解集在数轴上表示正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  七边形的内角和是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，点在函数的图象上，点在函数的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，为的直径，点在的延长线上，，与相切，切点分别为，若，，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）

11.  在实数，，，中，最小的实数是______ ．

12.  若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是______ ．

13.  分解因式： ______ ．

14.  在一个不透明的袋中装有个白球和个红球，它们除颜色不同外，其余均相同现从袋中随机摸出一个小球，则摸到红球的概率是______ ．

15.  在平面直角坐标系中，已知点与点关于轴对称，则 ______ ．

16.  已知一元二次方程的一个根为则另一个根 ______ ．

17.  如图，在矩形中，点在边上，点是的中点，，，则的长为______ ．

18.  如图，是等边三角形的外接圆，其半径为过点作于点，点为线段上一动点点不与，重合，则的最小值为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：．

20.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

21.  本小题分
某校计划开展以弘扬“文化自信”为主题的系列才艺展示活动，要求每位学生从绘画、合唱、朗诵、书法中自主选择其中一项参加活动为此，学校从全体学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，根据统计的数据，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图部分信息未给出．

请你根据图中所提供的信息，完成下列问题：
该校此次调查共抽取了______ 名学生；
在扇形统计图中，“书法”部分所对应的圆心角的度数为______ ．
请补全条形统计图画图后标注相应的数据；
若该校共有名学生，请根据此次调查结果，估计该校参加朗诵的学生人数．

22.  本小题分
如图，四边形是平行四边形，，且分别交对角线于点，，连接，．
求证：；
若求证：四边形是菱形．

23.  本小题分
如图所示，小明家、食堂、图书馆在同一条直线上食堂离小明家，图书馆离小明家小明从家出发，匀速步行了去食堂吃早餐；吃完早餐后接着匀速步行了去图书馆读报；读完报以后接着匀速步行了回到家图反映了这个过程中，小明离家的距离与时间之间的对应关系．

请根据相关信息解答下列问题：
填空：
食堂离图书馆的距离为______ ；
小明从图书馆回家的平均速度是______ ；
小明读报所用的时间为______ ．
小明离开家的距离为时，小明离开家的时间为______ ．
当时，请直接写出关于的函数解析式．

24.  本小题分
年“地摊经济”成为社会关注的热门话题，“地摊经济”有着启动资金少、管理成本低等优点，特别是在受到疫情冲击后的经济恢复期，“地摊经济”更是成为许多创业者的首选，甲经营了某种品牌小电器生意，采购台种品牌小电器和台种品牌小电器，共需要元；采购台种品牌小电器和台种品牌小电器，共需要元销售一台种品牌小电器获利元，销售一台种品牌小电器获利元．
求购买台种品牌小电器和台种品牌小电器各需要多少元？
甲用不小于元，但不超过元的资金一次性购进、两种品牌小电器共台，求购进种品牌小电器数量的取值范围．
在的条件下，所购进的、两种品牌小电器全部销售完后获得的总利润不少于元，请说明甲合理的采购方案有哪些？并计算哪种采购方案获得的利润最大，最大利润是多少？

25.  本小题分
如图，点，在以为直径的上，的平分线交于点，连接，，，过点作，垂足为，交于点．
求证：；
若，，求的长．

26.  本小题分
如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点．

求二次函数的解析式和的值．
在二次函数位于轴上方的图象上是否存在点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，作点关于原点的对称点，连接，作以为直径的圆点是圆在轴上方圆弧上的动点点不与圆弧的端点重合，但与圆弧的另一个端点可以重合，平移线段，使点移动到点，线段的对应线段为，连接，，的延长线交直线于点，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是．
故选：．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题考查相反数的概念，关键是掌握相反数的定义．

2.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．

3.【答案】 

【解析】解：．，原计算正确，符合题意；
B.，原计算错误，不符合题意；
C.与不是同类二次根式，不可以合并，原计算错误，不符合题意；
D.，原计算错误，不符合题意；
故选：．
根据二次根式的性质、积的乘方、合并同类项法则、完全平方公式进行化简计算即可．
本题考查了二次根式的性质、积的乘方、合并同类项法则、完全平方公式，掌握相关性质与法则是解题的关键．

4.【答案】 

【解析】解：，，
．
，
．
故选C．

由，，得，进而得到的度数．
本题主要考查平行线的性质和邻补角的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．

5.【答案】 

【解析】解：出现次数最多的数据为，
众数为，
排序后，位于中间位置的数据为，
中位数为；
故选：．
根据众数是出现次数最多的数据，以及中位数是将数据排序后，位于中间位置的数据为中位数进行求解即可．
本题考查求众数和中位数．熟练掌握众数和中位数的确定方法是解题的关键．

6.【答案】 

【解析】解：这个几何体的俯视图为：

故选：．
根据俯视图是从上往下看，得到的图形，进行判断即可．
本题考查三视图．熟练掌握三视图的确定方法，是解题的关键．

7.【答案】 

【解析】解：由，得：；
由，得：；
不等式组的解集为：；
在数轴上表示如下：
故选：．
分别求出每一个不等式的解集，确定不等式组的解集，然后在数轴上表示出来即可．
本题考查求不等式组的解集，并在数轴上表示出解集．解题的关键是正确的求出每一个不等式的解集．

8.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
边形的内角和是，把多边形的边数代入公式，就得到多边形的内角和．
此题主要考查了多边形的内角和与外角和定理，解决本题的关键是正确运用多边形的内角和公式，是需要熟记的内容．

9.【答案】 

【解析】解：延长交轴于点，

轴，
轴，
点在函数的图象上，
，
轴于点，轴，点在函数的图象上，
，
四边形的面积等于；
故选：．
延长交轴于点，根据反比例函数值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可得解．
本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．熟练掌握反比例函数中的几何意义，是解题的关键．

10.【答案】 

【解析】解：连接、、，交于，如图，

，与相切，切点分别为，，
，，平分，
，
，
，
，
，
，
，
，，
在中，
，
，
．
故选：．
连接、、，交于，如图，利用切线的性质和切线长定理得到，，平分，根据等腰三角形的性质得到，则，根据圆周角定理得到，所以，然后求出即可．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和解直角三角形．

11.【答案】 

【解析】解：，
最小的实数是；
故答案为：．
根据负数小于小于正数，即可得出结果．
本题考查实数比较大小．熟练掌握负数小于小于正数，是解题的关键．

12.【答案】 

【解析】解：由二次根式在实数范围内有意义可得：
，
解得：；
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件可直接进行求解．
本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．

13.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
先提公因式再利用平方差公式法进行因式分解即可．
本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．

14.【答案】 

【解析】解：摸到红球的概率为．
答案为：．
用红球个数除以白球与红球数量之和即可．
本题考查概率的计算，掌握简单概率计算公式是解题的关键．概率所求情况数与总情况数之比．

15.【答案】 

【解析】解：点与点关于轴对称，
点与点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，
，，
解得，
，
故答案为：．
根据题意可知点与点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此回答问题即可．
本题主要考查关于轴对称的两点，属于基础题，明白关于轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数是解题关键．

16.【答案】 

【解析】解：则根据根与系数的关系得：，
解得：，
即方程的另一个根为，
故答案为：．
根据根与系数的关系得：，求出即可．
本题考查了一元二次方程的解和根与系数的关系，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键，注意：当和是一元二次方程、、为常数，的两个根时，那么，．

17.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，，，
，，，
，
，
，
点是的中点，
，
故答案为：．
由矩形的性质得，，，而，所以，则，所以，则，于是得到问题的答案．
此题重点考查矩形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，正确地求出的长是解题的关键．

18.【答案】 

【解析】如图所示，过点作，连接并延长交于点，连接

是等边三角形，，
，
是等边三角形的外接圆，其半径为，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
的最小值为的长度，
是等边三角形，，，
，
的最小值为．
故答案为：．
过点作，连接并延长交于点，连接，根据等边三角形的性质和圆内接三角形的性质得到，，然后利用含角直角三角形的性质得到，进而求出，然后利用代入求解即可．
此题考查了圆内接三角形的性质，等边三角形的性质，含角直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．

19.【答案】解：


． 

【解析】先计算零次幂，特殊角的正弦值，负指数幂，求解绝对值，再合并即可．
本题考查实数的运算，实数的相关运算法则是基础也是重要知识点，必须熟练掌握，同时考查了特殊角的三角函数值，零次幂的含义，熟练掌握零次幂，特殊角的正弦值以及负指数幂的运算法则是解题的关键．

20.【答案】解：


，
当时，原式． 

【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，最后把的值代入计算即可．
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

21.【答案】   

【解析】解：该校此次调查共抽取的学生数为：名，
故答案为：；
“书法”部分所对应的圆心角的度数为：，
故答案为：；
朗诵的人数为：名，
补全条形统计如下：

名，
答：该校参加朗诵的学生有名．
根据选择合唱的人数除以所占的百分比，可以计算出本次调查共抽取的学生数；
用乘以“书法”部分的百分比即可得解；
根据的结果及图中的数据可以计算出朗诵的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
用乘以朗诵人数所占百分比即可得解．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小，利用数形相结合的思想是解题的关键．

22.【答案】证明：连接，交于点，

四边形是平行四边形，
，
，
，
又，
≌，
，
四边形为平行四边形，
，
；
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，
，
平行四边形是菱形． 

【解析】连接，交于点，证明≌，推出四边形为平行四边形，得到，即可得证；
先证明四边形是菱形，得到，进而得到，即可得证．
本题考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质．熟练掌握相关知识点，是解题的关键．

23.【答案】      或 

【解析】解：，
小食堂离图书馆的距离为，
故答案为：；
根据题意，，
小明从图书馆回家的平均速度是，
故答案为：；
，
故答案为：；
设小明离开家的距离为时，小明离开家的时间为，
当去时，小明离开家的距离为时，
，
小明到食堂时，小明离开家的距离为不足，
由题意得，
解得，
当返回时，离家的距离为时，
根据题意得，
解得；
故答案为：或．
设时，
过，
，
解得，
时，
由图可知，当时，
设时，，
过，，
，
解得，
，
综上所述，当时，关于的函数解析式为．
由图象中的数据，可以直接写出食堂离小明家的距离和小明从家到食堂用的时间；根据图象中的数据，用路程除以时间即可得解；用减去即可得解；设小明离开家的距离为时，小明离开家的时间为，分小明去时和小明返回时两种情况构造一元一次方程求解即可；
根据图象中的数据，利用待定系数法分别求出当、和时三段对应的函数解析式即可．
本题考查函数的图象、一元一次方程的应用以及待定系数法求一次函数的解析式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

24.【答案】解：设、型品牌小电器每台的进价分别为元、元，根据题意得：
，
解得：，
答：、型品牌小电器每台进价分别为元、元．
设购进型品牌小电器台，
由题意得：，
解得，
答：购进种品牌小电器数量的取值范围．
设获利为元，由题意得：，
所购进的、两种品牌小电器全部销售完后获得的总利润不少于元，
，
解得：，
，
随的增大而减小，
当台时获利最大，最大元，
答：型台，型台，最大利润是元． 

【解析】列方程组即可求出两种风扇的进价，
列一元一次不等式组求出取值范围即可，
再求出利润和自变量之间的函数关系式，根据函数的增减性确定当自变量为何值时，利润最大，由关系式求出最大利润．
本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组解法和应用以及一次函数的图象和性质等知识，搞清这些知识之间的相互联系是解决问题的前提和必要条件．

25.【答案】证明：于点，是的直径，
，
，
∽，
，
，
，，
∽，
，
，
．
解：连接，
的平分线交于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
的长是． 

【解析】由于点，是的直径，得，而，所以∽，则，于是得，再证明∽，得，则，所以；
连接，因为，所以，则，由勾股定理得，而，则，所以．
此题重点考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．

26.【答案】解：二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，
，
解得：，
二次函数的解析式为，
当时，得：，
解得：，，
，
二次函数的解析式为，；
不存在．理由如下：
如图，设，
，，，
，，，
点在二次函数位于轴上方的图象上，且，
，
整理得：，
，
方程无实数根，
不存在符合条件的点；

如图，设交轴于点，
，，
，
点与点关于原点对称，
，
，
，
，
为圆的直径，
，
平移线段，使点移动到点，线段的对应线段为，
当点与点不重合时，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，，
，
在和中，
，，
，
，
，
又，
在和中，
，
≌，
，
，
，
当点与点重合时，此时点与点重合，
，，
，
综上所述，的值为．

 

【解析】将点，的坐标代入得到二元一次方程组求解可得，的值，可确定二次函数的解析式，再令，解关于的一元二次方程可得点的坐标，从而确定的值；
不存在．设，根据，可得，根据，可确定方程无实数根，即可作出判断；
根据对称的性质和点的坐标可得，根据等腰三角形的性质及判定可得，，再根据为圆的直径，可得，然后分两种情况：当点与点不重合时，由平移的性质可得四边形是平行四边形，从而得到，，再证明≌，可得，可得的值；当点与点重合时，此时点与点重合，可得，，代入可得结论．
本题考查用待定系数法确定二次函数解析式，函数图象上点的坐标特征，一元二次方程的应用，直径所对的圆周角为直角，对称和平移的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积等知识点，运用了分类讨论的思想．找到全等三角形是解题的关键．