2023年湖南省湘西州吉首市中考数学二模试卷

这是一份2023年湖南省湘西州吉首市中考数学二模试卷，共19页。

1．（4分）4的相反数是（ ）
A．±2B．﹣C．﹣4D．
2．（4分）我国已建成全球规模最大的光纤和移动宽带网络．截至2022年底，光缆线路总长度达到59580000千米，其中59580000用科学记数法可表示为（ ）
A．59.58×106B．5.958×106
C．5.958×107D．0.5958×108
3．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．|﹣2|＝﹣2B．（a2b3）2＝a4b6
C．（a﹣1）2＝a2﹣1D．3
4．（4分）将一个含30°角的直角三角板，如图放置在一矩形纸条上，若∠1＝45°，则∠2度数为（ ）
A．15°B．25°C．65°D．75°
5．（4分）1992年巴塞罗那奥运会混合双向飞碟金牌获得者—“神枪手”张山于2023年11月走进新都某中学，现场分享励志经历，在某次训练中，张山的成绩如下：197，196，194，196，196，199（单位：个），这些成绩的中位数和众数分别是（ ）
A．196，195B．195，196C．196，199D．196，196
6．（4分）下列各选项中的几何体都是由大小相同的小正方体搭成的，分别从正面、左面、上面看它们的形状图都相同的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（4分）把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（4分）下列多边形中，内角和是外角和的2倍的是（ ）
A．六边形B．五边形C．四边形D．三角形
9．（4分）如图，过点C（1，0）作两条直线，分别交函数y＝（x＞0），y＝﹣（x＜0）的图象于点A，点B，连接AB．若AB∥x轴，则△ABC的面积是（ ）
A．2B．3C．4D．6
10．（4分）如图，⊙O与△ABC的三边分别相切于点D，E，F，连接DE，EF．若AD＝6，BE＝7，CF＝8，则tan∠DEF的值是（ ）
A．B．2C．D．
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
11．（4分）比较大小： ．
12．（4分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
13．（4分）把4b3﹣16b分解因式的结果是 ．
14．（4分）从一副54张牌的扑克牌中任取一张，它是梅花的概率是 ．
15．（4分）已知点M（3，m）与点N（n，4）关于x轴对称，那么m+n＝ ．
16．（4分）已知一元二次方程x2+mx﹣＝0的一个根为2，则另一个根为 ．
17．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，E、F分别是边AB、CD的中点，点P是AD上一点，∠PFB＝3∠FBC，则AP的长为 ．
18．（4分）如图，在△ABC中，BC＝6，∠BAC＝60°，则2AB+AC的最大值为 ．
三．解答题（共8小题，满分78分）
19．（8分）计算：4cs30°+（1﹣）0﹣+（）﹣1．
20．（8分）先化简：，再从﹣3，1，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值．
21．（8分）教育部办公厅印发了《关于加强中小学生手机管理的工作通知》，要求中小学生原则上不得将个人手机带入校园，确有需求的，须经家长同意、书面提出申请，进校后应将手机由学校统一保管，禁止带入课堂．为了解学生手机使用情况，某学校开展了“手机伴我健康行”主题活动，他们随机抽取部分学生进行“使用手机目的”和“每周使用手机的时间”的问卷调查，并绘制成如图①，②的统计图，已知“查资料”的人数是48人．
解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）求扇形统计图中表示“玩游戏”的扇形圆心角度数；
（3）该校共有学生2100人，估计每周使用手机时间在2小时以上（不含2小时）的人数．
22．（10分）如图，四边形ABCD是平行四边形，BM∥DN，且分别交对角线AC于点M，N，连接MD，BN．
（1）求证：∠DMN＝∠BNM；
（2）若∠BAC＝∠DAC．求证：四边形BMDN是菱形．
23．（10分）随着春节临近，某儿童游乐场推出了甲、乙两种消费卡，其中，甲为按照次数收费，乙为收取办卡费用以后每次打折收费．设消费次数为x时，所需费用为y元，且y与x的函数关系如图所示．根据图中信息，解答下列问题．
（1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式；
（2）求出入园多少次时，两者花费一样？费用是多少？
（3）洋洋爸准备了240元，请问选择哪种划算？
24．（10分）为传承读书日的理念，鼓励学生们多读书好读书读好书某校计划在今年读书日来临之际购买A、B两类图书共100本其中A类图书每本20元，B类图书每本30元，设购买A类图书的数量为x（本），购买A、B两类图书的总费用为y（元）．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若购买A类图书的本数不超过B类图书的本数且购买A类图书不少于25本，请设计出一种购买两类图书总费用最少的方案，并求出该方案所需的费用．
25．（12分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，AD平分∠CAB，交BC于点E，连结BD．
（1）求证：△BED∽△ABD．
（2）当tan∠ABC＝，且AB＝10时，求线段BD的长．
（3）点G为线段AE上一点，且BG平分∠ABC，若GE＝，BG＝3，求CE的长．
26．（12分）已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．
（1）求此二次函数解析式；
（2）连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形；
（3）在x轴是否存在一点P，使得△POD为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1． 解：4的相反数是﹣4．
故选：C．
2． 解：59580000用科学记数法可表示为：5.958×107，
故选：C．
3． 解：A、原式＝2，故A不符合题意．
B、原式＝a4b6，故B符合题意．
C、原式＝a2﹣2a+1，故C不符合题意．
D、3与不是同类二次根式，故D不符合题意．
故选：B．
4． 解：
∵a∥b，
∴∠3＝∠1＝45°，
∵∠3＝∠4+∠5＝∠4+30°＝45°，
∴∠4＝45°﹣30°＝15°，
∴∠2＝∠4＝15°，
故选：A．
5． 解：张山的成绩排序如下：194，196，196，196，197，199，
位于中间位置的数为196和196，
∴中位数为＝196，
数据196出现了3次，最多，
所以众数为196，
故选：D．
6． 解：A．从正面看：，从左面看：，从上面看：，故此选项不符合题意；
B．从正面看：，从左面看：，从上面看：，故此选项不符合题意；
C．从正面看：，从左面看：，从上面看：，故此选项符合题意；
D．从正面看：，从左面看：，从上面看：，故此选项不符合题意．
故选：C．
7． 解：∵不等式组，
∴解得，
∴不等式组的解集为：﹣1＜x≤1，
在数轴上表示如下：
．
故选：B．
8． 解：设多边形边数为n，
由题意得，（n﹣2）•180°＝2×360°，
解得n＝6，
所以，这个多边形是六边形．
故选：A．
9． 解：连接OA、OB，
∵AB∥x轴，C（1，0），
∴S△AOB＝S△ABC，
∵S△AOD＝＝2，S△BOD＝×|﹣2|＝1，
∴S△AOB＝S△AOD+S△BOD＝2+1＝3，
∴S△ABC＝3，
故选：B．
10． 解：如图1，连接OA，OD，OF，
∵⊙O与△ABC的三边分别相切于点D，E，F，
∴OD⊥AB，OF⊥AC，∠FAO＝∠OAD，
∴∠ADO＝∠AFO＝90°，
∴∠AOD＝∠AOF，
∵AD＝6，BE＝7，CF＝8，
∴AD＝AF＝6，CF＝CE＝8，BD＝BE＝7，
∴AC＝6+8＝14，AB＝6+7＝13，BC＝7+8＝15，
∵∠DEF＝∠DOF，
∴∠DEF＝∠AOD，
如图2，过点B作BG⊥AC于G，
设AG＝x，则CG＝14﹣x，
由勾股定理得：132﹣x2＝152﹣（14﹣x）2，
∴x＝5，
∴AG＝5，
∴BG＝＝12，
∵S△ABC＝AC•BG＝×14×12＝84，
设⊙O的半径为r，
如图3，连接OA，OB，OC，OD，OF，
∴S△ABC＝S△AOB+S△AOC+S△BOC，
∴×13r+×14r+×15r＝84，
∴r＝4，
∴tan∠DEF＝tan∠AOD＝＝＝．
故选：A．
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
11． 解：∵＞1.4，
∴+1＞1.4+1，
∴+1＞2.4，
∴＞1.2，
∵＝1.2，
∴＞．
故答案为：＞．
12． 解：由题意可得：3x+1≥0，
解得x≥﹣，
∴实数x的取值范围为：x≥﹣．
故答案为：x≥﹣．
13． 解：原式＝4b（b2﹣4）
＝4b（b+2）（b﹣2）．
故答案为：4b（b+2）（b﹣2）．
14． 解：根据题意，一副54张牌的扑克牌中，是梅花的有13张梅花，
故从中任取一张牌刚好是梅花的概率是，
故答案为．
15． 解：∵点M（3，m）与点N（n，4）关于x轴对称，
∴n＝3，m＝﹣4，
∴m+n＝﹣4+3＝﹣1．
故答案为：﹣1．
16． 解：设另一个根为m，由根与系数之间的关系得：
m×2＝﹣，
∴m＝﹣，
故答案为：﹣．
17． 解：如图，连接AF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠D＝90°，AD∥BC，AB∥CD，
∵E、F分别是边AB、CD的中点，
∴AE＝EB，DF＝FC，
∴AE＝DF，BE＝CF，
∴四边形AEFD、四边形BCFE是平行四边形，
∵∠D＝∠C＝90°，
∴四边形AEFD、四边形BCFE都是矩形，
∴EF∥AD∥BC，∠AEF＝90°，
∴EF⊥AB，
∵AE＝EB，
∴FA＝FB，∠AFE＝∠EFB，
∵EF∥BC∥AD，
∴∠EFB＝∠FBC，∠DAF＝∠AFE，
∵∠PFB＝3∠FBC，
∴∠PFA＝∠PAF，
∴PA＝PF，
设PA＝PF＝x，
在Rt△PDF中，由勾股定理得：PF2＝PD2+DF2，
即x2＝（3﹣x）2+12，
解得：x＝，
即AP的长为，
故答案为：．
18． 解：∵2AB+AC＝2（AB+），
∴求2AB+AC的最大值就是求2（AB+）的最大值，
过C作CE⊥AB于E，延长EA到P，使得AP＝AE，
∵∠BAC＝60°，
∴EA＝，
∴AB+＝AB+AP，
∵EC＝，PE＝2AE，
由勾股定理得：PC＝，
∴sinP＝，
∴∠P为定值，
∵BC＝6是定值，
∴点P在△CBP的外接圆上，
∵AB+AP＝BP，
∴当BP为直径时，AB+AP最大，即BP'，
∴sinP'＝sinP＝，
解得BP'＝2，
∴AB+AP的最大值＝2，
∴2AB+AC的最大值＝4，
故答案为：4．
三．解答题（共8小题，满分78分）
19． 解：4cs30°+（1﹣）0﹣+（）﹣1
＝4×+1﹣2+3
＝2﹣2+4
＝4
20． 解：
＝•
＝•
＝，
∵x+3≠0，x﹣1≠0，
∴x≠﹣3，x≠1，
∴当x＝2时，原式＝＝2．
21． 解：（1）随机抽取的学生数为：48÷40%＝120（人），
用手机时间在3小时以上的人数为：120﹣2﹣16﹣18﹣32＝52（人），
补全条形统计图如下：
；
（2）（100%﹣40%﹣18%﹣7%）×360°＝126°，
故扇形统计图中表示“玩游戏”的扇形圆心角度数为126°；
（3）（人）．
答：每周使用手机时间在2小时以上的人数是1470人．
22． 证明：（1）连接BD，交AC于点O，如图：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∵BM∥DN，
∴∠MBO＝∠NDO，
又∠BOM＝∠DON，
∴△BOM≌△DON（ASA），
∴BM＝DN，
∴四边形BMDN为平行四边形，
∴BN∥DM，
∴∠DMN＝∠BNM；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，
∴∠BCA＝∠DAC，
∵∠BAC＝∠DAC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∴AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴MN⊥BD，
∴平行四边形BMDN是菱形．
23． 解：（1）设y甲＝k1x，
根据题意得4k1＝80，解得k1＝20，
∴y甲＝20x；
设y乙＝k2x+80，
根据题意得：12k2+80＝200，
解得k2＝10，
∴y乙＝10x+80；
（2）解方程组
解得：，
∴出入园8次时，两者花费一样，费用是160元；
（3）当y＝240时，y甲＝20x＝240，
∴x＝12；
当y＝240时，y乙＝10x+80＝240，
解得x＝16；
∵12＜16，
∴选择乙种更合算．
24． 解：（1）根据题意可得y＝20x+30（100﹣x）＝﹣10x+3000（0≤x≤100），
∴y与x之间的函数关系式为：y＝﹣10x+3000（0≤x≤100）；
（2）∵购买A类图书的本数不超过B类图书的本数，
∴x≤100﹣x，解得x≤50，
∵购买A类图书少于25本，
∴25≤x≤50，
∵y＝﹣10x+3000（0≤x≤100），
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝50时，购买两类图书总费y最少，y最小＝﹣10×50+3000＝2500（元），
∴购买B类图书的数量为：100﹣x＝100﹣50＝50（本）．
答：（1）y与x之间的函数关系式为：y＝﹣10x+3000（0≤x≤100）；
（2）当购买A类图书50本，B类图书50本时，购买两类图书的总费用最少，最少总费用为2500元．
25． （1）证明：∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵∠CAD＝∠CBD，
∴∠BAD＝∠CBD，
∵∠D＝∠D，
∴△BED∽△ABD；
（2）解：∵AB为直径，
∴∠C＝90°，
∵tan∠ABC＝，
∴，
设AC＝3x，则BC＝4x，
∵AC2+BC2＝AB2＝102，
∴（3x）2+（4x）2＝100，
解得x＝2，
∴AC＝6，BC＝8，
过E点作EF⊥AB于点F，如图，
∵AD平分∠CAB，
∴EC＝EF，
∵AE＝AE，
∴△ACE≌△AFE（HL），
∴AC＝AF＝6，
∴BF＝AB﹣AF＝10﹣6＝4，
设EC＝EF＝y，则BE＝8﹣y，
∵EF2+BF2＝BE2，
∴y2+42＝（8﹣y）2，
解得y＝3，
∴EC＝EF＝3，BE＝8﹣3＝5，
∴AE＝，
∵∠C＝∠D＝90°，∠AEC＝∠BED，
∴△ACE∽△BDE，
∴，即，
∴BD＝2；
（3）解：∵AD平分∠CAB，BG平分∠ABC，
∴∠BGE＝∠BAG+∠ABG＝（∠BAC+∠ABC）＝45°，
∵∠D＝90°，
∴BD＝DG＝BG＝，
∴DE＝DG﹣GE＝，
∵△BED∽△ABD，
∴BD2＝DE•DA，
∴DA＝，
∴AE＝AD﹣DE＝4，
∵△ACE∽△BDE，
∴，即，
∴CE＝．
26． 解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C （0，3），
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）由y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4得，D点坐标为（1，4），
∵y＝﹣x2+2x+3与x轴交于另一点B，
∴令y＝0，﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴CD＝＝，
BC＝＝3，
BD＝＝2，
∵CD2+BC2＝（）2+（3）2＝20，BD2＝（2）2＝20，
∴CD2+BC2＝BD2，
∴△BCD是直角三角形；
（3）∵D点坐标为（1，4），点O（0，0），
∴OD＝＝，
如图，当OD＝OP＝时，则点P（，0）或（﹣，0）；
当DO＝PD时，过点D作DH⊥x轴，
∴OH＝OP＝1，DH＝4，
∴点P（2，0），
当OP＝DP时，
∵DP2＝DH2+HP2，
∴OP2＝16+（OP﹣1）2，
∴OP＝，
∴点P（，0），
综上所述：点P坐标为（，0）或（﹣，0）或（2，0）或（，0）．