2024届江苏省南通市如皋中学高三创新实验班夏令营数学试题含答案

这是一份2024届江苏省南通市如皋中学高三创新实验班夏令营数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2024届江苏省南通市如皋中学高三创新实验班夏令营数学试题 一、单选题1．已知集合，，则A． B． C． D．【答案】D【分析】通过解指数和对数不等式求得集合A,B，再利用补集的定义直接求解即可.【详解】，则故选D.【点睛】本题主要考查了指数与对数不等式的求解及集合补集的运算，属于基础题.2．已知复数，在复平面内对应的点分别为，，则的共轭复数为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据题意，，，再计算共轭复数得到答案.【详解】复数，在复平面内对应的点分别为，，故，，，故.故选：.【点睛】本题考查了复数的除法，共轭复数，复数对应的点，意在考查学生对于复数知识的综合应用.3．向量， 则在上的投影向量是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用投影向量的定义求解.【详解】解：因为向量，所以 在上的投影向量是,故选：C4．声音的等级（单位：Db）与声音强度x（单位：）满足．火箭发射时，声音的等级约为；一般噪音时，声音的等级约为，那么火箭发射时的声音强度约为一般噪音时声音强度的（    ）A．倍 B．倍 C．倍 D．倍【答案】C【分析】根据声音的等级（单位：Db）与声音强度x（单位：）满足．分别求得火箭发射时和一般噪音时的声音强度求解.【详解】解：因为火箭发射时，声音的等级约为，所以，解得；因为一般噪音时，声音的等级约为，所以，解得，；所以火箭发射时的声音强度约为一般噪音时声音强度的倍，故选：C5．已知为双曲线的左焦点，为其右支上一点，点，则周长的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】设双曲线的右焦点为，由双曲线方程可求出，b，c的值，利用双曲线的定义以及三点共线即可求出的周长的最小值．【详解】设双曲线的右焦点为，由双曲线的方程可得：，则，所以，且，所以，的周长为，当且仅当M，P，A三点共线时取等号，则周长的最小值为．故选：B．6．已知是上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，当直线与平行时，（    ）A． B． C． D．4【答案】C【分析】根据给定条件，利用圆的切线的性质，结合面积法求解作答.【详解】连接，由切圆于知，，因为直线与平行，则，，而圆半径为，于是，由四边形面积，得，所以.  故选：C7．正项等比数列的公比为，前项和为，则“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据给定条件，利用数列前项和的意义，正项等比数列的意义，结合充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】依题意，，而是公比为的正项等比数列，因此，所以“”是“”的充要条件.故选：C8．已知， ，则A． B． C． D．【答案】D【详解】由已知可得  ，故选D. 二、多选题9．下列统计量中，能度量样本的离散程度的是（    ）A．样本的标准差 B．样本的中位数C．样本的极差 D．样本的平均数【答案】AC【分析】考查所给的选项哪些是考查数据的离散程度，哪些是考查数据的集中趋势即可确定正确选项.【详解】由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势；故选：AC.10．中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美，定义：圆O的圆心在原点，若函数的图像将圆O的周长和面积同时等分成两部分，则这个函数称为圆O的一个“太极函数”，则（    ）A．对于圆O，其“太极函数”有1个B．函数是圆O的一个“太极函数”C．函数不是圆O的“太极函数”D．函数是圆O的一个“太极函数”【答案】BD【分析】根据题意，只需判断所给函数的奇偶性即可得答案.【详解】解：对于A选项，圆O，其“太极函数”不止1个，故错误；对于B选项，由于函数，当时，，当时，，故为奇函数，故根据对称性可知函数为圆O的一个“太极函数”，故正确；对于C选项，函数定义域为，，也是奇函数，故为圆O的一个“太极函数”，故错误；对于D选项， 函数定义域为，，故为奇函数，故函数是圆O的一个“太极函数”，故正确.故选：BD11．定义在上的函数满足，当时，，则满足（    ）A． B．是奇函数C．在上有最大值 D．的解集为【答案】ABD【分析】利用赋值法可判断A选项的正误；利用函数奇偶性的定义可判断B选项的正误；利用函数单调性的定义可判断C选项的正误；利用函数的单调性解不等式，可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，令，可得，解得，A对；对于B选项，函数的定义域为，令，可得，则，故函数是奇函数，B对；对于C选项，任取、且，则，即，所以，所以，函数为上的减函数，所以，在上有最大值，C错；对于D选项，由于为上的减函数，由，可得，解得，D对.故选：ABD.12．已知异面直线与直线所成角为，平面与平面的夹角为，直线与平面所成的角为，点为平面外一定点，则下列结论正确的是（    ）A．过点且与直线所成角均为的直线有3条B．过点且与平面所成角都是的直线有4条C．过点作与平面成角的直线，可以作无数条D．过点作与平面成角，且与直线成的直线，可以作3条【答案】BC【分析】利用异面直线所成角的定义判断A；利用线面角的意义判断B；利用圆锥母线与底面所成角的意义判断BD作答.【详解】因为异面直线与直线所成角为，显然过点分别与直线平行的直线的夹角为，在直线确定的平面内过点与都成角的直线只有1条，所以过点与直线所成角均为的直线只有1条，A错误；因为平面与平面的夹角为，则过点与平面所成角都是和的直线各有一条，若过点与平面所成角都是，则在直线的两侧各有一条，在直线的两侧各有一条，因此共条，B正确；以为顶点，母线与底面成角的圆锥底面所在平面为，满足点在外，且过点的直线与平面成角，如图，圆锥每条母线与平面都成角，因此可以作无数条，C正确；    过点作，交平面于点，过点及圆锥底面圆心的直线与圆锥底面圆交于点，显然，设为圆锥底面圆周上任意一点，于是，因此圆锥母线中与直线成的直线有2条，即与直线成的直线有2条，D错误.故选：BC【点睛】方法点睛：该题考查立体几何综合应用，属于难题，关于角度的方法有：（1）异面直线所成角：平移异面直线至有交点，则异面直线所成角即为平移后相交直线所成角；（2）线面角：过线上一点做面的垂线，连接垂足及线与面的交点形成线段，则线与该线段所成角即为线面角；（3）面面角：过面面交线上一点在两个面中分别做交线的垂线，则两垂线的夹角即为面面角. 三、填空题13．将6个相同的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中，，恰有1个空盒子，则放法有           种.【答案】40【分析】放置方法：6个球放入3个盒子，按球的个数分成三种情况：（1，2，3），（2，2，2），（1，1，3），第一步选空盒子，然后把放入三个盒子．【详解】第一步选空盒子，第二步6个球放入3个盒子，按球的个数分成三种情况：（1，2，3），（2，2，2），（1，1，3）进行放置，方法数为：．故答案为：40．14．已知棱台的上、下底面面积分别为4，16，高为3，则棱台的体积为        .【答案】28【解析】直接利用棱台的体积公式，求出棱台的体积．【详解】故答案为：28．【点睛】本题考查棱台的体积，考查计算能力，是基础题．15．已知函数在上的值域为，则的取值范围为         .【答案】【分析】根据给定条件，化简函数，再利用正弦函数性质结合已知值域，列式求解作答.【详解】依题意，，由，得，函数在上单调递增，函数值集合为，在上单调递减，函数值集合为，因为函数在上的值域为，则有，解得，所以的取值范围为.故答案为：16．已知椭圆的左焦点为F，过点F且倾斜角为45°的直线l与椭圆交于A，B两点（点B在x轴上方），且，则椭圆的离心率为           .【答案】【分析】利用椭圆焦点坐标，求解直线方程，利用且转化求解椭圆的离心率即可．【详解】解：设，由题意知，的斜率为，则直线方程为，设，联立直线和椭圆的方程得 ，整理得，则，，且，可得 ，则， ，所以，可得，所以故答案为：．  【点睛】关键点睛:本题的关键是由向量的关系得两点的纵坐标的关系，结合韦达定理进行求解． 四、解答题17．已知函数（1）求的极值；（2）若，求的值，并证明：【答案】（1）当时，无极值；当时，的极小值为，无极大值；（2）1，证明见解析.【分析】(1)先求导函数,再对参数进行分类讨论,即可求出极值.(2)由(1)得,,即故要证只要证构造函数，求导即可求解.【详解】解：（1）①当时，，在上单调递增.在上无极值.②当时，令得；令得.在上单调递减，在上单调递增.的极小值为，无极大值.综上，当时，无极值；当时，的极小值为，无极大值. （2）由（1）可知，①当时，在上单调递增，而，当时，，即不恒成立.②当时，在上单调递减，在上单调递增.令，则当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减.设，下面证明当时，，即只要证令，则当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增.式成立，即成立.18．的内角，，的对边分别为，，，且．（1）求角；（2）求的最小值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据，利用正弦定理得到，再利用余弦定理求解； （2）根据，利用三角恒等变换，将问题转化为，利用正弦函数的性质求解.【详解】（1）因为，由正弦定理得，即，由余弦定理得，因为，所以．（2）因为，所以，因为，所以，则，所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为．19．如图，在正四棱柱中，，M是棱上任意一点．(1)求证：；(2)若M是棱的中点，求异面直线AM与BC所成角的余弦值．【答案】(1)证明过程见解析(2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线线垂直；（2）在第一问的基础上，利用空间向量求解异面直角的夹角余弦值.【详解】（1）证明：以A为原点，AB，AD，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，因为，所以，，，，所以；（2）M是棱的中点，故，则，设异面直线AM与BC所成角的大小为，则，故异面直线AM与BC所成角的余弦值为.20．已知数列中，，.(1)求的值，并猜想数列的通项公式；(2)证明数列是等差数列.【答案】(1)，；(2)证明见解析. 【分析】（1）根据给定的递推公式，分别令，即可求解的值，猜想得出数列的通项公式.（2）将给定的递推公式两边取倒数，再利用等差数列的定义推理作答.【详解】（1）在数列中，，，令，得；令，得；令，得；所以，猜想数列的通项公式为.（2）由，，得，，即，所以数列是以为首项，为公差的是等差数列.21．现代排球赛为5局3胜制，每局25分，决胜局15分. 前4局比赛中，一队只有赢得至少25分，并领先对方2分时，才胜1局. 在第5局比赛中先获得15分并领先对方2分的一方获胜. 在一个回合中，赢的球队获得1分，输的球队不得分，且下一回合的发球权属于获胜方. 经过统计，甲、乙两支球队在每一个回合中输赢的情况如下：当甲队拥有发球权时，甲队获胜的概率为；当乙队拥有发球权时，甲队获胜的概率为.(1)假设在第1局比赛开始之初，甲队拥有发球权，求甲队在前3个回合中恰好获得2分的概率；(2)当两支球队比拼到第5局时，两支球队至少要进行15个回合，设甲队在第个回合拥有发球权的概率为. 假设在第5局由乙队先开球，求在第15个回合中甲队开球的概率，并判断在此回合中甲、乙两队开球的概率的大小.【答案】(1)(2)，甲队开球的概率大于乙队开球的概率． 【分析】（1）甲队在前3个回合中恰好获得2分，分为3种情况，依次求出对应的概率，即可求解；（2）根据已知条件，结合等比数列的性质，以及全概率公式，即可求解．【详解】（1）在前3个回合中甲队恰好获得2分对应的胜负情况如下：胜胜负，胜负胜，负胜胜，共3种情况，对应的概率分别为，，，所以甲队在前3个回合中恰好获得2分的概率；（2）根据全概率公式得，即，易知，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，故，因为，所以，而在每一个回合中，甲、乙两队开球的概率之和为1，从而可得在此回合中甲队开球的概率大于乙队开球的概率．【点睛】方法点睛：甲队在第i个回合拥有发球权的概率为，由全概率公式得，问题转化为数列的递推公式，通过构造等比数列，求出通项.22．已知双曲线：的虚轴长为4，直线为双曲线的一条渐近线.（1）求双曲线的标准方程；（2）记双曲线的左､右顶点分别为，，斜率为正的直线过点，交双曲线于点，(点在第一象限)，直线交轴于点，直线交轴于点，记面积为，面积为，求证：为定值.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）根据渐近线方程以及虚轴长度可知，然后可知方程（2）假设直线方程，并与双曲线方程联立，可得关于的二次方程，紧接着使用韦达定理，分别求得坐标并表示出，简单计算即可.【详解】解：（1）由题意可得，因为一条渐近线方程为，所以，解得，则双曲线的方程为；（2）证明：可得，，设直线：，，，联立，整理可得，可得，，即有，设直线：，可得，设直线：，可得，又，，所以.【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线的一般方法（1）假设直线方程；（2）联立方程：（3）使用韦达定理；（4）根据条件计算.