2024届江苏省常州市华罗庚中学高三夏令营学习能力测试数学试题含答案

这是一份2024届江苏省常州市华罗庚中学高三夏令营学习能力测试数学试题含答案，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2024届江苏省常州市华罗庚中学高三夏令营学习能力测试数学试题 一、单选题1．下面是关于复数的四个命题，其中的真命题为（    ）A． B． C．的共轭复数为 D．的虚部为【答案】C【分析】根据复数的概念和运算逐一判断即可．【详解】，故A错误；，故B错误；的共轭复数为，故C正确；的虚部为，故D错误．故选：C．2．已知全集为，集合，，则的真子集个数为（    ）A．3 B．4 C．7 D．8【答案】C【解析】先利用分式不等式求解集合，再利用集合的补集和交集运算求解，最后求解集合的真子集个数即可.【详解】由，解得： ，即，或，，则的元素个数为3个.所以真子集个数为7.故选：C.3．函数f（x）＝·2x的图象大致形状是（    ）A．   B．  C．   D．  【答案】B【分析】利用函数的单调性、值域排除选项可得到结果．【详解】由函数，可得函数在上单调递增，且此时函数值大于1；在上单调递减，且此时函数值大于－1且小于零，结合所给的选项，只有B项满足条件，故选：B．4．如图，在平面四边形中，为等边三角形，当点在对角线上运动时，的最小值为（    ）  A． B．-1C． D．2【答案】A【分析】利用向量加法运算及数量积定义得，然后利用二次函数求解最值即可，【详解】由题意，，，，所以，所以，即平分，由可得，所以当时，有最小值为.故选：A5．使得“函数在区间上单调递减”成立的一个充分不必要条件可以是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出使得函数在区间上单调递减时的范围，结合充分性、必要性的定义即可得出答案.【详解】由函数在区间上单调递减，得在区间上单调递减，所以，解得.结合A，B，C，D四个选项，知使得“函数在区间上单调递减”成立的一个充分不必要条件可以是.故选：C.6．中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造.如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成8个区域，每个区域分别印有数字1，2，3，..，8，现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域（如区域1与区域5）所涂颜色相同.若有7种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（    ）  A．1050种 B．1260种 C．1302种 D．1512种【答案】C【分析】由题意可得，只需确定区域的颜色，先涂区域1，再涂区域2，再分区域3与区域1涂的颜色不同、区域3与区域1涂的颜色相同，最后根据分步乘法原理即可求解.【详解】由题意可得，只需确定区域的颜色，即可确定整个伞面的涂色.先涂区域1，有7种选择；再涂区域2，有6种选择.当区域3与区域1涂的颜色不同时，区域3有5种选择，剩下的区域4有5种选择.当区域3与区域1涂的颜色相同时，剩下的区域4有6种选择.故不同的涂色方案有种.故选：C7．甲、乙、丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，下列说法正确的是（    ）A．2次传球后球在丙手上的概率是 B．3次传球后球在乙手上的概率是C．3次传球后球在甲手上的概率是 D．n次传球后球在甲手上的概率是【答案】C【分析】列举出经2次、3次传球后的所有可能，再利用古典概率公式计算作答可判断ABC，n次传球后球在甲手上的事件即为，则有，利用全概率公式可得，再构造等比数列求解即可判断D.【详解】第一次甲将球传出后，2次传球后的所有结果为：甲乙甲，甲乙丙，甲丙甲，甲丙乙，共4个结果，它们等可能，2次传球后球在丙手中的事件有：甲乙丙， 1个结果，所以概率是，故A错误；第一次甲将球传出后，3次传球后的所有结果为：甲乙甲乙，甲乙甲丙，甲乙丙甲，甲乙丙乙，甲丙甲乙，甲丙甲丙，甲丙乙甲，甲丙乙丙，共8个结果，它们等可能，3次传球后球在乙手中的事件有：甲乙甲乙，甲乙丙乙，甲丙甲乙，3个结果，所以概率为，故B错误；3次传球后球在甲手上的事件为：甲乙丙甲，甲丙乙甲，2个结果，所以概率为，故C正确；次传球后球在甲手上的事件记为，则有，令，则，于是得，故，则，而第一次由甲传球后，球不可能在甲手中，即，则有，数列是以为首项，为公比的等比数列，所以即，故D错误.故选：C8．函数在区间上既有最大值又有最小值，则实数a的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】转化条件为，结合二次函数的图象与性质，作出分段函数的图象，数形结合结合可得，即可得解.【详解】由题意，函数，函数的图象开口朝下，对称轴为，函数的图象开口朝上，对称轴为，当时，，函数在R上单调递增，不合题意；当时，作出函数图象，如图，易得函数在区间上无最值；当，作出函数图象，如图，若要使函数在区间上既有最大值又有最小值，则即，解得；综上，实数a的取值范围是.故选：D.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用二次函数的性质作出分段函数的图象，结合图象数形结合即可得解. 二、多选题9．下列命题中正确的是（    ）A．数据的第25百分位数是2B．若事件的概率满足且，则相互独立C．已知，则D．已知随机变量，若，则【答案】BCD【分析】对于A，根据百分位数的定义计算判断即可，对于B，由对事件的性质和独立事件的定义分析判断，对于C，由正态分布的性质分析判断，对于D，由二项分布的性质可得，从而可求出，然后解方程求解即可.【详解】对于A，因为，所以第25百分位数为，所以A错误，对于B，因为，所以，所以，所以，所以相互独立，所以B正确，对于C，因为，所以，所以，所以C正确，对于D，因为，所以，所以，所以D正确，故选：BCD10．若实数m，n>0，满足．以下选项中正确的有（    ）A．mn的最大值为 B．的最小值为C．的最小值为5 D．的最小值为【答案】AD【分析】根据来验证A项展开基本不等式求解B项.把用来表示得验证C项.证明，然后验证D【详解】根据基本不等式当且仅当时有最大值，所以A正确. 当且仅当时有最小值为，所以B不正确.令则又因为当且仅当时取得最小值，所以的最小值为，所以C不正确.又根据基本不等式当且仅当时取得等号，所以即当且仅当时取得等号.所以的最小值为.故D正确.故选：AD11．已知函数，的定义域均为，为偶函数，，且当时，，则（    ）A．为偶函数B．的图象关于点对称C．D．8是函数的一个周期【答案】ABD【分析】根据给定等式推理可得，结合为偶函数，再逐项判断作答.【详解】依题意，，，即有，两式相加整理得，因此的图象关于点对称，B正确；由为偶函数，得，于是，有，因此函数的周期为4，8是函数的一个周期，D正确；由，得，而，因此，为偶函数，A正确；由当时，，得，而，，，即有，，C错误.故选：ABD【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，，(1)存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称.(2)存在常数a使得，则函数图象关于直线对称.12．在棱长为2的正方体中，为棱上的动点（含端点），则下列说法正确的是（    ）A．存在点，使得平面B．对于任意点，都有平面平面C．异面直线与所成角的余弦值的取值范围是D．若平面，则平面截该正方体的截面图形的周长最大值为【答案】AB【分析】利用线面平行的判定判断A；利用面面垂直的判定判断B；求出异面直线夹角的余弦范围判断C；举例说明判断D作答.【详解】在棱长为2的正方体中，为棱上的动点（含端点），对于A，当点与重合时，由，得，有，而平面，平面，因此平面，即平面，A正确；对于B，由平面，平面，得，又，平面，则平面，而平面，因此平面平面，B正确；对于C，由平面，平面，得，因为，显然是锐角，则是异面直线与所成的角，而，，C错误；对于D，当点与重合时，与选项B同理得平面，当平面为平面时，平面截正方体所得截面图形为矩形，其周长为，D错误.故选：AB 三、填空题13．设，则值域是       【答案】【分析】根据换元法可先求出的表达式，然后借助二次函数，对数函数，复合函数的性质进行求解.【详解】设，则，于是.设，根据二次函数性质，时，关于单调递减；根据对数函数性质，在定义域上递增.于是由复合函数单调性的性质，在上单调递减，而，于是值域是：.故答案为：14．已知多项式，则             .【答案】【分析】由赋值法即可求解.【详解】令，则，令，则，两式相加，可得令，则，所以.故答案为：15．北京时间2023年2月10日0时16分，经过约7小时的出舱活动，神舟十五号航天员费俊龙､邓清明､张陆密切协同，圆满完成出舱活动全部既定任务，出舱活动取得圆满成功.载人飞船进入太空需要搭载运载火箭，火箭在发射时会产生巨大的噪声，已知声音的声强级（单位：）与声强（单位：）满足关系式：.若某人交谈时的声强级约为，且火箭发射时的声强与此人交谈时的声强的比值约为，则火箭发射时的声强级约为         .【答案】【分析】根据给定条件，利用指数与对数的互化关系，再求出函数值作答.【详解】设人交谈时的声强为，则火箭发射时的声强为，且，解得，则火箭发射时的声强约为，因此，所以火箭发射时的声强级约为.故答案为：13816．在三棱锥中，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为        ．【答案】/【分析】取的中点，由题意知和都是等边三角形，从而可得，得是二面角的平面角，即，设球心为，和的中心分别为，则平面，平面，从而可求出外接球的半径，进而可求得球的表面积.【详解】取的中点，连接，因为，所以和都是等边三角形，所以，所以是二面角的平面角，即，设球心为，和的中心分别为，则平面，平面，因为，公共边，所以≌，所以，因为，所以，所以，所以三棱锥的外接球的表面积为故答案为：  【点睛】关键点点睛：此题考查三棱锥外接球问题，解题的关键是根据题意找出三棱锥外接球的球心的位置，从而可求出球的半径，考查空间想象能力，属于较难题. 四、解答题17．已知集合.(1)当时，求实数的值；(2)若时，求实数的取值范围.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由解方程求出的值，再检验即可；（2）由得出，结合子集的定义得出可能为，，，，分别讨论这四种情况，得出实数的取值范围．【详解】（1），∵，∴，即，解得或.当时，，符合题意；当时，，，不合题意，综上，．（2）∵，∴，即可能为，，，.当时，，即，解得或，当集合中只有一个元素时，，解得或，当时，，符合题意；当时，，不符合题意；当时，由根与系数的关系可知，又，解得，∴所求实数的取值范围是．18．如图，正方形ABCD中，点E，F分别为AB，BC的中点．将，，分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重合于点P．  (1)求证：平面PEF；(2)若，且K为PD的中点，求三棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即可得证；（2）由题意求得，由（1）知PD⊥平面PEF，求得，根据K为PD的中点，即可求解．【详解】（1）在正方形ABCD中，，，折叠后即有，，又因为，平面PEF，所以平面PEF；（2）由题意知，，故，由（1）知平面PEF，故；因为为PD的中点，所以三棱锥的体积．19．已知偶函数定义域为，当时，.(1)求函数的表达式；(2)用函数单调性的定义证明：函数在区间单调递增；(3)解不等式.【答案】(1)(2)证明见解析(3) 【分析】（1）设，则，即可求出，再根据为定义在上的偶函数，即可得到，从而求出，再写出的解析式即可；（2）利用定义法证明函数的单调性，按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的过程证明即可；（3）根据函数的奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可，需注意函数的定义域；【详解】（1）解：设，则，所以，因为为定义在上的偶函数，所以，所以，综上可得（2）证明：设任意的且，因为且，所以，，所以，所以，即在区间单调递增；（3）解：因为是定义在上的偶函数，且在上单调递增，所以函数在上单调递减，所以不等式等价于，解得，所以原不等式的解集为20．区教育局准备组织一次安全知识竞赛．某校为了选拔学生参赛，按性别采用分层抽样的方法抽取200名学生进行安全知识测试，记A＝“性别为男”，B＝“得分超过85分”，且，，．(1)完成下列2×2列联表，并根据小概率值α＝0.001的独立性检验，能否推断该校学生了解安全知识的程度与性别有关？性别了解安全知识的程度合计得分不超过85分的人数得分超过85的人数男   女   合计   (2)学校准备分别选取参与测试的男生和女生前两名学生代表学校参加区级别的竞赛，已知男生获奖的概率为，女生获奖的概率为，记该校获奖的人数为X，求X的分布列与数学期望．下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)表格见解析，了解安全知识的程度与性别有关(2)分布列见解析， 【分析】（1）根据条件概率的有关公式计算出列联表中男女人数，再根据卡方公式计算；（2）根据超几何分布的思想计算分布列和数学期望.【详解】（1）由，超过85分的人数为（人），不超过85分的人数为（人），因为，，，，所以，即，，，故200人中男性人数为（人），女性人数为（人），又，即不超过85分的人中，男性为（人），女性为（人），故在超过85分的人中，男性=（人），女性（人），列联表如下：性别了解安全知识的程度合计得分不超过85分的人数得分超过85的人数男20100120女305080合计50150200零假设为：该校学生了解安全知识的程度与性别没有关联．经计算得到根据小概率值α＝0.001的独立性检验，可以推断H0不成立，即认为了解安全知识的程度与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.001；（2）X可能取0，1，2，3，4． ； ； ；；所以X的分布列为X01234P所以．综上，在犯错误的概率不大于0.001的前提下认为了解安全知识的程度与性别有关，数学期望为.21．如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，且边长为，点在母线上，且.  (1)求证：直线平面；(2)求证：平面平面；(3)若点为线段上的动点．当直线与平面所成角的正弦值最大时，求此时点到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3) 【分析】（1）设交于点，连接，利用三角形相似证得，从而证得，进而证得直线平面；（2）通过平面，证得平面，所以平面平面；（3）建立空间直角坐标系，设，通过向量和平面的法向量建立直线与平面所成角的正弦值的关系式，并利用基本不等式，即可求最值.【详解】（1）如图，设交于点，连接，易知底面，，所以，又是底面圆的内接正三角形，由，可得，.又，，所以，即，又，所以，所以，即，又平面，直线平面，平面，所以直线平面..  （2）因为平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（3）易知，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，，，  设平面的法向量为，则，即，令，则，设，可得，设直线与平面所成的角为，则，即，令，则，当且仅当时，等号成立，所以当时，有最大值4，即当时，的最大值为1，此时点，所以，所以点到平面的距离，故当直线与平面所成角的正弦值最大时，点到平面的距离为.22．若函数满足在定义域内的某个集合上，对任意，都有是一个常数，则称在上具有性质.(1)设是上具有性质的奇函数，求的解析式；(2)设是在区间上具有性质的偶函数，若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2) 【分析】（1）设，即，利用奇函数的性质求解即可.（2）先通过偶函数性质求出，换元，把转化为在上恒成立问题，求出最值即可求解.【详解】（1）设，则，由题意为奇函数，所以，即，所以，解得，所以；（2）设，则，由题意为上的偶函数，所以，即，所以，解得，所以；则，即，即，设，因为，所以，又函数在上单调递减，在上单调递增，故，所以，即在上恒成立，函数在上单调递增，在上单调递减，则，故.【点睛】关键点点睛：函数恒成立问题往往分离参数，转化为求解新函数的最值问题，若函数形式比较复杂，往往采取换元法求解最值.