2023届河南省信阳市信阳高级中学高三下学期4月月考数学（文）试题含答案

2023届河南省信阳市信阳高级中学高三下学期4月月考数学（文）试题

一、单选题

1．已知复数，则复数z的虚部为（    ）

A．3 B．-3 C．3 D．-3

【答案】B

【分析】利用复数的除法运算求得复数z，然后由虚部的定义求解.

【详解】复数，故复数的虚部为：.

故选：B.

2．已知全集，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】分别求出集合、 、，再求交集可得答案.

【详解】因为，所以，

又因为，

所以.

故选：D.

3．执行如图所示的程序框图，若输入的值为2，则输出的值为（    ）

A．3 B．5 C．9 D．17

【答案】C

【分析】根据给定的程序框图，运行程序，依次计算即可作答.

【详解】运行程序，初始值，第一次：，判断成立，，

第二次：，判断成立，，

第三次：，判断不成立，退出循环体，所以输出的值为9.

故选：C

4．在正方体中，直线m、n分别在平面和内，且，则下列命题中正确的是（    ）

A．若m垂直于AB，则n垂直于AB

B．若m垂直于AB，则n不垂直于AB

C．若m不垂直于AB，则n垂直于AB

D．若m不垂直于AB，则n不垂直于AB

【答案】C

【分析】根据线面垂直的判定定理及直线位置关系来判定选项即可.

【详解】AB选项，若垂直于，由面面，面面，可得垂直于面，

即面内的所有直线均与垂直，而可能垂直于，也可能不垂直于，故A错误，B错误；

CD选项，若不垂直于，则为面内的两条相交直线，由题可知，，则垂直面，又面，所以垂直于AB，故C正确，D错误.

故选：C

5．已知一组正数，，的方差，则数据，，的平均数为（    ）

A．1 B．3 C．5 D．7

【答案】C

【分析】利用方差的计算公式求出的平均数，然后利用平均数的结论求解即可.

【详解】正数的方差，

又

，

所以，

所以，

所以数据的平均数为：

.

故选：C

6．使，的否定为假命题的一个充分不必要条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题意知命题的否定为假命题，则命题为真命题，求出真命题成立的情况下的取值范围，再由选项即可判断出充分不必要条件.

【详解】由题使，的否定为假命题，知，为真命题，又，当且仅当时等号成立.所以是为真命题的充要条件，是为真命题的既不充分也不必要条件，是为真命题的既不充分也不必要条件，是为真命题的充分不必要条件.

故选：D.

7．已知，，若的夹角为钝角，则的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据和不共线可构造不等式组求得结果.

【详解】夹角为钝角，且不共线，

即且，解得：且，

的取值范围为.

故选：B.

8．若，，则x，y，z的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】首先指对互化得，，再结合对数函数的性质判断的范围和大小，再结合对数函数的单调性比较x，y，z的大小关系.

【详解】，，，，

，，，，且，

即，，

根据函数的单调性可知，，即

.

故选：A

9．已知是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（    ）

A． B．3 C．6 D．

【答案】C

【分析】利用椭圆和双曲线的性质，用椭圆双曲线的焦距长轴长表示，再利用均值不等式得到答案．

【详解】设椭圆长轴，双曲线实轴，由题意可知：，

又，，

两式相减，可得：，，

． ，

，当且仅当时取等号，

的最小值为6，

故选：C．

【点睛】本题考查了椭圆双曲线的性质，用椭圆双曲线的焦距长轴长表示是解题的关键，意在考查学生的计算能力．

10．中国公民身份号码编排规定，女性公民的顺序码为偶数，男性为奇数，反映了性别与数字之间的联系；数字简谱以1，2，3，4，5，6，7代表音阶中的7个基本音阶，反映了音乐与数字之间的联系，同样我们可以对几何图形赋予新的含义，使几何图形与数字之间建立联系.如图1，我们规定1个正方形对应1个三角形和1个正方形，1个三角形对应1个正方形，在图2中，第1行有1个正方形和1个三角形，第2行有2个正方形和1个三角形，则在第9行中的正方形的个数为（    ）

A．53 B．55 C．57 D．59

【答案】B

【分析】根据题意将题中所给的信息转化为数列递推公式关系，，通过递推从而得出结果.

【详解】设为第n行中正方形的个数，为第n行中三角形的个数，由于每个正方形产生下一行的1个三角形和1个正方形，

每个三角形产生下一行的1个正方形，则有，，

整理得，且，，

则，，，，

，，.

故选：B.

11．记，设函数，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】分析可知函数的两个零点均为负数或两个零点都在内，根据二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.

【详解】设，，

则函数在上递增，且，且函数至多有两个零点，

当时，，

若函数在上有零点，则在上有零点，不妨设零点为，则，

此时，则，与题意矛盾，

故函数在上无零点.

二次函数图象的对称轴为直线，

若，当，解得时，设函数的两个零点为、，

则，则，，函数有两个负零点，符合题意；

若，且需符合题意时，函数在上有两个零点，所以，

解得，

综上，．

故选：B.

12．如图，E是正方形ABCD内一点，且满足，，在正方形ABCD内随机投一个点，则该点落在图中阴影部分的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】建立如下图所示的直角坐标系，由向量法得出，进而由几何概型概率公式得出答案.

【详解】建立如下图所示的直角坐标系

设，，则

因为，所以，解得，即

该点落在图中阴影部分的概率为

故选：B

二、填空题

13．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列是等和数列，且，公和为5，那么的值为     .

【答案】3

【分析】首先根据“等和数列”的定义找到数列的规律，即可得出答案.

【详解】根据“等和数列”的定义可知，数列的规律为

即奇数项为，偶数项为.

所以的值为.

故答案为：.

14．已知x，y满足约束条件，若的最大值为4，则      ．

【答案】2

【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定的最大值．

【详解】作出，满足约束条件对应的平面区域如图：（阴影部分）

则，

若取得最大值为4，即目标函数在轴的最大截距为4，目标函数经过时，取最大值，则，解得，

故答案为：2．

15．圆心在曲线上，且与直线相切的面积最小的圆的方程是       ．

【答案】

【详解】试题分析：设圆心坐标为，则，当且仅当时取等号，此时圆心坐标为，

故答案为．

【解析】求圆的方程．

16．如图，已知在四棱锥中，底面是菱形，且底面，分别是棱的中点，对于平面截四棱锥所得的截面多边形，有以下几个结论：

①截面的面积等于；

②截面是一个五边形且只与四棱锥四条侧棱中的三条相交；

③截面与底面所成锐二面角为；

④截面在底面的投影面积为.

其中，正确结论的序号是           .

【答案】②③④

【分析】取CD中点G，PA的四等分点I，依次连接E、F、G、H、I，则多边形EFGHI即为平面截四棱锥所得的截面多边形；

，结合垂直关系可证得为截面与底面所成锐二面角；

取AB、AD中点K、L，结合垂直关系证得多边形AKFGL为截面在底面的投影.

【详解】取CD中点G，PA的四等分点I，依次连接E、F、G、H、I，设，则M为CN中点，N为AC中点，故M为AC四等分点，故，

底面是菱形，，则为正三角形，，又，∴，.

底面，底面，∴，，∴，

∵分别是棱的中点，∴，且，.

综上可知，多边形EFGHI即为平面截四棱锥所得的截面多边形.

∵平面PAC，∴平面PAC，∵平面PAC，∴，∴，∴四边形EFGH为矩形，其面积为.

设，则M为CN中点，N为AC中点，∴，.

∵平面PAC，平面PAC，∴平面PAC，∵平面EFGH平面PAC，∴且，∴，

∴的边EH上的高，∴，∴截面的面积等于，①错；

由图可知，截面是一个五边形，只与四棱锥四条侧棱中的侧棱PA、PB、PD相交，②对；

截面，平面ABCD， ，则平面PAC，平面PAC，则，，∴为截面与底面所成锐二面角，则在中，，故截面与底面所成锐二面角为，③对；

取AB、AD中点K、L，则，则底面，底面，∴多边形AKFGL为截面在底面的投影，

且，则多边形AKFGL的面积为，④对.

故答案为：②③④

三、解答题

17．某市自2021年1月启动对“车不让人行为”处罚以来，斑马线前机动车抢行不文明行为得以根本改变，但作为交通重要参与者的行人，闯红灯通行却频有发生，带来了较大的交通安全隐患，同时也使机动车的通畅率降低．该市交警部门在某十字路口根据以往的检测数据，得到行人闯红灯的概率约为0.4，并从穿越该路口的行人中随机抽取了200人进行调查，对是否存在闯红灯情况得到如下列联表：

近期，为了整顿“行人闯红灯”这一项不文明及违法行为，交警部门在该十字路口对闯红灯行人试行经济处罚，并在试行经济处罚后从穿越该路口的行人中随机抽取了200人进行调查，得到下表：

将统计数据所得频率作为概率，完成下列问题．

(1)将列联表填写完整（不需写出填写过程），并根据表中数据分析，在未对闯红灯行人试行经济处罚前，是否有99.9%的把握认为闯红灯与年龄有关？

(2)当处罚金额为10元时，行人闯红灯的概率比不进行处罚降低多少？

(3)结合调查结果，谈谈如何治理行人闯红灯现象．

【答案】(1)表格见解析，有99.9%的把握认为闯红灯与年龄有关

(2)0.2

(3)答案见解析

【分析】（1）由已知数据完善列联表，计算后比较临界值可得结论；

（2）由概率公式计算概率．

（3）由（1）（2）的结论确定治理方案．

【详解】（1）

由表中数据，得．∵，∴有99.9%的把握认为闯红灯与年龄有关．

（2）未进行处罚前，行人闯红灯的概率约为0.4，当处罚金额为10元时，行人闯红灯的概率约为，故当处罚金额为10元时，行人闯红灯的概率比不进行处罚降低0.2．

（3）①根据调查数据显示，行人闯红灯与年龄有明显关系，可以针对30岁以上人群开展“道路安全”宣传教育；②由于试行经济处罚可以明显降低行人闯红灯的概率，则可以进行适当经济处罚来降低行人闯红灯的概率．

18．在中，，，分别为内角，，的对边，．

(1)求角的大小；

(2)若，，求的面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）使用正弦定理边化角，再将化为，化简求解即可.

（2）将代入，和联立，求出和，再进一步求解即可.

【详解】（1）由正弦定理和得：

，

∵，，

∴，

又∵，

∴,

又∵，

∴

∵，，

∴，∴

∵，∴，

∴.

（2）由第（1）问，，

∴

又∵，

∴，

∴，解得，

∵，，

∴，

∴为等边三角形，

∴的面积为.

19．如图，在四棱锥中，底面是梯形，，，，为等边三角形，为棱的中点．

(1)证明：直线平面；

(2)当的长为多少时，平面平面？请说明理由，并求出此时点到平面的距离．

【答案】(1)证明见解析

(2)当时，平面平面；理由见解析；点到平面的距离为：

【分析】（1）取线段的中点，连接、，证明四边形为平行四边形即可求解；（2）若，则平面平面，即可求解的长，根据题意得到到平面的距离等于点到平面的距离的一半，且，求出点到平面的距离即可求解.

【详解】（1）证明：如下图所示，取线段的中点，连接、，因为为棱的中点，

则为的中位线，所以，且，因为底面是梯形，

，，所以，且，所以，且，

所以四边形为平行四边形，所以，

因为平面，平面，所以平面．

（2）当时，平面平面．理由如下：

在中，因为，若，则，

所以，又因为，，平面，平面，

所以平面，又平面，所以平面平面．

因为为棱的中点，所以到平面的距离等于点到平面的距离的一半．

因为平面，，所以平面，所以．

所以，，

如下图所示，取中点，连接，为等边三角形，则，．

因为平面平面，平面平面，所以平面，

设点到平面的距离为，

由得，解得，

所以点到平面的距离为．

20．在平面直角坐标系中，动点到点的距离等于点到直线距离的倍，记动点的轨迹为曲线.

(1)求曲线的方程；

(2)已知直线：与曲线交于两点，问曲线上是否存在两点满足，若存在，请求出两点坐标，不存在，请说明理由.

【答案】(1)

(2)曲线上存在两点和

【分析】（1）设点，由题意由点到直线的距离得出等量关系，化简即可求得.

（2）联立直线方程与曲线方程，根据题意由可得点及点在圆上，求出定圆与定直线的交点即为，再求出两点之间的距离即可.

【详解】（1）设，动点到点的距离等于点到直线距离的倍，

所以，

化简得.

所以曲线的方程为.

（2）存在两点满足.

设

联立直线与双曲线方程，有，

由韦达定理，有，

，，

所以上式当时，上式恒成立，

即过定点，经检验两点恰在双曲线上，且不与重合，

故存在双曲线上两点满足.

21．已知函数，记在点处的切线为.

（1）当时，求在上的最小值；

（2）当时，求证：函数的图像（除切点外）均在切线的下方.

【答案】（1）（2）详见解析

【分析】（1）对函数g（x）求导，分和两种情况讨论函数单调性，从而得到函数的最值；（2）设出切线方程，构造函数 ，由题意只需证明h(x)<0恒成立，通过对h(x)求导判断单调性求最值即可得到证明.

【详解】解：（1）

①当时，，

∴

②当时，，在上，，在上单调递增，

∴

由①②知，∴

（2）设切线方程为

记 ，

，，，

∴在上单调递减，

，，在上单调递增，

，，在上单调递减，

∴，即，当且仅当时取“”.

故原命题成立

【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和求函数的最值问题，考查构造函数以及利用导数解决恒成立问题，考查了数学转化思想.

22．在平面直角坐标系中，动直线：与动直线：交点的轨迹为曲线．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）若曲线的极坐标方程为，求曲线与曲线的交点的极坐标．

【答案】（1）（且）；（2），．

【分析】（1）直线与的交点的轨迹为曲线，消参得到关于的坐标的关系式，再用，转化为极坐标方程；

（2）联立曲线与曲线的极坐标方程，解出，再解出 ，即可得到交点坐标.

【详解】解：（1）设直线与的交点，

所以和，

消去参数得的普通方程为，

把，代入上式得：

，

所以曲线的极坐标方程为（且）；

（2）将代入得：

即，

所以，则，

即曲线与交点的极坐标分别为，．

23．（1）设，求证：.

（2）求函数的最大值.

【答案】（1）证明见解析；（2）

【分析】（1）由绝对值三角不等式直接证明即可；

（2）可利用柯西不等式去求；也可求导，利用导数知识求最值.

【详解】（1）证明：

∵，

所以.

（2）法一：

，

当且仅当取等号，解得.

即时取得最大值.

法二：

由解得，

∴函数的定义域为.

，

令，解得.

当时，，此时函数单调递增；

当时，，此时函数单调递减.

因此函数在时取得最大值，.