2024届陕西省汉中市高三上学期第一次联考数学（理）试题含答案

2024届陕西省汉中市高三上学期第一次联考数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】解绝对值不等式化简，再根据交集的概念可求出结果.

【详解】由得，得，则，

所以.

故选：A

2．若，则z的虚部为（    ）

A． B． C．1 D．3

【答案】B

【分析】复数乘法运算化简，即可得虚部.

【详解】，虚部为.

故选：B

3．已知向量，满足，，则（    ）

A．9 B．3 C．6 D．

【答案】D

【分析】将条件式子两边平方，利用数量积的运算化简已知条件，从而求得.

【详解】，，即得，

又，同理可得，两式相减得，

即.

故选：D.

4．某汽车集团第一年全年生产新能源汽车1万辆，在后续的几年中，后一年新能源汽车的产量都近似为前一年的150%，那么第8年全年新能源汽车的产量约为（    ）

A．辆 B．辆

C．辆 D．辆

【答案】C

【分析】利用等比数列通项求第8年全年新能源汽车的产量.

【详解】由题意，年生产新能源汽车数量是首项为1，公比为的等比数列，

所以，第8年全年新能源汽车的产量约为万辆.

故选：C

5．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用指数及幂函数的单调性比较指数幂的大小.

【详解】由题设，，，

由为增函数，且，故；

由在上为增函数，且，故；

综上，.

故选：B

6．某实验室有6只小白鼠，其中有3只测量过某项指标.若从这6只小白鼠中随机取出4只，则恰好有2只测量过该指标的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】应用组合数及古典概率的求法求恰好有2只测量过该指标的概率.

【详解】由题意，恰好有2只测量过该指标的概率为.

故选：C

7．某机构对名网络购物者年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在内，其频率分布直方图如图所示，则这名购物者消费金额的平均数约为（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（    ）

A．（万元） B．（万元）

C．（万元） D．（万元）

【答案】B

【分析】根据分布列的性质求出，再由各组频率乘以各组区间的中点值后相加可求出平均数.

【详解】由，得，

这名购物者消费金额的平均数约为（万元）.

故选：B

8．设是定义在上的奇函数，且.若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据已知推得是周期为4的奇函数，应用周期性、奇函数性质求函数值.

【详解】由题设，，则，

所以，即，故是周期为4的奇函数，

所以.

故选：A

9．直线l经过椭圆的两个顶点，若椭圆中心到l的距离为其长轴长的，则该椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据椭圆的性质求得直线l为，利用点线距离公式列方程求离心率即可.

【详解】不妨设椭圆为且，，

由椭圆对称性，令过，则，即，

所以，则，即，故.

故选：D

10．在三棱锥中，，的边长均为6，P为AB的中点，则异面直线PC与BD所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】取中点，连接，，易得，要求与所成角的余弦，只要求出即可.

【详解】如图，取中点，连接，，

是中点，，，

则是PC与BD所成角的平面角（或补角），

在中，，，

由余弦定理，，

在中，，

，同理，，

在中，由余弦定理可得，，

异面直线与所成角的余弦为.

故选：C.

11．设数列满足，且，则数列的前9项和为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】应用累加法求的通项公式，再由裂项相消求数列的前9项和.

【详解】由题设，，

所以，

故.

故选：C

12．已知函数，若存在的极值点，满足，则a的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】求出导函数，利用，得到，，从而将问题转化为成立，从而得解．

【详解】由题意，函数，可得，，

因为是的极值点，所以，，

即，得，，即，，

所以可转化为：，

即，即，

要使原问题成立，只需存在，使成立即可，

又的最小值为0，所以即可，解得或，

所以a的取值范围为.

故选：C．

二、填空题

13．在的展开式中，的系数为         ．

【答案】

【分析】根据二项式定理求出通项，即可求出的系数.

【详解】的展开式中，含的项为：，

故的系数为.

故答案为：．

14．体积为27的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的体积为      .

【答案】

【分析】根据正方体的体积求出棱长和对角线长，再根据正方体的对角线是球的直径可得球的直径，再由球的体积公式可求出结果.

【详解】设正方体的棱长为，则，得，

则正方体的对角线长为，

又正方体的顶点都在同一球面上，则该球的直径为，半径为，

所以该球的体积为.

故答案为：

15．已知抛物线：的焦点为，曲线与交于点，轴，则      .

【答案】

【分析】根据抛物线方程得，根据轴得，，再代入抛物线方程可求出结果.

【详解】由得，，故，

因为轴，所以，，

又，所以，得，又，所以.

故答案为：.

16．已知函数，当取得最大值时，      .

【答案】

【分析】利用辅助角公式及正弦函数性质易得取得最大值有，进而求.

【详解】由且，

所以，此时，

所以，故.

故答案为：

三、解答题

17．在中，角的对边长分别为，且.

(1)求；

(2)若的面积为，，求的周长.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由正弦定理角化边得，再根据余弦定理可求出结果；

（2）根据三角形面积公式求出，由配方得，再将代入求出可得结果.

【详解】（1）因为，

所以由正弦定理得，

所以，

因为，所以.

（2）因为，所以，

由（1）知，，

所以，

所以，

所以，所以，

所以的周长为.

18．为加强学生对垃圾分类意义的认识，让学生养成良好的垃圾分类的习惯，某校团委组织了垃圾分类知识问卷调查.从该校随机抽取100名男生和100名女生参与该问卷调查，已知问卷调查合格的人中女生比男生多10人，且共有50人不合格.

(1)完成以下2×2列联表，并判断能否有90%的把握认为问卷调查是否合格与学生性别有关联；

(2)用频率近似概率，从该校随机抽取3名学生进行垃圾分类知识问卷调查，求这3名学生问卷调查合格的人数X的分布列和数学期望.

附：，其中.

【答案】(1)答案见详解

(2)答案见详解

【分析】（1）根据题意填写列联表，再通过公式计算，对照附表得出结论；

（2）求出被抽取学生进行垃圾分类知识问卷调查合格的概率，再根据独立重复试验的公式计算3名学生问卷调查合格的人数X取值的相应的概率，进而可得变量X分布列及期望.

【详解】（1）根据题意填写列联表如下：

由公式，.

，

没有的把握认为问卷调查是否合格与学生性别有关联；

（2）被抽取学生进行垃圾分类知识问卷调查合格的概率为：，

被抽取的3名学生问卷调查合格的人数X可能取值有：0，1，2，3，

则，

，

，

，

则X的分布列为：

则.

19．在直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为AC和的中点，.

(1)证明：.

(2)求二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由已知可得平面，则结合直棱柱的性质可得，从而可得∽，则得，再证得平面，得，从而由线面垂直的判定可得平面，进而可证得，

（2）以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可

【详解】（1）证明：因为侧面为正方形，所以，

因为，，平面，

所以平面，

因为平面，所以，所以，

所以在直三棱柱中，,

所以，

因为，侧面为正方形，

所以，，

因为E，F分别为AC和的中点，所以，

所以，所以，

因为，所以∽，所以，

因为，所以，

所以，所以，

因为，为的中点，所以,

因为平面，平面，所以，

因为，平面，所以平面，

因为平面，所以，

因为，平面，所以平面，

因为平面，所以，

（2）解：由（1）可知两两垂直，所以以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则

，

因为E，F分别为AC和的中点，所以，

所以，

因为平面，所以平面的一个法向量为，

设平面的法向量为，则

，令，则，

设二面角的平面角为，由图可知为锐角，则

，

所以二面角的余弦值为

20．已知函数.

(1)若直线与曲线相切，求a；

(2)若存在，使得成立，求a的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）若切点为，利用导数几何意义列方程求参数即可；

（2）问题化为，讨论、，利用导数研究最值即可求范围.

【详解】（1）由且，又直线与曲线相切，

若切点为，则，即，故.

（2）存在，使得成立，即即可，

由，

当时，显然存在，满足题设；

当，则上，递增，上，递减，

此时，只需，则，故，

综上，.

21．已知双曲线：的焦距为，且焦点到近线的距离为1.

(1)求双曲线的标准方程；

(2)若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于两点，为坐标原点，证明：的面积为定值.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据焦距和焦点到近线的距离，求出可得双曲线的标准方程；

（2）讨论直线的斜率是否存在，且当直线的斜率存在时，设出直线方程，与双曲线方程联立，根据，找到参数之间的关系，再利用弦长公式求得，利用点到直线的距离公式求出三角形的高，求得面积，即可证明.

【详解】（1）依题意得，，一条渐近线为，即，右焦点为，

所以，即，，所以，

所以，

所以双曲线的标准方程为.

（2）当直线的斜率不存在时，若动直线与双曲线恰有1个公共点，则直线经过双曲线的顶点，不妨设，又渐近线方程为，

将代入，得，将代入，得，

则，.

当直线的斜率存在，设直线，且，

联立，消去并整理得，

因为动直线与双曲线恰有1个公共点，

所以，得，

设动直线与的交点为，与的交点为，

联立，得，同理得，

则

因为原点到直线的距离，

所以，

又因为，所以，即，

故的面积为定值，且定值为.

【点睛】关键点点睛：利用，找到参数之间的关系，再利用弦长公式求得，利用点到直线的距离公式求出三角形的高，进而求出面积是解题关键.

22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求直线的普通方程和曲线的极坐标方程；

(2)直线与曲线交于两点，，求.

【答案】(1)直线的普通方程为，曲线的极坐标方程为

(2)

【分析】（1）消去参数，可得直线的普通方程；消去参数得曲线的普通方程，再将，代入可得曲线的极坐标方程；

（2）将直线的参数方程代入到曲线的普通方程，利用直线的参数方程中参数的几何意义可求出结果.

【详解】（1）由消去得，即直线的普通方程为.

由消去得，

将，代入得，

所以曲线的极坐标方程为.

（2）显然点在直线上，

将代入，整理得，

设点对应的参数分别为，

则，，

所以.

23．已知函数.

(1)解不等式；

(2)记的最小值为，若正数满足，求的最小值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）分类讨论去绝对值求解即可得解；

（2）分类讨论去绝对值求出，再根据基本不等式可求出的最小值.

【详解】（1）当时，，故；

当时，，故；

当时，不成立，

综上所述：不等式的解集为.

（2）当时，，

当时，，

当时，，

所以，，

因为，

所以，

当且仅当，又，即，时，取得等号.

所以的最小值为.