陕西省汉中市2024届高三上学期第一次校际联考理科数学试题

2024届高三第一次校际联考

数学（理科）试题

注意事项：

1. 本试题共4页，满分150分，时间120分钟.

2. 答卷前，务必将答题卡上密封线内的各项目填写清楚.

3. 回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

4. 考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收.

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. （    ）

A.  B.  C.  D.

2. （    ）

A.  B.  C.  D.

3. 已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ）

（第3题图）

A.  B.  C.  D.

4. 《九章算术》是我国数学史上堪与欧几里得《几何原本》相媲美的数学名著，其第五卷《商功》中有如下问题：“今有圆堡，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？”这里所说的圆堡就是圆柱体，其底面周长是4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是多少？若取3，估算该圆堡的体积为（1丈＝10尺）（    ）

A. 2324立方尺 B. 2112立方尺 C. 2012立方尺 D. 1998立方尺

5. 函数的图象大致为（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 若直线与圆交于A，B两点，且，则（    ）

A. －2 B. －1 C. 2 D. 1

7. 某部门调查了200名学生每周的课外活动时间（单位：h），制成了如图所示的频率分布直方图，其中课外活动时间的范围是，并分成，，，，五组.根据直方图，判断这200名学生中每周的课外活动时间不少于14h的人数是（    ）

（第7题图）

A. 56 B. 80 C. 144 D. 184

8. 若在区间上是减函数，则实数a的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

9. 2023年5月10日21时22分，搭载天舟六号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，天舟六号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道.已知火箭的最大速度v（单位：km/s）与燃料质量M（单位：kg）、火箭（除燃料外）的质量m（单位：kg）的函数关系为.若已知火箭的质量为3100kg，火箭的最大速度为11km/s，则火箭需要加注的燃料质量为（    ）（参考数值：，，结果精确到0.01t，）

A. 243.69t B. 244.69t C. 755.44t D. 890.23t

10. 设，，为不同的平面，m，n为不同的直线，则的一个充分条件是（    ）

A. ，  B. ，，

C. 内有无数条直线与平行 D. 内有不共线的三点到的距离相等

11. 已知定义在上的奇函数满足，则以下说法错误的是（    ）

A.   B. 的一个周期为2

C.   D.

12. 已知函数，若存在使不等式成立，则整数m的最小值为（    ）

A.  B. 1 C. 0 D. －1

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知双曲线C：的一条渐近线方程为，则曲线C的离心率为______.

14. 学校要从8名候选人中选4名同学组成学生会.已知恰有3名候选人来自甲班，假设每名候选人都有相同的机会被选中，则甲班恰有2名同学被选中的概率为______.

15. 已知等差数列的公差为2，前n项和为，若，，成等比数列，则______.

16. 已知P是所在平面内一点，，，，则的最大值是______.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.（本小题满分12分）

如图，在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，点D在边BC上，且.

（第17题图）

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求线段AD的长.

18.（本小题满分12分）

仓廪实，天下安.习近平总书记强调：“解决好十几亿人口的吃饭问题，始终是我们党治国理政的头等大事”“中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手上”.粮食安全是国家安全的重要基础.从某实验农场种植的甲、乙两种玉米苗中各随机抽取5株，分别测量它们的株高如下（单位：cm）：

甲：29，31，30，32，28；

乙：27，44，40，31，43.

请根据平均数和方差的相关知识，解答下列问题：

（Ⅰ）哪种玉米苗长得高？

（Ⅱ）哪种玉米苗长得齐？

19.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，平面PAB，点O为PB的中点.，.

（第19题图）

（Ⅰ）求证：直线平面ABCD；

（Ⅱ）求直线PB与平面OAC夹角的正弦值.

20.（本小题满分12分）

已知椭圆C：经过点，.

（Ⅰ）求椭圆C的方程及其离心率；

（Ⅱ）若P为椭圆C上第一象限的点，直线PA交y轴于点M，直线PB交x轴于点N，且有，求点P的坐标.

21.（本小题满分12分）

设函数.

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求函数的单调区间；

（Ⅲ）若函数在区间内单调递增，求k的取值范围.

（二）选考题：共10分.考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

22.（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

已知曲线C的极坐标方程为，A，B是曲线C上不同的两点，且，其中O为极点.

（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；

（Ⅱ）设点B的极坐标为，，求的值.

23.（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】

已知函数.

（Ⅰ）当时，求不等式的解集；

（Ⅱ）若不等式的解集为，求实数a的取值范围.

2024届高三第一次校际联考

数学（理科）试题参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. D   2. A   3. B   4. B   5. A   6. B   7. C   8. A   9. C   10. B   11. C   12. D

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.     14.     15. 72   16. －3

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17. 解：（Ⅰ）根据题意得：，……（3分）

∴.……（6分）

（Ⅱ）∵，∴，

在中，由正弦定理可得，.……（12分）

18. 解：（Ⅰ）∵，

，

∴.

∴乙种玉米苗长得高.……（6分）

（Ⅱ）∵，

，

∴，

∴甲种玉米苗长得齐.……（12分）

19. 解：（1）证明：∵，，

∴在中，，

∴，

又平面PAB，平面PAB，

∴，

又，AB、平面ABCD，

∴直线平面ABCD.……（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，，建立以A为原点的空间直角坐标系，如图所示，

则，，，，，，

∴，，，

设平面OAC的法向量为，

则，即，令，则，，

∴，

∴，

故直线PB与平面OAC夹角的正弦值为.……（12分）

20. 解：（1）依题知：，，∴.

∴椭圆C的方程为，离心率.……（6分）

（Ⅱ）如图：

设，第一象限有m，，①；

由得：，

又，，

因此②，

联立①②解得，故.……（12分）

21. 解：（Ⅰ），则，

∴曲线在点处的切线斜率为，

又，

∴曲线在点处的切线方程为，即.……（4分）

（Ⅱ），

当时，令得，

∴在上，，单调递减，

在上，，单调递增，

当时，令得，

∴在上，，单调递增，

在上，，单调递减，

综上，当时，在上单调递减，在上单调递增，

当时，在上单调递增，在上单调递减.……（8分）

（Ⅲ）由（Ⅱ）知当时，在上单调递减，在上单调递增，

若函数在区间内单调递增，则，即；

当时，在上单调递增，在上单调递减.

若函数在区间内单调递增，则，即，

综上所述，k的取值范围为.……（12分）

（二）选考题：共10分.考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

22.（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程为，

根据，得：，

∴曲线C的直角坐标方程为.……（5分）

（Ⅱ）∵，，，∴，

将A，B极坐标代入方程得：，

∴，得，

∴的值为.……（10分）

23.（10分）【选修4-5：不等式选讲】

解：（Ⅰ）时，，

当时，，即，此时，

当时，，得，∴，

当时，，无解，

综上，不等式的解集为.……（5分）

（Ⅱ），

即的最小值为，

要使的解集为，

需满足恒成立，即或，

得或，

∴实数a的取值范围是.……（10分）