2023届山东省临沂市临沭县临沭第一中学高三下学期4月月考数学试题含解析

2023届山东省临沂市临沭县临沭第一中学高三下学期4月月考数学试题

一、单选题

1．已知全集，集合则下图中阴影部分所表示的集合为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意，结合Venn图与集合间的基本运算，即可求解.

【详解】根据题意，易知图中阴影部分所表示.

故选：C.

2．若复数z满足，则复数z的虚部为（    ）

A．i B． C．1 D．

【答案】C

【分析】根据复数的除法法则得到，求出虚部.

【详解】由得，

故复数z的虚部为1

故选：C

3．的展开式中的系数为

A．10 B．20 C．40 D．80

【答案】C

【详解】分析：写出，然后可得结果

详解：由题可得

令,则

所以

故选C.

点睛：本题主要考查二项式定理，属于基础题．

4．已知某圆锥的底面半径为1，高为，则该圆锥的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求出圆锥的母线长，再根据圆锥的表面积公式即可得出答案.

【详解】解：因为圆锥的底面半径为1，高为，

所以圆锥的母线，

所以该圆锥的表面积.

故选：C.

5．已知函数，若，，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】画出图像，设，根据图像确定，再把写成关于t的函数，求函数的值域.

【详解】设，根据图像有两个交点，，

，即，则

在上单调递减，

当时，；当时，；

所以.

故选：B.

【点睛】关键点睛：本题考查利用函数零点求范围，解题的关键是利用已知条件将写成关于t的函数，再结合图像求出t的取值范围，即转化为求函数的值域问题，考查学生的转化能力与数形结合思想，属于基础题.

6．小明在设置银行卡的数字密码时，计划将自己出生日期的后6个数字进行某种排列得到密码．如果排列时要求两个9相邻，两个0也相邻，则小明可以设置多少个不同的密码（    ）

A．16 B．24 C．166 D．180

【答案】B

【分析】将两个0视为一个元素，将两个9也视为一个元素，共有4个元素进行全排列，即可得答案.

【详解】将两个0视为一个元素，将两个9也视为一个元素，所以共有（种）不同的结果，

故选：B．

7．设F是双曲线的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B，若，则双曲线C的离心率是（    ）

A． B．2 C． D．

【答案】C

【分析】设一渐近线的方程为，设，，由，求得点的坐标，再由，斜率之积等于，求出，代入进行运算．

【详解】解：由题意得右焦点，设一渐近线的方程为，

则另一渐近线的方程为，

设，，

，

，，，

，，

，，

，

由可得，斜率之积等于，即，

，．

故选：C．

【点睛】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求得点的坐标是解题的关键，属于中档题．

8．在三棱柱中，侧棱平面ABC，，，，，P为侧棱的中点，则四棱锥外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】连接，交于点O，连接OP．根据题意数量关系求得，得到，又在矩形中，，得到点为四棱锥外接球的球心，可得外接球的半径，进而得到表面积.

【详解】连接，交于点O，连接OP．因为平面ABC，

所以在矩形中，由P为的中点，知．

在中，，

所以．在中，，

所以，所以，又O为的中点，所以，

又在矩形中，，

所以点为四棱锥外接球的球心，所以外接球的半径，其表面积，

故选：B．

二、多选题

9．已知为定义在上的偶函数，则函数的解析式可以为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】利用奇函数和偶函数的定义进行判断.

【详解】因为是偶函数，所以，即，所以是奇函数.

对于A，定义域为，所以不满足题意；

对于B，定义域为，，符合题意；

对于C，定义域为，，不符合题意；

对于D，定义域为，，而，符合题意.

故选：BD.

10．为了解学生的身体状况，某校随机抽取了100名学生测量体重，经统计，这些学生的体重数据（单位：千克）全部介于45至70之间，将数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则（    ）

A．频率分布直方图中的值为0.04

B．这100名学生中体重不低于60千克的人数为20

C．这100名学生体重的众数约为52.5

D．据此可以估计该校学生体重的75%分位数约为61.25

【答案】ACD

【分析】利用频率之和为1可判断选项A，利用频率与频数的关系即可判断选项B，利用频率分布直方图中众数的计算方法求解众数，即可判断选项C，由百分位数的计算方法求解，即可判断选项D．

【详解】解：由，解得，故选项A正确；

体重不低于60千克的频率为，

所以这100名学生中体重不低于60千克的人数为人，故选项B错误；

100名学生体重的众数约为，故选项C正确；

因为体重不低于60千克的频率为0.3，而体重在，的频率为，

所以计该校学生体重的分位数约为，故选项D正确．

故选：ACD．

11．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图2，将筒车抽象为一个半径为R的图，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，当，盛水筒M位于点，经过t秒后运动到点，点P的纵坐标满足（，，），则下列叙述正确的是（    ）

A．筒车转动的角速度

B．当筒车旋转100秒时，盛水筒M对应的点P的纵坐标为

C．当筒车旋转100秒时，盛水筒M和初始点的水平距离为6

D．筒车在秒的旋转过程中，盛水筒M最高点到x轴的距离的最大值为6

【答案】ACD

【分析】根据题意可知周期为120秒，进而可求，根据可求解，进而得，根据三角函数的性质，即可结合选项逐一求解.

【详解】对于A,因为筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，所以，故A正确；

对于B,因为当时，盛水筒位于点，所以，

所以有，

因为，所以，

即，

所以，故B错误；

对于C,由B可知：盛水筒的纵坐标为，设它的横坐标为，

所以有，

因为筒车旋转100秒时，所以此时盛水筒在第三象限，

故，盛水筒和初始点的水平距离为,故C正确；

对于D,因为，，

所以筒车在，秒的旋转过程中，盛水筒最高点到轴的距离的最大值为6，故D正确．

故选：ACD

12．过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于，两点，点在抛物线准线上的射影分别为交准线于点M(O为坐标原点)，则下列说法正确的是（    ）

A． B．

C．直线轴 D．的最小值是

【答案】BCD

【分析】选项A设直线方程代入抛物线方程中化简写出韦达定理，

再利用向量数量积的坐标表示运算即可；选项C利用

三点共线找出关系式来说明即可；选项B利用数量积即可说明；

选项D设直线的倾斜角为，则表示出利用函数的

性质求出最值即可.

【详解】由题意可知，抛物线的焦点F的坐标为，

准线方程为，易知直线的斜率不为0，

设直线的方程为，

代入，得，

所以，

则，所以，

所以A不正确，

因为三点共线，

所以，所以，

又，所以

所以直线轴，所以C正确，

由题意可得的坐标分别为，

所以，

所以，所以B正确；

设直线的倾斜角为，则，

所以，

当且仅当轴时取等号，所以D正确，

故选：BCD.

三、填空题

13．已知，，且，记与的夹角为θ，则             ．

【答案】

【分析】根据向量数量积运算化简已知条件，由此求得.

【详解】依题意，，，

，

，由于，所以.

故答案为：

14．已知线段两端点的坐标分别为和，若直线恒过，且与线段有交点，则的斜率的取值范围是     ．

【答案】

【分析】根据已知条件及直线的斜率公式即可求解.

【详解】因为直线恒过,和，

所以，.

由题意可知，直线的斜率存在且的斜率，若直线与线段有交点，如图所示

由图象可知，或,即或，

所以的斜率的取值范围是为.

故答案为：.

15．已知函数（为自然对数的底数），若，则实数的取值范围是          ．

【答案】

【分析】分析函数的奇偶性与单调性，将所求不等式变形为，结合函数的单调性可得出关于实数的不等式，解之即可.

【详解】因为函数的定义域为，，

所以，函数为奇函数，

且，

当且仅当时，等号成立，且不恒为零，

所以，函数为上的减函数，

由可得，则，

即，解得.

故答案为：.

16．设圆的圆心为，直线过，且与圆交于，两点，若，则直线的方程为           .

【答案】或

【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，根据弦长求出圆心到直线的距离，再分斜率存在与不存在两种情况讨论，分别求出直线方程.

【详解】解：圆，即，

所以圆心为，半径，

又直线被圆截得的弦长，

圆心到直线的距离，

①当直线过且斜率不存在时，

的方程为，满足圆心到的距离为，

，满足题意；

②当直线过且斜率存在时，

设为，即，

圆心到直线的距离，

解得，直线方程为，

综合可得直线的方程为或，

故答案为：或．

四、解答题

17．中，角，，所对的边分别为，，，且.

(1)求角的大小；

(2)若，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由余弦定理可得，再由正弦定理将边化角，即可得到，从而求出，即可得解；

（2）用同角三角函数的基本关系求出，即可求出、，再根据两角差的正弦公式计算可得.

【详解】（1）由余弦定理，则，

又，所以，即，

由正弦定理可得，因为，

所以，则，又，所以.

（2）因为，，所以，

所以，，

所以.

18．已知数列的首项为1，前项和为，且满足.

(1)求的通项公式；

(2)求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用得，再根据累乘法可求出；

（2）根据错位相减法可求出结果.

【详解】（1）因为，，所以，

当时，，所以，

所以，所以，因为，所以，

所以，

所以当时，，

又时，也符合，

所以.

（2）由（1）知，，所以，

所以，

，

所以，

所以，

所以.

19．如图，在多面体中，是正方形，，，，为棱的中点.

(1)求证：平面平面；

(2)若平面，，求平面与平面夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）连交于，则为的中点，由线面平行的判定定理证明平面，平面，再用面面平行的判定定理证明平面平面；

（2）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量可求出结果.

【详解】（1）连交于，则为的中点，

因为为的中点，所以，

因为平面，平面，所以平面，

因为，，所以四边形是平行四边形，所以，

因为平面，平面，所以平面，

因为，平面，所以平面平面.

（2）因为平面，是正方形，所以两两垂直，

以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，

设，因为，则，，，，，，

则，，

因为，所以，得，

所以，，

设平面的一个法向量，

因为，，

所以，令，则，，则，

设平面的一个法向量，

因为，

所以，则，令，则，

.

所以平面与平面夹角的余弦值为.

20．为庆祝神舟十四号载人飞船返回舱成功着陆，某学校开展了航天知识竞赛活动，已知所有学生的成绩均位于区间，从中随机抽取1000名学生的竞赛成绩作为样本，绘制如图所示的频率分布直方图．

(1)若此次活动中获奖的学生占参赛总人数，试估计获奖分数线；

(2)采用比例分配分层随机抽样的方法，从成绩不低于80的学生中随机抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，记成绩在的人数为，求的分布列和数学期望．

【答案】(1)82

(2)分布列见解析，

【分析】（1）根据频率分布直方图先判断出获奖的分数线所在的区间，设为，则成绩在的概率为0.3，列出方程即可得解；

（2）先写出随机变量的所有可能取值，求出对应概率，从而可得分布列，再根据期望的计算公式计算期望即可.

【详解】（1）根据直方图可知，成绩在的频率为，大于0.3，

成绩的频率为0.1，小于0.2，

因此获奖的分数线应该介于之间，

设分数线为，使得成绩在的概率为0.3，

即，

可得，

所以获奖分数线划定为82；

（2）成绩在的人数有人，

成绩在的人数为人，

则的可能取值为0，1，2，

，

，

，

的分布列为

∴数学期望．

21．已知函数.

（1）若函数在处取极小值，求实数m的值；

（2）设，若对任意，不等式≥恒成立，求实数a的值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）先求解出，然后根据求解出的值，然后再分析取不同值时是否能满足在处取极小值，由此确定出的值；

（2）由题意可得不等式恒成立，然后构造函数，利用导数分析的单调性并确定出最小值，根据求解出的取值范围.

【详解】（1），

由题意得，即，

当时，，

此时在上递减，在上递增，所以符合要求；

当时，，

此时在上递增，在上递减，所以不符合要求.

综上，

（2）方法1：直接研究差函数的最小值，需借助隐零点

由得不等式恒成立，

令，求导得，

当，，所以在上单调递增，

因为，所以不符合题意；

当时，令，则在上递增，

又，且在上连续，

所以存在唯一，使得，

当时，，故递减；

当时，，故递增.

且，，

所以，

所以，即，

令，则，所以在上递减，在上递增，

又，所以

方法2：指数化､换元处理

由得，指数化得不等式恒成立，

令，则，不等式恒成立，

令，则，

当时，，所以不符合题意；

当时，在上单调递减，在上单调递增，

所以

所以，即，

令，则，所以在上递减，在上递增，

又，所以.

【点睛】思路点睛：导数问题中运用“隐零点”思想的一般求解步骤：

（1）先分析导函数的单调性，采用零点的存在性定理确定出的零点；

（2）分析在定义域上的取值正负，从而确定出的单调性，由此确定出的最值；

（3）由（2）中计算出的最值可通过继续化简，由此求得更简单的最值形式.

22．已知圆和定点，平面上一动点满足以线段为直径的圆内切于圆，动点的轨迹记为曲线.

（1）求曲线的方程；

（2）直线与曲线交于不同两点、，直线，分别交轴于，两点．求证：．

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】（1）由两圆内切的条件和椭圆的定义，可得所求轨迹方程；

（2）设，，，，联立直线的方程和椭圆方程，运用韦达定理，计算，可判断三角形的形状，即可得到证明．

【详解】解：（1）设以线段为直径的圆的圆心为，取．

依题意，圆内切于圆，设切点为，则，，三点共线，

因为为的中点，为中点，

所以

所以，

所以动点的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆，

设其方程为，

则，，

所以，，

所以，

所以动点的轨迹方程为;

（2）设，，（且）．

由，

得，

依题意，

即，

则，

因为

，

所以直线的倾斜角与直线的倾斜角互补，即．

因为，所以．

【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：

(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；

(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．