2023届山东省潍坊市四县高三下学期5月高考模拟数学试题含答案

潍坊市四县2023届高三下学期5月高考模拟

数学试题

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

3．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知i为虚数单位，（1＋i）z＝2，则z＝（    ）

A．﹣1＋i B．﹣1﹣i C．1＋i D．1﹣i

2．已知集合A＝{﹣1，0，1}，，则集合B中所有元素之和为（    ）

A．0 B．1 C．﹣1 D．

3．已知圆锥的底面半径为2，高为，则该圆锥内切球的表面积为（    ）

A．4π B．8π C．16π D．32π

4．函数在区间[﹣2，2]上的零点个数是（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

5．“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美，如图所示，这是一个“阿基米德多面体”花岗岩石凳，它是将正方体沿交于一个顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此截去八个三棱锥得到．已知此石凳的体积为，则此石凳的棱长（单位：cm）为（    ）

A．15 B． C．20 D．

6．数列1，3，2…中，，则（    ）

A．6 B．5 C．4 D．3

7．已知函数f（x），g（x）及其导函数，的定义域均为R，f（2x＋1）为奇函数，g（x﹣1）关于直线x＝1对称，则（    ）

A．f（g（﹣1））＝﹣f（g（1））  B．g（f（﹣1））＝﹣g（f（3））

C． D．

8．已知双曲线（）的左焦点为F，过F的直线交E的左支于点P，交E的渐近线于点M，N，且P，M恰为线段FN的三等分点，则双曲线E的离心率为（    ）

A．2 B． C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．统计学是源自对国家的资料进行分析，也就是“研究国家的科学”．一般认为其学理研究始于希腊的亚里士多德时代，迄今已有两千三百多年的历史．在两千多年的发展过程中，将社会经济现象量化的方法是近代统计学的重要特征．为此，统计学有了自己研究问题的参数，比如：均值、中位数、众数、标准差．一组数据：（）记其均值为m，中位数为k，方差为，则（    ）

A．

B．

C．新数据：的均值为m＋2

D．新数据：的方差为

10．已知点O为△ABC内的一点，D，E分别是BC，AC的中点，则（    ）

A．若O为AD中点，则

B．若O为AD中点，则

C．若O为△ABC的重心，则

D．若O为△ABC的外心，且BC＝4，则

11．已知点P是圆上一点，A（﹣1，0），B（1，0），则以下说法正确的是（    ）

A．若直线AB与圆C相切，则r＝4

B．若以A，B为直径的圆与圆C相切，则r＝4

C．若，则4≤r≤6

D．当r＝1时，的最小值为34

12．设函数其中ω>0，|φ|<π．若，，且相邻两个极值点之间的距离大于π，，设，则（    ）

A．  B．

C．g（x）在上单调递减 D．g（x）在上存在唯一极值点

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．某高中学校共有学生3600人，为了解某次数学文化知识竞赛的得分情况，采用分层抽样的方法从这3600名学生中抽取一个容量为48的样本，若从高一、高二、高三抽取的人数组成一个以4为公差的等差数列，则该学校高三年级的学生人数为______人．

14．若，则______．

15．已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，以线段AB为直径的圆交y轴于M，N两点，设线段AB的中点为P，O为坐标原点，则sin∠PMN的最小值为______．

16．已知四面体ABCD满足AB⊥BC，BC⊥CD，，且该四面体的体积为，则异面直线AD与BC所成的角的大小为______．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）

已知数列的前n项和为，，．

（1）求数列的通项公式；

（2）令，求数列的前n项和．

18．（12分）

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

（1）求A；

（2）若△ABC的面积为，点D在线段BC上，且，求AD的最小值．

19．（12分）

如图，线段是圆柱的母线，△ABC是圆柱下底面⊙O的内接正三角形，．

（1）劣弧上是否存在点D，使得平面？若存在，求出劣弧的长度；若不存在，请说明理由．

（2）求平面和平面所成角的正弦值．

20．（12分）

从某企业生产的产品中随机抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如下样本数据频率分布直方图．

（1）估计该企业这种产品质量指标值的平均数和方差；（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）

（2）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值X服从正态分布，其中μ近似为样本平均数，近似为样本方差，一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算，若，令，则Y~N（0，1），且．

（ⅰ）利用直方图得到的正态分布，求P（X<120）；

（ⅱ）若质量指标值在区间[85，135]内的为合格品，其余为不合格品，为了保证出厂产品质量，需要对产品进行检查，但直接检查带有破坏性，现在尝试一种新的检查方法，经试验知一件合格品经检查而获准出厂的概率是0.97，一件不合格品经检查而获准出厂的概率是0.04，求采用新的检查方法后，获准出厂的产品是合格品的概率为多少（精确到0.1%）？

参考数据：标准正态分布表

21．（12分）

已知椭圆（a>b>0）长轴长为4，C的短轴的两个顶点与左焦点构成等边三角形．

（1）求C的标准方程；

（2）直线l与椭圆相交于A、B两点，且|AB|＝2，点P满足PA⊥PB，O为坐标原点，求|OP|的最大值．

22．（12分）

已知函数（a>0）的图像在点处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直．

（1）求a，b满足的关系式；

（2）若在[1，＋∞）上恒成立，求a的取值范围；

（3）证明：

潍坊市四县2023届高三下学期5月高考模拟

数学试题参考答案与评分标准

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1—8  D C B A B C D D

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．CD  10．ABD  11．ACD  12．BC

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．1500  14．﹣45  15．  16．或

四、解答题：

17．解：（1）由于，，，

所以数列是首项为3，公差为1的等差数列，所以，，

当n≥2时，，

所以，也符合上式，所以

（2），

，

两式相减得，

所以．

18．解：（1）因为，由正弦定理得，

所以，

所以，又，

所以，所以；

（2）由（1），所以，

所以bc＝9．

点D在线段BC上，且，所以，

，所以．

当且仅当即，时等号成立．

所以AD的最小值为．

19．解：（1）如图过点O作AB的平行线OD交劣弧于点D，

连接，，因为，平面，平面，

则平面，同理可证平面，

，且平面，平面，所以平面平面，

又因为平面，所以平面

故存在点D满足题意．

因为△ABC为底面⊙O的内接正三角形，所以，即，

又因为AB＝3，所以⊙O的半径为，

所以劣弧的长度为；

（2）如图取BC的中点为M，连接MA，以MB为x轴，MA为y轴，过M作OO1平行线为z轴，建立空间直角坐标系，

又因为AA1＝AB＝3，设AB中点为N．

故M（0，0，0），，，，，，

易知平面的法向量．

设平面的法向量为，

又因为，，故即

令得

所以平面和平面夹角的余弦值为．

故平面和平面夹角的正弦值为．

20．解：（1）平均数

，

．

（2）（ⅰ），

（ⅱ）设A表示产品为合格品，B表示产品获准出厂，则：

，，，，

故获准出厂的产品是合格品的概率为：

21．解：由题意知，2a＝4，所以a＝2，

因为C的短轴两个顶点与左焦点构成等边三角形，所以，

所以b＝1，所以C的标准方程为；

（2）①当l的斜率不存在时，AB恰为短轴，此时|OP|＝1；

②当l的斜率存在时，设l：y＝kx＋m．联立

得到，

，得，

得，，

，得，

设M是弦AB的中点，则，

所以，

令，t≥1，，

所以，当且仅当时等号成立，

此时，此时

所以|OP|的最大值为．

22．解：（1），因为在点处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，

所以，即，所以b＝a﹣2

（2）因为b＝a﹣2，所以，

若，则，

设，．

，．

①当0<a<1时，，若，则，此时g（x）在上单调递减，

所以，即在不恒成立．

②当，，当x>1时，，g（x）在上单调递增，

又g（1）＝0，此时，综上所述，所求a的取值范围是

（3）由（2），当a≥1时，在上恒成立．

取a＝1，得即．令．

则．

因为，

而

．

所以．

又

．

所以，即，证毕．