中考数学一轮复习考点复习专题23 函数与几何综合【考点精讲】（含解析）

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专题23 函数与几何综合


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题型精讲


题型一：一次函数与几何结合
【例1】（2021·四川泸州市）一次函数y=kx+b（k≠0）的图像与反比例函数的图象相交于A(2，3)，B(6，n)两点
（1）求一次函数的解析式
（2）将直线AB沿y轴向下平移8个单位后得到直线l，l与两坐标轴分别相交于M，N，与反比例函数的图象相交于点P，Q，求的值
【答案】（1）一次函数y=，（2）．
【分析】
（1）利用点A(2，3)，求出反比例函数，求出 B(6，1)，利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）利用平移求出y=，联立，求出P(-6,-1),Q(-2,-3),在Rt△MON中，由勾股定理MN=,PQ=即可．
【详解】
解：（1）∵反比例函数的图象过A(2，3)，
∴m=6,
∴6n=6，
∴n=1，
∴B（6,1）
一次函数y=kx+b（k≠0）的图像与反比例函数的图象相交于A(2，3)，B(6，1)两点，
∴，
解得，
一次函数y=，
（2）直线AB沿y轴向下平移8个单位后得到直线l，得y=，
当y=0时，，，当x=0时，y=-4，
∴M（-8，0），N（0，-4），
，
消去y得，
解得，
解得，，
∴P(-6,-1),Q(-2,-3),
在Rt△MON中，
∴MN=,
∴PQ=，
∴．


【例2】（2021·浙江金华市）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在直线上，过点B作AB的垂线，过原点O作直线l的垂线，两垂线相交于点C．
（1）如图，点B，C分别在第三、二象限内，BC与AO相交于点D．
①若，求证：．
②若，求四边形的面积．
（2）是否存在点B，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，求OB的长；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）①见解析；②；（2）存在，，4，9，1
【分析】
（1）①等腰三角形等角对等边，则，根据等角的余角相等和对顶角相等，得到，根据等角对等边，即可证明；
②添加辅助线，过点A作于点H，根据直线l的解析式和角的关系，分别求出线段AB、BC、OB、OC的长，则；
（2）分多钟情况进行讨论：①当点C在第二象限内，时；②当点C在第二象限内，时；③当点C在第四象限内，时．
【详解】
解：（1）①证明：如图1，
∵，∴．
∴，∴．
而，
∴．
∵，∴．
∴，
∴．

②如图1，过点A作于点H．由题意可知，
在中，．设，．
∵，∴，解得．
∴．
∵，
∴，
∴
∴．
∵，
∴，
∴，
：
∴．
（2）过点A作于点H，则有．
①如图2，当点C在第二象限内，时，设
∵，∴．
又∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，∴，
∴，整理得，解得．
∴．

②如图3，当点C在第二象限内，时，延长交于点G，
则，∴．
又∵，
∴，
而，
∴，
∴

③当点C在第四象限内，时，与相交于点E，则有．
(a)如图4，点B在第三象限内．

在中，，∴
∴，
又∵，
∴，
而
∴，
∴
∴，
∴，
∴
(b)如图5，点B在第一象限内．

在中
∴，∴．
又∵，
∴
而，∴
∴
∴，
∴，
∴
综上所述，的长为，4，9，1．
题型二：反比例函数与几何结合
【例3】（2021·山东菏泽市）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边、分别在坐标轴上，且，，连接．反比例函数（）的图象经过线段的中点，并与、分别交于点、．一次函数的图象经过、两点．

（1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式；
（2）点是轴上一动点，当的值最小时，点的坐标为______．
【答案】（1）, ；（2）
【分析】
（1）先求出B点的坐标，再由反比例函数过点，求出点的坐标，代入即可，
由矩形的性质可得、坐标，代入即可求出解析式；
（2）“将军饮马问题”，作关于轴的对称点，连接,直线与轴交点即为所求．
【详解】
（1） 四边形是矩形，，

为线段的中点

将代入，得




将，代入，得：
，解得

（2）如图：作关于轴的对称点，连接交轴于点P

当三点共线时，有最小值

，
设直线的解析式为

将，代入，得
，解得

令，得

【例4】（2021·黑龙江大庆市）如图，一次函数的图象与轴的正半轴交于点，与反比例函数的图像交于两点．以为边作正方形，点落在轴的负半轴上，已知的面积与的面积之比为．

（1）求一次函数的表达式：
（2）求点的坐标及外接圆半径的长．
【答案】(1)；(2)点的坐标为；外接圆半径的长为
【分析】
(1)过D点作DE∥y轴交x轴于H点，过A点作EF∥x轴交DE于E点，过B作BF∥y轴交EF于F点，证明△ABF≌△DAE，，的面积与的面积之比为得到，进而得到，求出A、D两点坐标即可求解；
(2)联立一次函数与反比例函数解析式即可求出P点坐标；再求出C点坐标，进而求出CP长度，Rt△CPD外接圆的半径即为CP的一半．
【详解】
解：(1)过D点作DE∥y轴交x轴于H点，过A点作EF∥x轴交DE于E点，过B作BF∥y轴交EF于F点，如下图所示：

∵与有公共的底边BO，其面积之比为1:4，
∴DH:OA=1:4，
设，则，
∵ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠BAF+∠EAD=90°，
∵∠BAF+∠FBA=90°，
∴∠FBA=∠EAD，
在△ABF和△DAE中： ,
∴△ABF≌△DAE(AAS)，
∴
又，
∴，解得(负值舍去)，
∴，代入中，
∴ ，解得 ，
∴一次函数的表达式为；
(2)联立一次函数与反比例函数解析式： ，
整理得到：，
解得 ，，
∴点的坐标为；D点的坐标为（4,1）
∵四边形ABCD为正方形，
∴，
且，
在中，由勾股定理：，
∴，
又△CPD为直角三角形，其外接圆的圆心位于斜边PC的中点处，
∴△CPD外接圆的半径为．


提分训练

1．（2021·湖北黄冈市·中考真题）如图，反比例函数上的图象与一次函数的图象相交于，两点．

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）设直线交y轴于点C，点是正半轴上的一个动点，过点N作轴交反比例函数的图象于点M，连接，．若，求t的取值范围．
【答案】（1），；（2）．
【分析】
（1）先根据点的坐标，利用待定系数法可得反比例函数的解析，从而可得点的坐标，再根据点的坐标，利用待定系数法可得一次函数的解析式；
（2）先根据一次函数的解析式求出点的坐标，根据反比例函数的解析式求出点的坐标，再根据建立不等式，解不等式即可得．
【详解】
解：（1）将点代入得：，
则反比例函数的解析式为；
当时，，解得，即，
将点代入得：，解得，
则一次函数的解析式为；
（2）对于一次函数，
当时，，即，
，
轴，且，
，，
，
，
，
解得．
2．（2021·湖南株洲市·中考真题）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与函数的图像（记为）交于点A，过点A作轴于点，且，点在线段上（不含端点），且，过点作直线轴，交于点，交图像于点．

（1）求的值，并且用含的式子表示点的横坐标；
（2）连接、、，记、的面积分别为、，设，求的最大值．
【答案】（1），D点横坐标为；（2）
【分析】
（1）先求出A点坐标，再利用待定系数法即可求出k的值，利用OC=t和D点在直线l上即可得到D点横坐标；
（2）分别用含t的式子表示出、，得到关于t的二次函数，求函数的最大值即可．
【详解】
解：（1）∵，
∴A点横坐标为1,
∵A点在一次函数的图像上，
∴，
∴,
∵A点也在反比例函数图像上，
∴，
∴反比例函数解析式为：，
∵，直线轴，
∴D点纵坐标为t，
∵D点在直线l上，
∴D点横坐标为，
综上可得：，D点横坐标为．
（2）直线轴，交于点，交图像于点，
∴E点纵坐标为t，
将纵坐标t代入反比例函数解析式中得到E点坐标为，
∴，A点到DE的距离为，
∴，
∵轴于点，
∴，
∴，
∴，
∴当时，最大=；
∴的最大值为．
3．（2021·山东泰安市·中考真题）如图，点P为函数与函数图象的交点，点P的纵坐标为4，轴，垂足为点B．

（1）求m的值；
（2）点M是函数图象上一动点，过点M作于点D，若，求点M的坐标．
【答案】（1）24；（2）M点的坐标为
【分析】
(1)根据交点坐标的意义，求得点P的横坐标，利用k=xy计算m即可；
（2）利用分类思想，根据正切的定义，建立等式求解即可.
【详解】
解：（1）∵点P纵坐标为4，
∴，解得，

∴，
∴．
（2）∵，
∴，
设，则，
当M点在P点右侧，

∴M点的坐标为，
∴（6+2t）（4-t）=24，
解得：，（舍去），
当时，，
∴M点的坐标为，
当M点在P点的左侧，
∴M点的坐标为，
∴（6-2t）（4+t）=24，
解得：，，均舍去．
综上，M点的坐标为．
4．（2021·浙江中考真题）已知在平面直角坐标系中，点是反比例函数图象上的一个动点，连结的延长线交反比例函数的图象于点，过点作轴于点．

（1）如图1，过点作轴于点，连结．
①若，求证：四边形是平行四边形；
②连结，若，求的面积．
（2）如图2，过点作，交反比例函数的图象于点，连结．试探究：对于确定的实数，动点在运动过程中，的面积是否会发生变化？请说明理由．
【答案】（1）①证明见解析，②1；（2）不改变，见解析
【分析】
（1）①计算得出，利用平行四边形的判定方法即可证明结论；
②证明，利用反比例函数的几何意义求得，即可求解；
（2）点的坐标为，点的坐标为，可知四边形是平行四边形，由，利用相似三角形的性质得到关于的一元二次方程，利用三角形的面积公式即可求解．
【详解】
（1）①证明：设点的坐标为，
则当时，点的坐标为，
，
轴，
，
∴四边形是平行四边形；
②解：过点作轴于点，
轴，
，
，
，
∴当时，则，即．
；

（2）解 不改变．
理由如下：
过点作轴于点与轴交于点，
设点的坐标为，点的坐标为，
则，OH=b，
由题意，可知四边形是平行四边形，
∴OG=AE=a，∠HPG=∠OEG=∠EOA，且∠PHG=∠OEA=90°，
∴，
，
即，
∴，
，
解得，
异号，，
，
．
∴对于确定的实数，动点在运动过程中，的面积不会发生变化．
．

5．（2020•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y（x＞0）的图象经过点A（4，），点B在y轴的负半轴上，AB交x轴于点C，C为线段AB的中点．
（1）m＝　6　，点C的坐标为　（2，0）　；
（2）若点D为线段AB上的一个动点，过点D作DE∥y轴，交反比例函数图象于点E，求△ODE面积的最大值．

【分析】（1）根据待定系数法即可求得m的值，根据A点的坐标即可求得C的坐标；
（2）根据待定系数法求得直线AB的解析式，设出D、E的坐标，然后根据三角形面积公式得到S△ODE（x﹣1）2，由二次函数的性质即可求得结论．
【解析】（1）∵反比例函数y（x＞0）的图象经过点A（4，），
∴m6，
∵AB交x轴于点C，C为线段AB的中点．
∴C（2，0）；
故答案为6，（2，0）；
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
把A（4，），C（2，0）代入得，解得，
∴直线AB的解析式为yx；
∵点D为线段AB上的一个动点，
∴设D（x，x）（0＜x≤4），
∵DE∥y轴，
∴E（x，），
∴S△ODEx•（x）x2x+3（x﹣1）2，
∴当x＝1时，△ODE的面积的最大值为．
6．（2020•江西）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，顶点A，B都在反比例函数y（x＞0）的图象上，直线AC⊥x轴，垂足为D，连结OA，OC，并延长OC交AB于点E，当AB＝2OA时，点E恰为AB的中点，若∠AOD＝45°，OA＝2．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求∠EOD的度数．

【分析】（1）根据题意求得A（2，2），然后代入y（x＞0），求得k的值，即可求得反比例函数的解析式；
（2）根据AB＝2OA时，点E恰为AB的中点，得出OA＝AE＝BE，根据直角三角形斜边中线的性质得出CE＝AE＝BE，根据等腰三角形的性质越久三角形外角的性质即可得出∠AOE＝2∠EOD，从而求得∠EOD＝15°．
【解析】（1）∵直线AC⊥x轴，垂足为D，∠AOD＝45°，
∴△AOD是等腰直角三角形，
∵OA＝2，
∴OD＝AD＝2，
∴A（2，2），
∵顶点A在反比例函数y（x＞0）的图象上，
∴k＝2×2＝4，
∴反比例函数的解析式为y；
（2）∵AB＝2OA，点E恰为AB的中点，
∴OA＝AE，
∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴CE＝AE＝BE，
∴∠AOE＝∠AEO，∠ECB＝∠EBC，
∵∠AEO＝∠ECB+∠EBC＝2∠EBC，
∵BC∥x轴，
∴∠EOD＝∠ECB，
∴∠AOE＝2∠EOD，
∵∠AOD＝45°，
∴∠EOD＝15°．
7．（2020•广东）如图，点B是反比例函数y（x＞0）图象上一点，过点B分别向坐标轴作垂线，垂足为A，C．反比例函数y（x＞0）的图象经过OB的中点M，与AB，BC分别相交于点D，E．连接DE并延长交x轴于点F，点G与点O关于点C对称，连接BF，BG．
（1）填空：k＝　 　；
（2）求△BDF的面积；
（3）求证：四边形BDFG为平行四边形．

【分析】（1）设点B（s，t），st＝8，则点M（s，t），则ks•tst＝2；
（2）△BDF的面积＝△OBD的面积＝S△BOA﹣S△OAD，即可求解；
（3）确定直线DE的表达式为：y，令y＝0，则x＝5m，故点F（5m，0），即可求解．
【解析】（1）设点B（s，t），st＝8，则点M（s，t），
则ks•tst＝2，
故答案为2；

（2）△BDF的面积＝△OBD的面积＝S△BOA﹣S△OAD82＝3；

（3）设点D（m，），则点B（4m，），
∵点G与点O关于点C对称，故点G（8m，0），
则点E（4m，），
设直线DE的表达式为：y＝sx+n，将点D、E的坐标代入上式得，解得，
故直线DE的表达式为：y，令y＝0，则x＝5m，故点F（5m，0），
故FG＝8m﹣5m＝3m，而BD＝4m﹣m＝3m＝FG，
则FG∥BD，故四边形BDFG为平行四边形．
8．（2019•沈阳）在平面直角坐标系中，直线y＝kx+4（k≠0）交x轴于点A（8，0），交y轴于点B．

（1）k的值是　　；
（2）点C是直线AB上的一个动点，点D和点E分别在x轴和y轴上．
①如图，点E为线段OB的中点，且四边形OCED是平行四边形时，求▱OCED的周长；
②当CE平行于x轴，CD平行于y轴时，连接DE，若△CDE的面积为，请直接写出点C的坐标．
【分析】（1）根据点A的坐标，利用待定系数法可求出k值；
（2）①利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点B的坐标，由平行四边形的性质结合点E为OB的中点可得出CE是△ABO的中位线，结合点A的坐标可得出CE的长，在Rt△DOE中，利用勾股定理可求出DE的长，再利用平行四边形的周长公式即可求出▱OCED的周长；
②设点C的坐标为（x，x+4），则CE＝|x|，CD＝|x+4|，利用三角形的面积公式结合△CDE的面积为可得出关于x的方程，解之即可得出结论．
【解析】（1）将A（8，0）代入y＝kx+4，得：0＝8k+4，
解得：k．
故答案为：．
（2）①由（1）可知直线AB的解析式为yx+4．
当x＝0时，yx+4＝4，
∴点B的坐标为（0，4），
∴OB＝4．
∵点E为OB的中点，
∴BE＝OEOB＝2．
∵点A的坐标为（8，0），
∴OA＝8．
∵四边形OCED是平行四边形，
∴CE∥DA，
∴1，
∴BC＝AC，
∴CE是△ABO的中位线，
∴CEOA＝4．
∵四边形OCED是平行四边形，
∴OD＝CE＝4，OC＝DE．
在Rt△DOE中，∠DOE＝90°，OD＝4，OE＝2，
∴DE2，
∴C平行四边形OCED＝2（OD+DE）＝2（4+2）＝8+4．
②设点C的坐标为（x，x+4），则CE＝|x|，CD＝|x+4|，
∴S△CDECD•CE＝|x2+2x|，
∴x2﹣8x+33＝0或x2﹣8x﹣33＝0．
方程x2﹣8x+33＝0无解；
解方程x2﹣8x﹣33＝0，得：x1＝﹣3，x2＝11，
∴点C的坐标为（﹣3，）或（11，）．