中考数学一轮复习考点复习专题22 函数与公共点问题【考点精讲】（含解析）

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     题型一：抛物线的形状、位置都固定【例1】（2021焦作二模）如图,抛物线y=x2+2x+c与x轴的正半轴交于点B,与x轴的负半轴交于点A,与y轴的负半轴交于点C,且OA=2OB.（1）求抛物线的解析式及顶点坐标;（2）将抛物线y=x2+2x+c在点A,C之间的部分(含A,C两点)记为G,若二次函数y=-x2-2x+m的图象与G只有一个公共点,求m的取值范围.     【解析】解:(1)设点B的坐标为(n,0),n>0.∵OA=2OB,且点A在x轴的负半轴上,∴点A的坐标为(-2n,0). ∵抛物线的对称轴为直线x=-=-1,∴=-1,∴n=2,∴点B的坐标为(2,0).把B(2,0)代入y=x2+2x+c,得c=-8,∴抛物线的解析式为y=x2+2x-8.∵y=x2+2x-8=(x+1)2-9,∴抛物线的顶点坐标为(-1,-9).(2)易知A(-4,0),C(0,-8).把C(0,-8)代入y=-x2-2x+m,得m=-8.把A(-4,0)代入y=-x2-2x+m,得m=8.当二次函数y=-x2-2x+m的图象的顶点为(-1,-9)时,m=-10.结合图象分析可知,符合题意的m的取值范围是-8<m≤8或 m=-10. 题型二：抛物线的形状或位置不固定【例2】（2021广东广州）已知抛物线y=x2-(m+1)x+2m+3.（1）当m=0时，请判断点(2,4)是否在该抛物线上;（2）该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标;（3）已知点E(-1,-1)，F(3,7)，若该抛物线与线段EF只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取值范围.【解析】解:(1)当m=0时,y=x2-x+3.当x=2时,y=4-2+3=5,故点(2,4)不在该抛物线上.(2)∵y=x2-(m+1)x+2m+3=(x-)2+,∴抛物线的顶点坐标为(,).当顶点移动到最高处时,顶点的纵坐标最大,即的值最大.∵=-(m-3)2+5,∴当m=3时,取得最大值,为5,此时=2,∴当顶点移动到最高处时,该抛物线的顶点坐标为(2,5).(3)设线段EF所在直线的表达式为y=kx+b.将E(-1,-1),F(3,7)分别代入,得解得∴线段EF所在直线的表达式为y=2x+1.联立得x2-(m+3)x+2m+2=0,解得当x1=x2时,该抛物线与线段EF只有一个交点,此时=1.当x1≠x2时,若该抛物线与线段EF只有一个交点,则m+1<-1或m+1>3,∴<-或>.综上所述,若该抛物线与线段EF只有一个交点,则该抛物线顶点横坐标满足=1或<-或>. 1．（2021·江苏南京市）已知二次函数的图像经过两点．（1）求b的值．（2）当时，该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是________．（3）设是该函数的图像与x轴的一个公共点，当时，结合函数的图像，直接写出a的取值范围．【答案】（1）；（2）1；（3）或．【分析】（1）将点代入求解即可得；（2）先求出二次函数的顶点的纵坐标，再利用完全平方公式、不等式的性质求解即可得；（3）分和两种情况，再画出函数图象，结合图象建立不等式组，解不等式组即可得．【详解】解：（1）将点代入得：，两式相减得：，解得；（2）由题意得：，由（1）得：，则此函数的顶点的纵坐标为，将点代入得：，解得，则，下面证明对于任意的两个正数，都有，，（当且仅当时，等号成立），当时，，则（当且仅当，即时，等号成立），即，故当时，该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是1；（3）由得：，则二次函数的解析式为，由题意，分以下两种情况：①如图，当时，则当时，；当时，，即，解得；②如图，当时，当时，，当时，，解得，综上，的取值范围为或．2．（2021·湖南长沙市）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于轴对称，则把该函数称之为“T函数”，其图象上关于轴对称的不同两点叫做一对“T点”．根据该约定，完成下列各题．（1）若点与点是关于的“T函数”的图象上的一对“T点”，则______，______，______（将正确答案填在相应的横线上）；（2）关于的函数（，是常数）是“T函数”吗？如果是，指出它有多少对“T点”；如果不是，请说明理由；（3）若关于的“T函数”（，且，，是常数）经过坐标原点，且与直线（，，且，是常数）交于，两点，当，满足时，直线是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由．【答案】（1）；（2）当时，关于的函数（是常数）不是“函数”，理由见解析；当时，关于的函数（是常数）是“函数”，它有无数对“点”；（3）直线总经过一定点，该定点的坐标为．【分析】（1）先根据关于轴对称的点坐标变换规律可得的值，从而可得点的坐标，再将点的坐标代入“函数”即可得；（2）分和两种情况，当时，设点与点是一对“点”，将它们代入函数解析式可求出，与矛盾；当时，是一条平行于轴的直线，是“函数”，且有无数对“点”；（3）先将点代入可得，再根据“函数”的定义可得，从而可得，与直线联立可得是方程的两实数根，然后利用根与系数的关系可得，最后根据化简可得，从而可得，由此即可得出答案．【详解】解：（1）由题意得：点与点关于轴对称，，，，将点代入得：，故答案为：；（2）由题意，分以下两种情况：①当时，假设关于的函数（，是常数）是“函数”，点与点是其图象上的一对“点”，则，解得，与相矛盾，假设不成立，所以当时，关于的函数（是常数）不是“函数”；②当时，函数是一条平行于轴的直线，是“函数”，它有无数对“点”；综上，当时，关于的函数（是常数）不是“函数”；当时，关于的函数（是常数）是“函数”，它有无数对“点”；（3）由题意，将代入得：，，设点与点是“函数”图象上的一对“点”，则，解得，，联立得：，“函数”与直线交于点，，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，，，，即，解得，则直线的解析式为，当时，，因此，直线总经过一定点，该定点的坐标为．3．（2021·湖北）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，顶点坐标记为．抛物线的顶点坐标记为．（1）写出点坐标；（2）求，的值（用含的代数式表示）；（3）当时，探究与的大小关系；（4）经过点和点的直线与抛物线，的公共点恰好为3个不同点时，求的值．【答案】（1）；（2），；（3）当时，，当时，，当时，，当或时，；（4），，，【分析】（1）令，解出x即可，（2）把函数顶点式，即可得出结论，（3）令，结合函数图像分类讨论即可，（4）由题意可得：直线的解析式为：，再根据已知条件画出函数图像分三类情况讨论，进而得出n的值；【详解】（1）∵，令，，∴，，∴．（2），∴，∵，∴．（3）∵，，当时，，此时或，．由如图1图象可知：当时，，当时，，当时，，当或时，．（4）设直线的解析式为：，则，由（1）-（2）得，，∴，直线的解析式为：．第一种情况：如图3，当直线经过抛物线，的交点时，联立抛物线与的解析式可得：①联立直线与抛物线的解析式可得：，则，②当时，把代入得：，把，代入直线的解析式得：，∴，∴．此时直线与抛物线，的公共点恰好为三个不同点．当时，把代入①得：，该方程判别式，所以该方程没有实数根．第二种情况：如图4，当直线与抛物线或者与抛物线只有一个公共点时．当直线与抛物线只有一个公共点时，联立直线与抛物线可得，∴，此时，即，∴，∴．由第一种情况而知直线与抛物线公共点的横坐标为，，当时，，∴．所以此时直线与抛物线，的公共点恰好为三个不同点． 如图5，当直线与抛物线只有一个公共点，∵，，∴，联立直线与抛物线，，，当时，，此时直线与抛物线，的公共点只有一个，∴．综上所述：∴，，，．4．（2021·湖北）抛物线交轴于，两点（在的左边）．（1）的顶点在轴的正半轴上，顶点在轴右侧的抛物线上．①如图（1），若点的坐标是，点的横坐标是，直接写出点，的坐标；②如图（2），若点在抛物线上，且的面积是12，求点的坐标； （2）如图（3），是原点关于抛物线顶点的对称点，不平行轴的直线分别交线段，（不含端点）于，两点，若直线与抛物线只有一个公共点，求证的值是定值．【答案】（1）①，；②点的坐标是．（2）见解析【分析】（1）①根据函数图象与x轴的交点，令y=0，求出，点E在抛物线上，求出纵坐标为，再根据平行四边形的性质，求出；②连，过点作轴垂线，垂足为，过点作，垂足为，设点坐标为，点坐标为，根据平行四边形的性质，与点在抛物线上，得到，再由则，列出方程求解；（2）方法一：先求出G、H两点的横坐标，再利用求解即可；方法二：先用待定系数法求出直线与直线l的表达式，根据直线l与抛物线有唯一的交点，求出点坐标为，点坐标为，再求出结果．【详解】（1）解：①∵抛物线交轴于，两点（在的左边），∴令=0，解得：，，∴，∵点E在抛物线上，点的横坐标是，∴，∵四边形ACDE是平行四边形，∴∴；②设点坐标为，点坐标为．∵四边形是平行四边形，∴将沿平移可与重合，点坐标为．∵点在抛物线上，∴．解得，，所以．连，过点作轴垂线，垂足为，过点作，垂足为．则，∵，，∴．∴，解得，（不合题意，舍去）．∴点的坐标是． （2）方法一：证明：依题意，得，，∴设直线解析式为，则，解得．∴直线的解析式为．同理，直线的解析式为．设直线的解析式为．联立，消去得．∵直线与抛物线只有一个公共点，∴，．联立，且，解得，，同理，得．∵，两点关于轴对称，∴．∴．∴的值为．方法二：证明：同方法一得直线的解析式为．设直线的解析式为，与抛物线唯一公共点为．联立，消去得，∴．解得．∴直线的解析式为．联立，且，解得．∴点坐标为．同理，点坐标为．∵，∴．∴的值为．5．（2021·湖南）已知函数的图象如图所示，点在第一象限内的函数图象上．（1）若点也在上述函数图象上，满足．①当时，求的值；②若，设，求w的最小值；（2）过A点作y轴的垂线，垂足为P，点P关于x轴的对称点为，过A点作x轴的线，垂足为Q，Q关于直线的对称点为，直线是否与y轴交于某定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．【答案】（1）①；②；（2）直线与轴交于定点，定点的坐标为．【分析】（1）①先确定，再根据代入求解即可得；②先确定，从而可得，再代入可得一个关于的二次函数，利用二次函数的性质即可得；（2）先分别求出点的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，从而可得点的坐标，然后利用待定系数法求出直线的解析式，由此即可得出结论．【详解】解：（1）①对于二次函数，在内，随的增大而增大，，，则当时，，解得或（舍去），当时，，解得；②，，，则，化成顶点式为，由二次函数的性质可知，在内，当时，取最小值，最小值为；（2）由题意，设与交于点，画图如下，在已知函数的第一象限内的图象上，，即，轴，轴，点关于轴的对称点为，，设直线的解析式为，将点代入得：，解得，则直线的解析式为，关于直线的对称点为，，设直线的解析式为，将点代入得：，解得，则直线的解析式为，联立，解得，即，设点的坐标为，则，解得，即，设直线的解析式为，将点代入得：，解得，则直线的解析式为，当时，，即直线与轴交于定点．6．（2021·浙江金华市）背景：点A在反比例函数的图象上，轴于点B，轴于点C，分别在射线上取点，使得四边形为正方形．如图1，点A在第一象限内，当时，小李测得．探究：通过改变点A的位置，小李发现点D，A的横坐标之间存在函数关系．请帮助小李解决下列问题．（1）求k的值．（2）设点的横坐标分别为，将z关于x的函数称为“Z函数”．如图2，小李画出了时“Z函数”的图象．①求这个“Z函数”的表达式．②补画时“Z函数”的图象，并写出这个函数的性质（两条即可）．③过点作一直线，与这个“Z函数”图象仅有一个交点，求该交点的横坐标．【答案】（1）4；（2）①；②图见解析，性质如下（答案不唯一）：函数的图象是两个分支组成的曲线；函数的图象关于直角坐标系的原点成中心对称；当时，函数值z随自变量x的增大而增大，当时，函数值z随自变量x的增大面增大；③2，3，4，6．【分析】（1）利用待定系数法解题；（2）①设点A坐标为，继而解得点D的横坐标为，根据题意解题即可；②根据解析式在网格中描点，连线即可画出图象，根据图象的性质解题；③分两种种情况讨论，当过点的直线与x轴垂直时，或当过点的直线与x轴不垂直时，结合一元二次方程解题即可．【详解】解：（1）由题意得，，点A的坐标是，所以；（2）①设点A坐标为，所以点D的横坐标为，所以这个“Z函数”表达式为；②画出的图象如图：性质如下（答案不唯一）；（a）函数的图象是两个分支组成的，是两条曲线（b）函数的图象关于直角坐标系的原点成中心对称．（c）当时，函数值z随自变量x的增大而增大，当时，函数值z随自变量x的增大面增大．③第一种情况，当过点的直线与x轴垂直时，；第二种情况，当过点的直线与x轴不垂直时，设该直线的函数表达式为，，即，，由题意得，，（a）当时，，解得；（b）当时，，解得，当时，．解得；当时，，解所以x的值为．