2022年广西贵港市中考数学真题（解析版）

这是一份2022年广西贵港市中考数学真题（解析版），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022年贵港市初中学业水平考试试卷数学
（本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，考试时间120分钟）
注意：答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，每小题都给出标号为A，B，C，D．的四个选项，其中只有一个是正确的，请考生用2B铅笔在答题卡上将选定的答案标号涂黑）
1. 倒数是（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据倒数的定义求解即可．
【详解】解：-2的倒数是，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了倒数的定义，熟练掌握乘积为1的两个数互为倒数，是解题的关键．
2. 一个圆锥如右图所示放置，对于它的三视图，下列说法正确的是（ ）

A. 主视图与俯视图相同 B. 主视图与左视图相同
C. 左视图与俯视图相同 D. 三个视图完全相同
【答案】B
【解析】
【分析】根据三视图的定义即可求解．
【详解】解：主视图为等腰三角形，左视图为等腰三角形，俯视图为有圆心的圆，
故主视图和左视图相同，主视图俯视图和左视图与俯视图都不相同，
故选：B．
【点睛】本题考查了几何体的三视图，掌握三视图的定义，会看得出三视图是解题的关键．
3. 一组数据3，5，1，4，6，5众数和中位数分别是（ ）
A. 5，4.5 B. 4.5，4 C. 4，4.5 D. 5，5
【答案】A
【解析】
【分析】把这组数按照从小到大的顺序排列，第3、4两个数的平均数是中位数，在这组数据中出现次数最多的是5，从而得到这组数据的众数．
【详解】解：把这组数按照从小到大的顺序排列为：1，3，4，5，5，6，
第3、4两个数的平均数是，
所以中位数是4.5，
在这组数据中出现次数最多的是5，即众数是5．
故选：A．
【点睛】此题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力，找中位数时一定要先从小到大或从大到小排好顺序，然后根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个时，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个时则找中间两位数的平均数，熟练掌握相关知识是解题关键．
4. 据报道：芯片被誉为现代工业的掌上明珠，芯片制造的核心是光刻技术，我国的光刻技术水平已突破到．已知，则用科学记数法表示是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：∵，
∴28nm=2.8×10-8m．
故选：C．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
5. 下例计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别根据合并同类项、单项式除以单项式、同底数幂的乘法、幂的乘方法则进行计算即可求解．
【详解】解：A. 2a−a=a，故原选项计算错误，不符合题意；
B. ，不是同类项不能合并，故原选项计算错误，不符合题意；
C. ，故原选项计算错误，不符合题意；
D. (-a3)2=a6，故原选项计算正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了合并同类项、单项式除以单项式、同底数幂的乘法、幂的乘方等运算，熟知运算法则是解题关键．
6. 若点与点关于y轴对称，则的值是（ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数解答即可．
【详解】∵点与点关于y轴对称，
∴a=-2，b=-1，
∴a-b=-1，
故选A．
【点睛】本题考查了关于y轴对称的点坐标的关系，代数式求值，解题的关键在于明确关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数．
7. 若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根及m的值分别是（ ）
A. 0， B. 0，0 C. ， D. ，0
【答案】B
【解析】
【分析】直接把代入方程，可求出m的值，再解方程，即可求出另一个根．
【详解】解：根据题意，
∵是一元二次方程的一个根，
把代入，则
，
解得：；
∴，
∴，
∴，，
∴方程的另一个根是；
故选：B
【点睛】本题考查了解一元二次方程，方程的解，解题的关键是掌握解一元二次方程的步骤进行计算．
8. 下列命题为真命题的是（ ）
A. B. 同位角相等
C. 三角形的内心到三边的距离相等 D. 正多边形都是中心对称图形
【答案】C
【解析】
【分析】根据判断命题真假的方法即可求解．
【详解】解：当时，，故A为假命题，故A选项错误；
当两直线平行时，同位角才相等，故B为假命题，故B选项错误；
三角形的内心为三角形内切圆的圆心，故到三边的距离相等，故C为真命题，故C选项正确；
三角形不是中心对称图形，故D为假命题，故D选项错误，
故选：C．
【点睛】本题考查了真假命题的判断，熟练掌握其判断方法是解题的关键．
9. 如图，⊙是的外接圆，是⊙的直径，点P在⊙上，若，则的度数是（ ）


A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆周角定理得到，，然后利用互余计算出∠A的度数，从而得到的度数．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，
∴，
∴
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
10. 如图，某数学兴趣小组测量一棵树的高度，在点A处测得树顶C的仰角为，在点B处测得树顶C的仰角为，且A，B，D三点在同一直线上，若，则这棵树的高度是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设CD=x，在Rt△ADC中，∠A=45°，可得CD=AD=x，BD=16-x，在Rt△BCD中，用∠B的正切函数值即可求解．
【详解】设CD=x，在Rt△ADC中，∠A=45°，
∴CD=AD=x，
∴BD=16-x，
在Rt△BCD中，∠B=60°，
∴，
即：，
解得，
故选A．
【点睛】本题考查三角函数，根据直角三角形的边的关系，建立三角函数模型是解题的关键．
11. 如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值是（ ）


A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】过点C作AB的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：过点C作AB的垂线交AB于一点D，如图所示，


∵每个小正方形的边长为1，
∴，
设，则，
在中，,
在中，,
∴，
解得，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是能构造出直角三角形．
12. 如图，在边长为1的菱形中，，动点E在边上（与点A、B均不重合），点F在对角线上，与相交于点G，连接，若，则下列结论错误的是（ ）

A. B. C. D. 的最小值为
【答案】D
【解析】
【分析】先证明△BAF≌△DAF≌CBE，△ABC是等边三角形，得DF=CE，判断A项答案正确，由∠GCB+∠GBC=60゜，得∠BGC=120゜，判断B项答案正确，证△BEG△CEB得 ，即可判断C项答案正确，由，BC=1，得点G在以线段BC为弦的弧BC上，易得当点G在等边△ABC的内心处时，AG取最小值，由勾股定理求得AG=，即可判断D项错误．
【详解】解：∵四边形ABCD菱形，，
∴AB=AD=BC=CD，∠BAC=∠DAC=∠BAD==，
∴△BAF≌△DAF≌CBE，△ABC是等边三角形，
∴DF=CE，故A项答案正确，
∠ABF=∠BCE，
∵∠ABC=∠ABF+∠CBF=60゜，
∴∠GCB+∠GBC=60゜，
∴∠BGC=180゜-60゜=180゜-（∠GCB+∠GBC）=120゜，故B项答案正确，
∵∠ABF=∠BCE，∠BEG=∠CEB，
∴△BEG∽△CEB，
∴ ，
∴，
∵，
∴，故C项答案正确，
∵，BC=1，点G在以线段BC为弦的弧BC上，
∴当点G在等边△ABC的内心处时，AG取最小值，如下图，

∵△ABC是等边三角形，BC=1，
∴，AF=AC=，∠GAF=30゜，
∴AG=2GF，AG2=GF2+AF2，
∴ 解得AG=，故D项错误，
故应选：D
【点睛】本题主要考查了菱形的基本性质、等边三角形的判定及性质、圆周角定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题）
13. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】二次根式要有意义，则二次根式内的式子为非负数．
【详解】解：由题意得：
，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件．
14. 因式分解：________．
【答案】a(a+1)(a-1)
【解析】
【分析】先找出公因式，然后提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：


故答案为：.
【点睛】本题考查了用提公因式法分解因式，准确找出公因式是解题的关键．
15. 从，，2这三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，则该点落在第三象限的概率是___．
【答案】
【解析】
【分析】列举出所有情况，看在第三象限的情况数占总情况数的多少即可．
【详解】解：∵从，，2这三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，
∴所有的点为：（，），（，2），（，2），（，），（2，），（2，），共6个点；在第三象限的点有（，），（，），共2个；
∴该点落在第三象限的概率是；
故答案为：．
【点睛】本题考查了列举法求概率，解题的关键是正确的列出所有可能的点，以及在第三象限上的点，再由概率公式进行计算，即可得到答案．
16. 如图，将绕点A逆时针旋转角得到，点B的对应点D恰好落在边上，若，则旋转角的度数是______．


【答案】
【解析】
【分析】先求出，由旋转的性质，得到，，则，即可求出旋转角的度数．
【详解】解：根据题意，
∵，
∴，
由旋转的性质，则，，
∴，
∴；
∴旋转角的度数是50°；
故答案为：50°．
【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握旋转的性质进行计算．
17. 如图，在中，，以点A为圆心、为半径画弧交于点E，连接，若，则图中阴影部分的面积是_______．

【答案】
【解析】
【分析】过点D作DF⊥AB于点F，根据等腰直角三角形的性质求得DF，从而求得EB，最后由S阴影=S▱ABCD−S扇形ADE−S△EBC结合扇形面积公式、平行四边形面积公式、三角形面积公式解题即可．
【详解】解：过点D作DF⊥AB于点F，

∵，

∴AD=
∴DF=ADsin45°= ，
∵AE=AD=2 ，
∴EB=AB−AE= ，
∴S阴影=S▱ABCD−S扇形ADE−S△EBC

=
故答案为：．
【点睛】本题考查等腰直角三角形、平行四边形的性质、扇形的面积公式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
18. 已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③；④（其中）；⑤若和均在该函数图象上，且，则．其中正确结论的个数共有_______个．


【答案】3
【解析】
【分析】根据抛物线与x轴的一个交点(-2,0)以及其对称轴，求出抛物线与x轴的另一个交点(1,0)，代入可得：，再根据抛物线开口朝下，可得，进而可得，，再结合二次函数的图象和性质逐条判断即可．
【详解】∵抛物线的对称轴为：，且抛物线与x轴的一个交点坐标为(-2,0)，
∴抛物线与x轴的另一个坐标为(1,0)，
∴代入(-2,0)、(1,0)得：，
解得：，故③正确；
∵抛物线开口朝下，
∴，
∴，，
∴，故①错误；
∵抛物线与x轴两个交点，
∴当y=0时，方程有两个不相等的实数根，
∴方程的判别式，故②正确；
∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
即，故④正确；
∵抛物线的对称轴为：，且抛物线开口朝下，
∴可知二次函数，在时，y随x的增大而减小，
∵，
∴，故⑤错误，
故正确的有：②③④，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数和一元二次方程的关系等知识，掌握二次函数的性质，特别是根据对称轴求出抛物线与x轴的交点是解答本题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. （1）计算：；
（2）解不等式组：
【答案】（1）4；（2）
【解析】
【分析】（1）根据绝对值的意义、零指数幂、负整数指数幂的运算法则以及特殊角的三角函数值进行计算即可；
（2）先分别求解出不等式①和不等式②的解集，再找这个两个解集的公共部分即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
∴不等式组的解集为．
【点睛】本题考查了绝对值的意义、零指数幂、负整数指数幂的运算法则、特殊角的三角函数值以求解不等式组的解集的知识，熟记特殊角的三角函数值是解答本题的关键．
20. 尺规作图（保留作图痕迹，不要求写出作法）：
如图，已知线段m，n．求作，使．


【答案】见解析
【解析】
【分析】作直线l及l上一点A；过点A作l的垂线；在l上截取；作；即可得到．
【详解】解：如图所示：为所求．


注：（1）作直线l及l上一点A；
（2）过点A作l的垂线；
（3）在l上截取；
（4）作．
【点睛】本题考查作图——复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
21. 如图，直线与反比例函数的图像相交于点A和点，与x轴的正半轴相交于点B．

（1）求k的值；
（2）连接，若点C为线段的中点，求的面积．
【答案】（1）6 （2）
【解析】
【分析】（1）直接把点C的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出答案；
（2）由题意，先求出点A的坐标，然后求出直线AC的解析式，求出点B的坐标，再求出的面积即可．
【小问1详解】
解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵是线段的中点，点B在x轴上，
∴点A的纵坐标为4，

∵点A在上，
∴点A的坐标为，
∵，
设直线AC为，则
，解得，
∴直线为，
令，则，
∴点B的坐标为，
∴．
【点睛】本题考查了反比例函数的图像和性质，一次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数与一次函数的图像和性质进行解题．
22. 在贯彻落实“五育并举”的工作中，某校开设了五个社团活动：传统国学（A）科技兴趣（B）、民族体育（C）、艺术鉴赏（D）、劳技实践（E），每个学生每个学期只参加一个社团活动，为了了解本学期学生参加社团活动的情况，学校随机抽取了若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅尚不完整的统计图，请根据统计图提供的信息，解答下列问题：

（1）本次调查的学生共有________人；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）在扇形统计图中，传统国学（A）对应扇形的圆心角度数是_______；
（4）若该校有2700名学生，请估算本学期参加艺术鉴赏（D）活动的学生人数．
【答案】（1）90 （2）见解析
（3）
（4）300人
【解析】
【分析】（1）用劳技实践（E）社团人数除以所占的百分比求解；
（2）先用总人数分别减去传统国学（A）、科技兴趣（B）、艺术鉴赏（D）、劳技实践（E）社团的人数计算出民族体育（C）社团的人数，再补全条形统计图即可；
（3）用360度乘传统国学（A）社团所占的比例来求解；
（4）用2700乘艺术鉴赏（D）社团所占的比例来求解．
【小问1详解】
解：本次调查的学生人数为：
（人）．
故答案为：90；
【小问2详解】
解：民族体育（C）社团人数为：（人），
补全条形统计图如下：
【小问3详解】
解：在扇形统计图中，传统国学（A）社团对应扇形的圆心角度数是
．
故答案为：；
【小问4详解】
解：该校有2700名学生，本学期参加艺术鉴赏（D）社团活动的学生人数为
（人）．
【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，理解先求出本次调查人数是解答关键．
23. 为了加强学生的体育锻炼，某班计划购买部分绳子和实心球，已知每条绳子的价格比每个实心球的价格少23元，且84元购买绳子的数量与360元购买实心球的数量相同．
（1）绳子和实心球的单价各是多少元？
（2）如果本次购买的总费用为510元，且购买绳子的数量是实心球数量的3倍，那么购买绳子和实心球的数量各是多少？
【答案】（1）绳子的单价为7元，实心球的单价为30元
（2）购买绳子的数量为30条，购买实心球的数量为10个
【解析】
【分析】（1）设绳子的单价为x元，则实心球的单价为元，根据“84元购买绳子的数量与360元购买实心球的数量相同”列出分式方程，解分式方程即可解题；
（2）根据“总费用为510元，且购买绳子的数量是实心球数量的3倍”列出一元一次方程即可解题．
【小问1详解】
解：设绳子的单价为x元，则实心球的单价为元，
根据题意，得：，
解分式方程，得：，
经检验可知是所列方程的解，且满足实际意义，
∴，
答：绳子的单价为7元，实心球的单价为30元．
【小问2详解】
设购买实心球的数量为m个，则购买绳子的数量为条，
根据题意，得：，
解得
∴
答：购买绳子的数量为30条，购买实心球的数量为10个．
【点睛】本题考查分式方程和一元一次方程的应用，根据题目中的等量关系列出方程是解题的关键．
24. 图，在中，，点D是边的中点，点O在边上，⊙经过点C且与边相切于点E，．


（1）求证：是⊙的切线；
（2）若，，求⊙的半径及的长．
【答案】（1）见解析 （2），
【解析】
【分析】（1）作，垂足为H，连接，先证明是的平分线，然后由切线的判定定理进行证明，即可得到结论成立；
（2）设，由勾股定理可求，设的半径为r，然后证明，结合勾股定理即可求出答案．
【小问1详解】
证明：如图，作，垂足为H，连接，


∵，D是的中点，
∴，
∴，
∵，
又∵，
∴∠BDC=2∠FAC，
∴，即是的平分线，
∵O在上，与相切于点E，
∴，且是的半径，
∵AC平分∠FAB，OH⊥AF，
∴是的半径，
∴是的切线．
【小问2详解】
解：如（1）图，∵在中，，
∴可设，
∴，
则，
设的半径为r，则，
∵，
∴，
∴，即，则，
在Rt△AOE中，AO=5，OE=3，
由勾股定理得，又，
∴，
在中，由勾股定理得：．
【点睛】本题考查了三角函数，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行证明．
25. 如图，已知抛物线经过和两点，直线与x轴相交于点C，P是直线上方的抛物线上的一个动点，轴交于点D．

（1）求该抛物线的表达式；
（2）若轴交于点E，求的最大值；
（3）若以A，P，D为顶点的三角形与相似，请直接写出所有满足条件的点P，点D的坐标．
【答案】（1）
（2）最大值为
（3）或，
【解析】
【分析】（1）直接利用待定系数法，即可求出解析式；
（2）先求出点C的坐标为，然后证明，设点P的坐标为，其中，则点D的坐标为，分别表示出和，再由二次函数的最值性质，求出答案；
（3）根据题意，可分为两种情况进行分析：当∽时；当∽时；分别求出两种情况点的坐标，即可得到答案．
【小问1详解】
解：（1）∵抛物线经过和两点，
∴
解得：，，
∴抛物线的表达式为．
【小问2详解】
解：∵，
∴直线表达式为，
∵直线与x轴交于点C，
∴点C的坐标为，
∵轴，轴，
∴，
∴，
∴，
则，
设点P的坐标为，其中，
则点D的坐标为，
∵，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，且最大值为．
【小问3详解】
解：根据题意，
在一次函数中，令，则，
∴点C的坐标为（2，0）；
当∽时，如图

此时点D与点C重合，
∴点D的坐标为（2，0）；
∵轴，
∴点P的横坐标为2，
∴点P的纵坐标为：，
∴点P的坐标为（2，3）；
当∽时，如图，则，

设点，则点P，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴点D的坐标为，点P的坐标为；
∴满足条件的点P，点D的坐标为或，．
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，坐标与图形，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，二次函数的图像和性质，运用数形结合的思想进行分析．
26. 已知：点C，D均在直线l的上方，与都是直线l的垂线段，且在的右侧，，与相交于点O．

（1）如图1，若连接，则的形状为______，的值为______；
（2）若将沿直线l平移，并以为一边在直线l的上方作等边．
①如图2，当与重合时，连接，若，求的长；
②如图3，当时，连接并延长交直线l于点F，连接．求证：．
【答案】（1）等腰三角形，
（2）①；②见解析
【解析】
【分析】（1）过点C作CH⊥BD于H，可得四边形ABHC是矩形，即可求得AC=BH，进而可判断△BCD的形状，AC、BD都垂直于l，可得△AOC∽△BOD，根据三角形相似的性质即可求解．
（2）①过点E作于点H，AC，BD均是直线l的垂线段，可得，根据等边三角形的性质可得，再利用勾股定理即可求解．
②连接，根据，得，即是等边三角形，把旋转得，根据30°角所对的直角边等于斜边的一般得到，则可得，根据三角形相似的性质即可求证结论．
【小问1详解】
解：过点C作CH⊥BD于H，如图所示：

∵AC⊥l，DB⊥l，CH⊥BD，
∴∠CAB=∠ABD=∠CHB=90°，
∴四边形ABHC是矩形，
∴AC=BH，
又∵BD=2AC，
∴AC=BH=DH，且CH⊥BD，
∴的形状为等腰三角形，
∵AC、BD都垂直于l，
∴△AOC∽△BOD，
，即，
，
故答案为：等腰三角形，．
【小问2详解】
①过点E作于点H，如图所示：

∵AC，BD均是直线l的垂线段，
∴，
∵是等边三角形，且与重合，
∴∠EAD=60°，
∴，
∴，
∴在中，，，
又∵，，
∴，
∴，
又，
∴，
又由（1）知，
∴，则，
∴在中，由勾股定理得：．
②连接，如图3所示：

∵，
∴，
∵是等腰三角形，
∴是等边三角形，
又∵是等边三角形，
∴绕点D顺时针旋转后与重合，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
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∴．
【点睛】本题考查了矩形的判定及性质、三角形相似的判定及性质、等边三角形的判定及性质、勾股定理的应用，熟练掌握三角形相似的判定及性质和勾股定理的应用，巧妙借助辅助线是解题的关键．