高中人教A版 (2019)4.4* 数学归纳法多媒体教学ppt课件

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1.通过实例,了解数学归纳法的原理.提升数学抽象素养.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.提升逻辑推理素养.
1.数学归纳法的定义一般地,证明一个与　正整数　n有关的命题,可按下列步骤进行: (1)(归纳奠基)证明当n=n0(n0∈N*)时命题成立;(2)(归纳递推)以“当n=k(k∈N*,k≥n0)时命题成立”为条件,推出“当　n=k+1　时命题也成立”. 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.这种证明方法称为数学归纳法.
微探究数学归纳法的第一步n的初始值是否一定为1?提示:不一定,如证明n边形的内角和为(n-2)·180°时,第一个值为n0=3.
2.数学归纳法的框图表示
微总结 数学归纳法证题的三个关键点(1)验证是基础数学归纳法的原理表明:第一个步骤是要找一个数n0,这个n0,就是我们要证明的命题对象对应的最小自然数,这个自然数并不一定都是“1”,因此“找准起点,奠基要稳”是第一个关键点.(2)递推是关键数学归纳法的实质在于递推,故从“k”到“k+1”的过程中,要正确分析式子项数的变化.关键是弄清等式两边的构成规律,弄清由n=k到n=k+1时,等式的两边会增加多少项,增加怎样的项.
(3)利用假设是核心在第二步证明n=k+1成立时,一定要利用归纳假设,即必须把归纳假设“n=k时命题成立”作为条件来导出“n=k+1”,在书写f(k+1)时,一定要把包含f(k)的式子写出来,尤其是f(k)中的最后一项,这是数学归纳法的核心.不用归纳假设的证明就不是数学归纳法.
微训练 若命题A(n)(n∈N*)在n=k(k∈N*)时成立,则有n=k+1时命题成立.现知命题对n=n0(n0∈N*)时成立,则有(　 )A.命题对所有正整数都成立B.命题对小于n0的正整数不成立,对大于或等于n0的正整数都成立C.命题对小于n0的正整数成立与否不能确定,对大于或等于n0的正整数都成立D.以上说法都不正确答案:C
解析:由已知,得n=n0(n0∈N*)时命题成立,则n=n0+1时命题成立,在n=n0+1时命题成立的前提下,又可推得n=(n0+1)+1时命题也成立,依此类推,可知选C.
一 用数学归纳法证明等式
典例剖析1.用数学归纳法证明1×4+2×7+3×10+…+n(3n+1) =n(n+1)2,其中n∈N*.
证明:(1)当n=1时,左边=1×4=4,右边=1×22=4,左边=右边,等式成立.(2)假设当n=k(k≥1,k∈N*)时等式成立,即1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)=k(k+1)2,那么当n=k+1时,1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)+(k+1)[3(k+1)+1]=k(k+1)2+(k+1)[3(k+1)+1]=(k+1)·(k2+4k+4)=(k+1)[(k+1)+1]2,即当n=k+1时,等式也成立.根据(1)和(2)可知,等式对任何n∈N*都成立.
规律总结 用数学归纳法证明等式时,一是弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况;二是弄清从n=k到n=k+1时等式两端增加了哪些项,减少了哪些项;三是证明当n=k+1时结论也成立,要设法将待证式与归纳假设建立联系,并朝n=k+1证明目标的表达式变形.
二 用数学归纳法证明不等式
规律总结 用数学归纳法证明不等式往往比证明恒等式难度更大,方法更灵活些.用数学归纳法证明的第二步,即已知f(k)>g(k),求证f(k+1)>g(k+1)时应注意灵活运用证明不等式的一般方法(比较法、分析法、综合法).具体证明过程中要注意以下两点:(1)先凑假设,作等价变换;(2)瞄准当n=k+1时的递推目标,有目的地放缩、分析直到“凑”出结论.
学以致用2.在数列{an}中,已知a1=a(a>2),an+1= (n∈N*),用数学归纳法证明an>2(n∈N*).证明:(1)当n=1时,a1=a>2,不等式成立.(2)假设当n=k(k≥1,k∈N*)时,不等式成立,即ak>2,
三 归纳—猜想—证明
典例剖析 3.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1=3,Sn=an-1 +n2+1(n≥2).求a2,a3,a4的值,猜想数列{an}的通项公式并用数学归纳法证明.解:当n=2时,S2=a1+22+1,即3+a2=8,解得a2=5;当n=3时,S3=a2+32+1,即3+5+a3=15,解得a3=7;当n=4时,S4=a3+42+1,即3+5+7+a4=24,解得a4=9.猜想an=2n+1,下面用数学归纳法证明:
规律总结 “归纳—猜想—证明”的一般步骤
学以致用3.观察下列各式2=2×13×4=4×1×34×5×6=8×1×3×55×6×7×8=16×1×3×5×7你能做出什么一般性的猜想?能证明你的猜想吗?
解:由题意得,2=2×1,3×4=4×1×3,4×5×6=8×1×3×5, 5×6×7×8=16×1×3×5×7,……猜想:(n+1)(n+2)(n+3)…2n=2n×1×3×5×…×(2n-1)(n∈N*),下面利用数学归纳法进行证明.(1)当n=1时,猜想显然成立;
(2)假设当n=k(k≥1,k∈N*)时,猜想成立,即(k+1)·(k+2)(k+3)…2k=2k×1×3×5×…×(2k-1),那么当n=k+1时,(k+1+1)(k+1+2)(k+1+3)·…·2(k+1)=(k+1)(k+2)·…·2k·(2k+1)·2=2k×1×3×5×…×(2k-1)(2k+1)×2=2k+1×1×3×5×…×(2k+1)=2k+1×1×3×5×…×[2(k+1)-1],即当n=k+1时猜想成立.根据(1)(2)可知,对任意正整数猜想均成立.
1.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为 n(n-3)条时,第一步应验证n等于(　　)A.1B.2C.3D.4答案:C解析:由凸多边形的性质,知应先验证三角形,故选C.
2.用数学归纳法证明n3>3n2+3n+1这一不等式时,应注意n必须为(　　)A.n∈N*B.n∈N*,n≥2C.n∈N*,n≥3D.n∈N*,n≥4答案:D解析:当n=1,n=2,n=3时,显然不等式不成立,当n=4时,64>61,不等式成立,故用数学归纳法证明n3>3n2+3n+1这一不等式时,应注意n必须为n≥4,n∈N*,故选D.
则上述证法(　　)A.过程全部正确B.n=1验得不正确C.归纳假设不正确D.从n=k到n=k+1的推理不正确答案:D解析:在n=k+1时,没有应用n=k时的假设,即从n=k到n=k+1的推理不正确.故选D.
5.在用数学归纳法证明1+2+3+…+2n= (n∈N*)的过程中,当n=k+1时,左端应在n=k的左端加上　　　　　. 答案:(2k+1)+(2k+2)
6.用数学归纳法证明: