重难点突破05 极值点偏移问题与拐点偏移问题(七大题型)-2024年高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)(原卷版)
展开这是一份重难点突破05 极值点偏移问题与拐点偏移问题(七大题型)-2024年高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)(原卷版),共17页。试卷主要包含了极值点偏移的相关概念,对称变换等内容,欢迎下载使用。
重难点突破05 极值点偏移问题与拐点偏移问题
目录
1、极值点偏移的相关概念
所谓极值点偏移,是指对于单极值函数,由于函数极值点左右的增减速度不同,使得函数图像没有对称性。若函数在处取得极值,且函数与直线交于两点,则的中点为,而往往。如下图所示。
图1 极值点不偏移 图2 极值点偏移
极值点偏移的定义:对于函数在区间内只有一个极值点,方程的解分别为,且,(1)若,则称函数在区间上极值点偏移;(2)若,则函数在区间上极值点左偏,简称极值点左偏;(3)若,则函数在区间上极值点右偏,简称极值点右偏。
2、对称变换
主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题.其解题要点如下:(1)定函数(极值点为),即利用导函数符号的变化判断函数单调性,进而确定函数的极值点x0.
(2)构造函数,即根据极值点构造对称函数,若证 ,则令.
(3)判断单调性,即利用导数讨论的单调性.
(4)比较大小,即判断函数在某段区间上的正负,并得出与的大小关系.
(5)转化,即利用函数的单调性,将与的大小关系转化为与之间的关系,进而得到所证或所求.
【注意】若要证明的符号问题,还需进一步讨论与x0的大小,得出所在的单调区间,从而得出该处导数值的正负.
构造差函数是解决极值点偏移的一种有效方法,函数的单调性是函数的重要性质之一,它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关,但如果我们能挖掘其内在联系,抓住其本质,那么运用函数的单调性解题,能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识,并掌握好使用的技巧和方法,这是非常必要的.根据题目的特点,构造一个适当的函数,利用它的单调性进行解题,是一种常用技巧.许多问题,如果运用这种思想去解决,往往能获得简洁明快的思路,有着非凡的功效
3、应用对数平均不等式证明极值点偏移:
①由题中等式中产生对数;
②将所得含对数的等式进行变形得到;
③利用对数平均不等式来证明相应的问题.
4、比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径,然后构造函数利用函数的单调性证明题中的不等式即可.
题型一:极值点偏移:加法型
例1.(2023·河南周口·高二校联考阶段练习)已知函数,
(1)若,求的单调区间;
(2)若,,是方程的两个实数根,证明:.
例2.(2023·河北石家庄·高三校联考阶段练习)已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)若函数有两个零点、,证明.
例3.(2023·广东深圳·高三红岭中学校考期末)已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)①证明函数(为自然对数的底数)在区间内有唯一的零点;
②设①中函数的零点为,记(其中表示中的较小值),若在区间内有两个不相等的实数根,证明:.
变式1.(2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测)已知函数为其极小值点.
(1)求实数的值;
(2)若存在,使得,求证:.
变式2.(2023·湖北武汉·高二武汉市第六中学校考阶段练习)已知函数,a为实数.
(1)求函数的单调区间;
(2)若函数在处取得极值,是函数的导函数,且,,证明:
变式3.(2023·江西景德镇·统考模拟预测)已知函数
(1)若函数在定义域上单调递增,求的最大值;
(2)若函数在定义域上有两个极值点和,若,,求的最小值.
变式4.(2023·全国·模拟预测)已知函数.
(1)讨论函数的极值点的个数;
(2)若函数恰有三个极值点、、,且,求的最大值.
变式5.(2023·广西玉林·高二广西壮族自治区北流市高级中学校联考阶段练习)已知函数.
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)当时,若,求证:
变式6.(2023·安徽·高二安徽师范大学附属中学校考阶段练习)已知函数.
(1)若为定义域上的增函数,求a的取值范围;
(2)令,设函数,且,求证:.
变式7.(2023·全国·高二专题练习)已知函数().
(1)试讨论函数的单调性;
(2)若函数有两个零点,(),求证:.
变式8.(2023·全国·高二专题练习)已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若有两个零点,证明:.
变式9.(2023·全国·高三专题练习)设函数.
(1)若对恒成立,求实数的取值范围;
(2)已知方程有两个不同的根、,求证:,其中为自然对数的底数.
变式10.(2023·江西宜春·高三校考开学考试)已知函数,.
(1)当时,求曲线在处的切线方程;
(2)设,是的两个不同零点,证明:.
变式11.(2023·海南·海南华侨中学校考模拟预测)已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若存在,且,使得,求证:.
题型二:极值点偏移:减法型
例4.(2023·全国·模拟预测)已知函数.
(1)求函数的单调区间与极值.
(2)若,求证:.
例5.(2023·全国·高三专题练习)已知函数,(其中是自然对数的底数)
(1)试讨论函数的零点个数;
(2)当时,设函数的两个极值点为、且,求证:.
例6.(2023·四川成都·高二川大附中校考期中)已知函数.
(1)若在定义域上不单调,求的取值范围;
(2)设分别是的极大值和极小值,且,求的取值范围.
题型三:极值点偏移:乘积型
例7.(2023·全国·高三统考阶段练习)已知函数.
(1)当,和有相同的最小值,求的值;
(2)若有两个零点,求证:.
例8.(2023·全国·高三专题练习)已知函数.
(1)证明:.
(2)若函数,若存在使,证明:.
例9.(2023·全国·高三专题练习)已知函数,.
(1)求证:,;
(2)若存在、,且当时,使得成立,求证:.
变式12.(2023·全国·高二专题练习)已知函数.
(1)证明:若,则;
(2)证明:若有两个零点,,则.
变式13.(2023·江西南昌·南昌县莲塘第一中学校联考二模)已知函数,.
(1)当时,恒成立,求a的取值范围.
(2)若的两个相异零点为,,求证:.
变式14.(2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测)已知.
(1)当时,讨论函数的极值点个数;
(2)若存在,,使,求证:.
变式15.(2023·北京通州·统考三模)已知函数
(1)已知f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为,求实数a的值;
(2)已知f(x)在定义域上是增函数,求实数a的取值范围.
(3)已知有两个零点,,求实数a的取值范围并证明.
题型四:极值点偏移:商型
例10.(2023·浙江杭州·高三浙江大学附属中学校考期中)已知函数,其中为自然对数的底数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若,且,证明:.
例11.(2023·全国·统考高考真题)已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)设,为两个不相等的正数,且,证明:.
例12.(2023·全国·高三专题练习)已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)设,为两个不相等的正数,且,证明:.
变式16.(2023·广东茂名·茂名市第一中学校考三模)已知函数,.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若关于的方程有两个不相等的实数根、,
(ⅰ)求实数a的取值范围;
(ⅱ)求证:.
题型五:极值点偏移:平方型
例13.(2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测)已知函数.
(1)讨论函数的单调性:
(2)若是方程的两不等实根,求证:;
例14.(2023·全国·高二专题练习)已知函数.
(1)若,求实数的取值范围;
(2)若有2个不同的零点(),求证:.
例15.(2023·全国·高二专题练习)已知函数,.
(1)若,求的取值范围;
(2)证明:若存在,,使得,则.
变式17.(2023·全国·高三专题练习)已知函数
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若,且,证明: .
变式18.(2023·全国·高三专题练习)已知函数,.
(1)当时,求曲线在点处的切线方程;
(2)若,,求证:.
题型六:极值点偏移:混合型
例16.(2023·全国·高三专题练习)已知函数(为自然对数的底数,).
(1)求的单调区间和极值;
(2)若存在,满足,求证:.
例17.(2023·全国·高三专题练习)已知函数.
(1)若f(1)=2,求a的值;
(2)若存在两个不相等的正实数,满足,证明:
①;
②.
例18.(2023·全国·高三专题练习)已知函数,在其定义域内有两个不同的极值点.
(1)求的取值范围;
(2)记两个极值点为,,且,当时,求证:不等式恒成立.
变式19.(2023·陕西宝鸡·校考模拟预测)已知.
(1)求的单调区间;
(2)当时,若关于x的方程存在两个正实数根,证明:且.
变式20.(2023·全国·高三专题练习)已知函数.
(1)判断函数的单调性;
(2)若方程有两个不同的根,求实数的取值范围;
(3)如果,且,求证:.
变式21.(2023·天津河西·统考二模)设,函数.
(1)若,求曲线在处的切线方程;
(2)若无零点,求实数的取值范围;
(3)若有两个相异零点,求证:.
变式22.(2023·四川成都·高二四川省成都列五中学校考阶段练习)已知函数,.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若时,都有,求实数a的取值范围;
(3)若有不相等的两个正实数,满足,证明:.
变式23.(2023·全国·高三专题练习)已知函数,其中a,b为常数,为自然对数底数,.
(1)当时,若函数,求实数b的取值范围;
(2)当时,若函数有两个极值点,,现有如下三个命题:
①;②;③;
请从①②③中任选一个进行证明.
(注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分)
变式24.(2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测)已知函数.
(1)讨论的单调性和最值;
(2)若关于的方程有两个不等的实数根,求证:.
变式25.(2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模)已知函数.
(1)若有两个零点,的取值范围;
(2)若方程有两个实根、,且,证明:.
变式26.(2023·广东佛山·高二统考期末)已知函数,其中.
(1)若,求的极值:
(2)令函数,若存在,使得,证明:.
变式27.(2023·全国·高三专题练习)已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若时,都有,求实数的取值范围;
(3)若有不相等的两个正实数满足,求证:.
题型七:拐点偏移问题
例19.(2023·全国·高三专题练习)已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程.
(2)若正实数满足,求证:.
例20.(2023·全国·高三专题练习)已知函数,,当时,恒成立.
(1)求实数的取值范围;
(2)若正实数、满足,证明:.
例21.(2023·陕西咸阳·统考模拟预测)已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)(ⅰ)若对于任意,都有,求实数的取值范围;
(ⅱ)设,且,求证:.
变式28.(2023·全国·高三专题练习)已知函数.
(1)当时,讨论函数的单调性;
(2)当时,设,若正实数,,满足,求证:
变式29.(2023·江苏盐城·江苏省东台中学校考一模)已知函数,.
(1)若在处取得极值,求的值;
(2)设,试讨论函数的单调性;
(3)当时,若存在正实数满足,求证:.
变式30.(2023·全国·高三专题练习)已知函数,.
(1)若在处取得极值,求的值;
(2)设,试讨论函数的单调性;
(3)当时,若存在实数,满足,求证:.
变式31.(2023·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习)已知函数,.
(1)讨论函数的单调性;
(2)对实数,令,正实数,满足,求的最小值.
变式32.(2023·全国·高三专题练习)已知函数,.
(1)若在处取得极值,求的值;
(2)设,试讨论函数的单调性;
(3)当时,若存在正实数满足,求证:.
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