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    重难点突破05 极值点偏移问题与拐点偏移问题(七大题型)-2024年高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)(原卷版)

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    重难点突破05 极值点偏移问题与拐点偏移问题(七大题型)-2024年高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)(原卷版)

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    这是一份重难点突破05 极值点偏移问题与拐点偏移问题(七大题型)-2024年高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)(原卷版),共17页。试卷主要包含了极值点偏移的相关概念,对称变换等内容,欢迎下载使用。


    重难点突破05 极值点偏移问题与拐点偏移问题

    目录

    1、极值点偏移的相关概念

    所谓极值点偏移,是指对于单极值函数,由于函数极值点左右的增减速度不同,使得函数图像没有对称性。若函数处取得极值,且函数与直线交于两点,则的中点为,而往往。如下图所示。

                

    1 极值点不偏移                     2  极值点偏移

    极值点偏移的定义:对于函数在区间内只有一个极值点,方程的解分别为,且,(1)若,则称函数在区间上极值点偏移;(2)若,则函数在区间上极值点左偏,简称极值点左偏;(3)若,则函数在区间上极值点右偏,简称极值点右偏。

    2对称变换

    主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题.其解题要点如下:(1)定函数(极值点为),即利用导函数符号的变化判断函数单调性,进而确定函数的极值点x0.

    (2)构造函数,即根据极值点构造对称函数,若证 ,则令.

    (3)判断单调性,即利用导数讨论的单调性.

    (4)比较大小,即判断函数在某段区间上的正负,并得出的大小关系.

    (5)转化,即利用函数的单调性,将的大小关系转化为之间的关系,进而得到所证或所求.

    【注意】若要证明的符号问题,还需进一步讨论x0的大小,得出所在的单调区间,从而得出该处导数值的正负.

    构造差函数是解决极值点偏移的一种有效方法,函数的单调性是函数的重要性质之一,它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关,但如果我们能挖掘其内在联系,抓住其本质,那么运用函数的单调性解题,能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识,并掌握好使用的技巧和方法,这是非常必要的.根据题目的特点,构造一个适当的函数,利用它的单调性进行解题,是一种常用技巧.许多问题,如果运用这种思想去解决,往往能获得简洁明快的思路,有着非凡的功效

    3应用对数平均不等式证明极值点偏移:

    由题中等式中产生对数;

    将所得含对数的等式进行变形得到

    利用对数平均不等式来证明相应的问题.

    4比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径,然后构造函数利用函数的单调性证明题中的不等式即可.

    题型一:极值点偏移:加法型

    12023·河南周口·高二校联考阶段练习)已知函数

    (1),求的单调区间;

    (2)是方程的两个实数根,证明:

     

     

     

     

    22023·河北石家庄·高三校联考阶段练习)已知函数.

    (1)求函数的单调区间;

    (2)若函数有两个零点,证明.

     

     

     

     

    32023·广东深圳·高三红岭中学校考期末)已知函数.

    (1)讨论函数的单调性;

    (2)证明函数为自然对数的底数)在区间内有唯一的零点;

    中函数的零点为,记(其中表示中的较小值),若在区间内有两个不相等的实数根,证明:.

     

     

     

     

    变式12023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测)已知函数为其极小值点.

    (1)求实数的值;

    (2)若存在,使得,求证:

     

     

     

     

    变式22023·湖北武汉·高二武汉市第六中学校考阶段练习)已知函数a为实数.

    (1)求函数的单调区间;

    (2)若函数处取得极值,是函数的导函数,且,证明:

     

     

     

     

    变式32023·江西景德镇·统考模拟预测)已知函数

    (1)若函数在定义域上单调递增,求的最大值;

    (2)若函数在定义域上有两个极值点,若,求的最小值.

     

     

     

     

    变式42023·全国·模拟预测)已知函数

    (1)讨论函数的极值点的个数;

    (2)若函数恰有三个极值点,且,求的最大值.

     

     

     

     

    变式52023·广西玉林·高二广西壮族自治区北流市高级中学校联考阶段练习)已知函数

    (1)讨论函数f(x)的单调性;

    (2)时,若,求证:

     

     

     

     

    变式62023·安徽·高二安徽师范大学附属中学校考阶段练习)已知函数

    (1)为定义域上的增函数,求a的取值范围;

    (2),设函数,且,求证:

     

     

     

     

    变式72023·全国·高二专题练习)已知函数).

    (1)试讨论函数的单调性;

    (2)若函数有两个零点),求证:

     

     

     

     

    变式82023·全国·高二专题练习)已知函数.

    (1)讨论的单调性;

    (2)有两个零点,证明:.

     

     

     

     

    变式92023·全国·高三专题练习)设函数.

    (1)恒成立,求实数的取值范围;

    (2)已知方程有两个不同的根,求证:,其中为自然对数的底数.

     

     

     

     

    变式102023·江西宜春·高三校考开学考试)已知函数.

    (1)时,求曲线处的切线方程;

    (2)的两个不同零点,证明:.

     

     

     

     

    变式112023·海南·海南华侨中学校考模拟预测)已知函数.

    (1)讨论的单调性;

    (2)若存在,且,使得,求证:.

     

     

     

     

    题型二:极值点偏移:减法型

    42023·全国·模拟预测)已知函数

    (1)求函数的单调区间与极值.

    (2),求证:

     

     

     

     

    52023·全国·高三专题练习)已知函数(其中是自然对数的底数)

    (1)试讨论函数的零点个数;

    (2)时,设函数的两个极值点为,求证:.

     

     

     

     

    62023·四川成都·高二川大附中校考期中)已知函数.

    1)若在定义域上不单调,求的取值范围;

    2)设分别是的极大值和极小值,且,求的取值范围.

     

     

     

     

    题型三:极值点偏移:乘积型

    72023·全国·高三统考阶段练习)已知函数

    (1)有相同的最小值,求的值;

    (2)有两个零点,求证:

     

     

     

     

    82023·全国·高三专题练习)已知函数.

    (1)证明:.

    (2)若函数,若存在使,证明:.

     

     

     

     

    92023·全国·高三专题练习)已知函数.

    (1)求证:

    (2)若存在,且当时,使得成立,求证:.

     

     

     

     

    变式122023·全国·高二专题练习)已知函数

    (1)证明:若,则

    (2)证明:若有两个零点,则

     

     

     

     

    变式132023·江西南昌·南昌县莲塘第一中学校联考二模)已知函数

    (1)时,恒成立,求a的取值范围.

    (2)的两个相异零点为,求证:

     

     

     

     

    变式142023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测)已知

    (1)时,讨论函数的极值点个数;

    (2)若存在,使,求证:

     

     

     

     

    变式152023·北京通州·统考三模)已知函数

    (1)已知fx)在点(1f1))处的切线方程为,求实数a的值;

    (2)已知fx)在定义域上是增函数,求实数a的取值范围.

    (3)已知有两个零点,求实数a的取值范围并证明.

     

     

     

     

    题型四:极值点偏移:商型

    102023·浙江杭州·高三浙江大学附属中学校考期中)已知函数,其中为自然对数的底数.

    1)讨论函数的单调性;

    2)若,且,证明:.

     

     

     

     

    112023·全国·统考高考真题)已知函数.

    1)讨论的单调性;

    2)设为两个不相等的正数,且,证明:.

     

     

     

     

    122023·全国·高三专题练习)已知函数.

    (1)讨论的单调性;

    (2)为两个不相等的正数,且,证明:.

     

     

     

     

    变式162023·广东茂名·茂名市第一中学校考三模)已知函数

    (1)讨论函数的单调性;

    (2)若关于的方程有两个不相等的实数根

    )求实数a的取值范围;

    )求证:

     

     

     

     

    题型五:极值点偏移:平方型

    132023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测)已知函数.

    (1)讨论函数的单调性:

    (2)是方程的两不等实根,求证:

     

     

     

     

    142023·全国·高二专题练习)已知函数.

    (1),求实数的取值范围;

    (2)2个不同的零点),求证:.

     

     

     

     

    152023·全国·高二专题练习)已知函数

    (1),求的取值范围;

    (2)证明:若存在,使得,则

     

     

     

     

    变式172023·全国·高三专题练习)已知函数

    (1)讨论f(x)的单调性;

    (2),且,证明: .

     

     

     

     

    变式182023·全国·高三专题练习)已知函数.

    1)当时,求曲线在点处的切线方程;

    2)若,求证:.

     

     

     

     

    题型六:极值点偏移:混合型

    162023·全国·高三专题练习)已知函数为自然对数的底数,).

    (1)的单调区间和极值;

    (2)若存在,满足,求证:

     

     

     

     

    172023·全国·高三专题练习)已知函数.

    (1)f1=2,求a的值;

    (2)若存在两个不相等的正实数,满足,证明:

    .

     

     

     

     

    182023·全国·高三专题练习)已知函数,在其定义域内有两个不同的极值点.

    (1)的取值范围;

    (2)记两个极值点为,且,当时,求证:不等式恒成立.

     

     

     

     

    变式192023·陕西宝鸡·校考模拟预测)已知

    1)求的单调区间;

    2)当时,若关于x的方程存在两个正实数根,证明:

     

     

     

     

    变式202023·全国·高三专题练习)已知函数

    1)判断函数的单调性;

    2)若方程有两个不同的根,求实数的取值范围;

    3)如果,且,求证:

     

     

     

     

    变式212023·天津河西·统考二模)设,函数

    1)若,求曲线处的切线方程;

    2)若无零点,求实数的取值范围;

    3)若有两个相异零点,求证:

     

     

     

     

    变式222023·四川成都·高二四川省成都列五中学校考阶段练习)已知函数.

    (1)讨论fx)的单调性;

    (2)时,都有,求实数a的取值范围;

    (3)若有不相等的两个正实数满足,证明:.

     

     

     

     

    变式232023·全国·高三专题练习)已知函数,其中ab为常数,为自然对数底数,

    (1)时,若函数,求实数b的取值范围;

    (2)时,若函数有两个极值点,现有如下三个命题:

    请从①②③中任选一个进行证明.

    (注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分)

     

     

     

     

    变式242023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测)已知函数.

    (1)讨论的单调性和最值;

    (2)若关于的方程有两个不等的实数根,求证:.

     

     

     

     

    变式252023·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模)已知函数.

    (1)有两个零点,的取值范围;

    (2)若方程有两个实根,且,证明:.

     

     

     

     

    变式262023·广东佛山·高二统考期末)已知函数,其中

    (1),求的极值:

    (2)令函数,若存在使得,证明:

     

     

     

     

    变式272023·全国·高三专题练习)已知函数.

    (1)讨论的单调性;

    (2)时,都有,求实数的取值范围;

    (3)若有不相等的两个正实数满足,求证:.

     

     

     

     

    题型七:拐点偏移问题

    192023·全国·高三专题练习)已知函数.

    1)求曲线在点处的切线方程.

    2)若正实数满足,求证:.

     

     

     

     

    202023·全国·高三专题练习)已知函数,当时,恒成立.

    (1)求实数的取值范围;

    (2)若正实数满足,证明:

     

     

     

     

    212023·陕西咸阳·统考模拟预测)已知函数.

    (1)求曲线在点处的切线方程;

    (2))若对于任意,都有,求实数的取值范围;

    )设,且,求证:.

     

     

     

     

    变式282023·全国·高三专题练习)已知函数.

    1)当时,讨论函数的单调性;

    2)当时,设,若正实数,满足,求证:

     

     

     

     

    变式292023·江苏盐城·江苏省东台中学校考一模)已知函数

    (1)处取得极值,求的值;

    (2),试讨论函数的单调性;

    (3)时,若存在正实数满足,求证:

     

     

     

     

    变式302023·全国·高三专题练习)已知函数

    (1)处取得极值,求的值;

    (2),试讨论函数的单调性;

    (3)时,若存在实数满足,求证:

     

     

     

     

    变式312023·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习)已知函数.

    1)讨论函数的单调性;

    2)对实数,令,正实数满足,求的最小值.

     

     

     

     

    变式322023·全国·高三专题练习)已知函数.

    1)若处取得极值,求的值;

    2)设,试讨论函数的单调性;

    3)当时,若存在正实数满足,求证:.

     

     

     

     


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