专题05 极值点偏移问题与拐点偏移问题 -新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧与题型全归纳（新高考专用）

专题05 极值点偏移问题与拐点偏移问题

【考点预测】

1.极值点偏移的相关概念

所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性。若函数在处取得极值，且函数与直线交于两点，则的中点为，而往往。如下图所示。

图1 极值点不偏移                     图2  极值点偏移

极值点偏移的定义：对于函数在区间内只有一个极值点，方程的解分别为，且，（1）若，则称函数在区间上极值点偏移；（2）若，则函数在区间上极值点左偏，简称极值点左偏；（3）若，则函数在区间上极值点右偏，简称极值点右偏。

【方法技巧与总结】

1.对称变换

主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：(1)定函数(极值点为)，即利用导函数符号的变化判断函数单调性，进而确定函数的极值点x0.

(2)构造函数，即根据极值点构造对称函数，若证 ，则令.

(3)判断单调性，即利用导数讨论的单调性．

(4)比较大小，即判断函数在某段区间上的正负，并得出与的大小关系．

(5)转化，即利用函数的单调性，将与的大小关系转化为与之间的关系，进而得到所证或所求．

【注意】若要证明的符号问题，还需进一步讨论与x0的大小，得出所在的单调区间，从而得出该处导数值的正负．

构造差函数是解决极值点偏移的一种有效方法，函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效

2.应用对数平均不等式证明极值点偏移：

①由题中等式中产生对数；

②将所得含对数的等式进行变形得到；

③利用对数平均不等式来证明相应的问题.

3. 比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的单调性证明题中的不等式即可.

【题型归纳目录】

题型一：极值点偏移:加法型

题型二：极值点偏移:减法型

题型三：极值点偏移:乘积型

题型四：极值点偏移:商型

题型五：极值点偏移:平方型

题型六：拐点偏移问题

【典例例题】

题型一：极值点偏移:加法型

例1．（2022•浙江期中）已知函数有两个不同的零点，．

（1）求实数的取值范围；

（2）证明：．

例2．（2022•汕头一模）已知函数有两个相异零点，．

（1）求的取值范围；

（2）求证：．

例3．（海淀区校级月考）已知函数，．

（Ⅰ）求曲线在点，（1）处的切线方程；

（Ⅱ）若，求的零点个数；

（Ⅲ）若有两个零点，，证明：．

例4．（2022•江门一模）已知函数，是常数．

（Ⅰ）求曲线在点，（2）处的切线方程，并证明对任意，切线经过定点；

（Ⅱ）证明：时，设、是的两个零点，且．

题型二：极值点偏移:减法型

例5．（2022•七星区校级月考）已知函数．

（1）若在上单调递减，求的取值范围；

（2）若在处的切线斜率是，证明有两个极值点，且．

例6．（2022•常熟市月考）设函数，，其中．

（1）若，证明：当时，；

（2）设，且，其中是自然对数的底数．

①证明恰有两个零点；

②设如为的极值点，为的零点，且，证明：．

例7．（2022•黄州区校级模拟）已知函数，的导数为．

（1）当时，讨论的单调性；

（2）设，方程有两个不同的零点，，求证：．

例8．（2022•道里区校级二模）已知函数，为函数的导数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若当时，函数与的图象有两个交点，，，，求证：．

题型三：极值点偏移:乘积型

例9．（2021春•汕头校级月考）已知，函数，其中．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数有两个零点，

求的取值范围；

设的两个零点分别为，，证明：．

例10．（2022•攀枝花模拟）已知函数有最小值，且．

（Ⅰ）求的最大值；

（Ⅱ）当取得最大值时，设（b），有两个零点为，，证明：．

例11．（2022•张家口二模）已知函数是自然对数的底数）有两个零点．

（1）求实数的取值范围；

（2）若的两个零点分别为，，证明：．

例12．（2022•武进区校级月考）已知函数．

（1）若函数在处的切线与轴平行，求的值；

（2）若存在，，使不等式对于，恒成立，求的取值范围；

（3）若方程有两个不等的实数根、，试证明．

题型四：极值点偏移:商型

例13．已知函数有两个相异零点、，且，求证：．

例14．（2022•新疆模拟）已知函数．

（1）当时，求的单调区间；

（2）已知，，为函数的两个极值点，求的最大值．

例15．（2021春•湖北期末）已知函数．

（1）当时，讨论函数的单调性：

（2）若函数恰有两个极值点，，且，求的最大值．

例16．（2022•宁德三模）已知函数．

（1）当时，讨论函数的单调性：

（2）若函数恰有两个极值点，，且，求的最大值．

题型五：极值点偏移:平方型

例17．（2022•广州一模）已知函数．

（1）证明：曲线在点，（1）处的切线恒过定点；

（2）若有两个零点，，且，证明：．

例18．（2022•浙江开学）已知，（其中为自然对数的底数）．

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若，函数有两个零点，，求证：．

例19．（2021秋•泉州月考）已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若是自然对数的底数），且，，，证明：．

例20．（2022•开封三模）已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若，对于任意，证明：．

题型六：拐点偏移问题

例21．已知函数．

（1）求曲线在点，（1）处的切线方程．

（2）若正实数，满足，求证：．

例22．已知函数．

（1）当时，讨论函数的单调性；

（2）当时，设，若正实数，，满足，求证：．

例23．已知函数，．

（Ⅰ）若在处取得极值，求的值；

（Ⅱ）设，试讨论函数的单调性；

（Ⅲ）当时，若存在正实数，满足，求证：．

【过关测试】

1．（2022·天津河东·二模）已知函数（且）．

(1)，求函数在处的切线方程．

(2)讨论函数的单调性；

(3)若函数有两个零点，且，证明：．

2．（2022·河北·沧县中学高二阶段练习）已知函数有两个不同的零点.

(1)求实数的取值范围；

(2)求证：.

3．（2022·江苏泰州·模拟预测）已知函数，其中a，b为常数，为自然对数底数，．

(1)当时，若函数，求实数b的取值范围；

(2)当时，若函数有两个极值点，，现有如下三个命题：

①；②；③；

请从①②③中任选一个进行证明．

（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）

4．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知函数

(1)求证：当时，；

(2)当方程有两个不等实数根时，求证：

5．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知函数，（其中是自然对数的底数）

(1)试讨论函数的零点个数；

(2)当时，设函数的两个极值点为、且，求证：.

6．（2022·安徽淮南·二模（理））已知函数．

(1)若，证明：时，；

(2)若函数恰有三个零点，证明：．

7．（2022·湖南·岳阳一中一模）已知函数.

(1)讨论的单调性和最值；

(2)若关于的方程有两个不等的实数根，求证：.

8．（2022·山东·青岛二中高三期末）已知函数，.

(1)讨论f（x）的单调性；

(2)若时，都有，求实数a的取值范围；

(3)若有不相等的两个正实数，满足，证明：.

9．（2021·广东·新会陈经纶中学高三阶段练习）已知函数.

(1)讨论的单调性；

(2)设，为两个不相等的正数，且，证明：.

10．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)当时，若函数，求的单调区间；

(3)当时，若函数恰有两个不同的极值点、，且，求证：.

11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数（为自然对数的底数，）．

(1)求的单调区间和极值；

(2)若存在，满足，求证：．

12．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.

(1)若f（1）=2，求a的值；

(2)若存在两个不相等的正实数，满足，证明：

①；

②.

13．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知函数.

(1)求的单调区间；

(2)已知，且，若，求证：.