考点19 任意角、弧度制及三角函数的概念4种常见考法归类-备战2024年高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用)（原卷版）

这是一份考点19 任意角、弧度制及三角函数的概念4种常见考法归类-备战2024年高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用)（原卷版），共16页。试卷主要包含了象限角与终边相同的角，扇形的弧长与面积问题，三角函数的定义及应用，三角函数函数值符号的确定等内容，欢迎下载使用。

考点19 任意角、弧度制及三角函数的概念4种常见考法归类

考点一 象限角与终边相同的角
（一）终边相同的角
（二）象限角
（三）区域角的表示
考点二 扇形的弧长与面积问题
（一）弧长的有关计算
（二）扇形面积的有关计算
（三）扇形中的最值问题
（四）扇形弧长公式与面积公式的应用
考点三 三角函数的定义及应用
（一）利用定义求角的三角函数值
（二）由三角函数值求终边上的点或参数
（三）由单位圆求三角函数值
（四）已知角α的终边在直线上求三角函数值
考点四 三角函数函数值符号的确定
（一）已知角或角的范围确定三角函数式的符号
（二）由三角函数式的符号确定角的范围或象限



1. 象限角的2种判断方法
图象法
在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角
转化法
先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角
注：注意正角、第一象限角和锐角的联系与区别，正角可以是任一象限角，也可以是坐标轴角；锐角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐标轴角．
2. 求或nθ(n∈N*)所在象限的步骤
(1)将θ的范围用不等式(含有k，且k∈Z)表示；
(2)两边同除以n或乘以n；
(3)对k进行讨论，得到或nθ(n∈N*)所在的象限．
3. 利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角
先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角．
4. “顺转减，逆转加”的应用
注意“顺转减，逆转加”的应用，如角α的终边逆时针旋转180°可得角α＋180°的终边，类推可知α＋k·180°(k∈Z)表示终边落在角α的终边所在直线上的角。

5.角度制和弧度制的互化：
—
6.扇形的弧长和面积公式
扇形的弧长公式：，扇形的面积公式：．
7.有关弧长及扇形面积问题的注意点
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度；
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决；
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
8.三角函数的定义中常见的四种题型及解决方法
(1) 求已知角三角函数值，一般求已知角的终边与单位圆的交点坐标，再利用三角函数的定义求解．
(2) 已知角α终边上一点P的坐标，求角α的三角函数值，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解．，，.
（注：利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值时，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x，纵坐标y，该点到原点的距离r．）
(3)已知角α的一个三角函数值和终边上一点P的横坐标或纵坐标，求角α的三角函数值．
先求出点P到原点的距离(带参数)，根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题；
（注：当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.）
(4)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：
①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用三角函数的定义求出相应的三角函数值．
②注意到角的终边为直线，所以应分两种情况来处理，取射线上任一点坐标(a，b)(a≠0)，则对应角的正弦值sin α＝，余弦值cos α＝，正切值tan α＝.
（注：若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意“在终边上任取一点”应分两种情况（点所在象限不同）进行分析．）

9.特殊角的三角函数值
角α
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
270°
360°
角α的
弧度数
0







π

2π
sinα
0



1



0
－1
0
cosα
1



0
－
－
－
－1
0
1
tanα
0

1

不存
在
－
－1
－
0
不存
在
0

注：sin15°＝，sin75°＝，tan15°＝2－，tan75°＝2＋.

10.三角函数的定义域和函数值在各象限的符号
三角函数
第一象限符号
第二象限符号
第三象限符号
第四象限符号
sin α
＋
＋
－
－
cos α
＋
－
－
＋
tan α
＋
－
＋
－

11.三角函数值符号及角所在象限的判断
三角函数值在各个象限的符号与角的终边上的点的坐标密切相关．sin α在一、二象限为正，cos α在一、四象限为正，tan α在一、三象限为正．学习时首先把取正值的象限记清楚，其余的象限就是负的，如sin α在一、二象限为正，那么在三、四象限就是负的．值得一提的是：三角函数的正负有时还要考虑坐标轴上的角，如sin ＝1>0，cos π＝－1<0．　
12. 三角不等式的重要结论
0<α<时，sinα<α

考点一 象限角与终边相同的角
（一）终边相同的角
1．（2023湖北省十堰市天河英才高中月考）下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是（    ）
A． B．
C． D．
2．（2023山东）终边在轴的正半轴上的角的集合是（    ）
A． B．
C． D．
3．【多选】（2023广西河池市期末）在范围内，与角终边相同的角是（    ）
A． B． C． D．
4．（2023北京市昌平区期末）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，则“角与角的终边关于轴对称”是“”的（    ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2023广州市培正中学）设集合M＝{x|x＝×180°＋45°，k∈Z}，N＝{x|x＝×180°＋45°，k∈Z}，那么(   　)
A．M＝N B．N⊆M C．M⊆N D．M∩N＝∅
（二）象限角
6．（2023陕西省榆林市第十中学第一次月考）若角是第一象限角，则是（    ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角
7．（2023高三专题训练）已知角第二象限角，且，则角是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
8．（2023高三专题训练）角的终边属于第一象限，那么的终边不可能属于的象限是（    ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．（2023天津市红桥区期末）已知是锐角,那么是
A．第一象限角 B．第二象限角
C．小于的正角 D．不大于直角的正角
10．（2023高三专题训练）若是第四象限角，则是第（   ）象限角
A．一 B．二 C．三 D．四
（三）区域角的表示
11．（2023高三专题训练）集合中的角所表示的范围(阴影部分)是（    ）
A． B．C．D．
12．（2023高三专题训练）如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界).
（1）；
（2）

13．（2023高三专题训练）如图所示，终边在阴影区域内（含边界）的角的集合为______．




考点二 扇形的弧长与面积问题
（一）弧长的有关计算
14．（2023春·北京丰台·高三统考期中）已知扇形的半径为2，圆心角为，则其弧长为_________.
15．（2023·全国·高三专题练习）已知圆锥展开图的侧面积为2π，且为半圆，则底面圆半径为_______．
16．（湖南省部分市2023届高三下学期3月大联考数学试题）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，书中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，则直角圆锥侧面展开图的圆心角的弧度数为（    ）
A． B． C． D．
17．（2023高三专题训练）如图，在平面直角坐标系中，一单位圆的圆心的初始位置为（0，1），此时圆上一点的位置为（0，0），该圆沿轴正向滚动，当圆滚动到圆心位于（2，1）时，点的坐标为______.

18．（陕西省西安市周至县2023届高三下学期二模理科数学试题）折扇在我国已有三千多年的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1），图2为其结构简化图，设扇面A，B间的圆弧长为，A，B间的弦长为d，圆弧所对的圆心角为（为弧度角），则､d和所满足的恒等关系为（    ）

A． B．
C． D．
19．（广西邕衡金卷2023届高三一轮复习诊断性联考数学（理）试题）如图，在扇形中，C是弦的中点，D在上，．其中，长为．则的长度约为（提示：时，）（    ）

A． B． C． D．
20．【多选】（2023高三专题训练）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆与x轴正半轴交于点．已知点在圆O上，点T的坐标是，则下列说法中正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则
C．，则 D．若，则
21．（贵州省贵阳市2023届高三适应性考试（二）数学（文）试题）已知正方体的棱长为4，点P在该正方体的表面上运动，且，则点P的轨迹长度是________．

22．（2023高三专题训练）掷铁饼是一项体育竞技活动．如图，这是一位掷铁饼运动员在准备掷出铁饼的瞬间，张开的双臂及肩部近似看成一张拉满弦的“弓”．经测量，此时两手掌心之间的弧长是，“弓”所在圆的半径为米，则这位掷铁饼运动员两手掌心之间的距离约为（参考数据：，）（    ）

A．米 B．米
C．米 D．米
（二）扇形面积的有关计算
23．（2023河南省许昌市鄢陵县职业教育中心期末）已知扇形的半径为1，圆心角为30°，则扇形的面积为（    ）
A．30 B． C． D．
24．（上海市长宁区2023届高三二模数学试题）已知圆锥侧面展开图的圆心角为，底面周长为，则这个圆锥的体积为___________．
25．（福建省连城县第一中学2022-2023学年高三上学期第二次月考数学试题）《九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形田面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代的算法一致，根据这一算法解决下列问题：现有一扇形田，下周长（弧长）为20米，径长（两段半径的和）为20米，则该扇形田的面积为_____平方米.
26．（北京市陈经纶中学2022-2023学年高三上学期12月诊断数学试题）以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，所以以他的名字命名．一些地方的市政检修井盖、方孔转机等都有应用勒洛三角形如图，已知某勒洛三角形的三段弧的总长度为，则该勒洛三角形的面积为（    ）

A． B． C． D．
27．（2023高三专题训练）中国古代数学专著《九章算术》的第一章“方田”中载有“半周半径相乘得积步”，其大意为：圆的半周长乘以其半径等于圆面积.南北朝时期杰出的数学家祖冲之曾用圆内接正多边形的面积“替代”圆的面积，并通过增加圆内接正多边形的边数n使得正多边形的面积更接近圆的面积，从而更为“精确”地估计圆周率π.据此，当n足够大时，可以得到π与n的关系为（    ）

A． B． C． D．
28．（山西省长治市辅成学校2023届高三上学期1月大联考（新高考卷）数学试题）水滴是刘慈欣的科幻小说《三体II·黑暗森林》中提到的由三体文明使用强互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水滴.如图所示，水滴是由线段和圆的优弧围成，其中恰好与圆弧相切.若圆弧所在圆的半径为1，点到圆弧所在圆圆心的距离为2，则该封闭图形的面积为（    ）

A． B． C． D．
29．（湖南省衡阳市名校协作体2023届高三全真模拟适应性考试数学试题）两千多年前，我国首部数学专著《九章算术》是数学的瑰宝，世人惊叹祖先的智慧.其中早就提出了宛田（扇形面积）的计算方法：“以径乘周，四而一”（意思是说直径与弧长乘积的四分之一），已知扇形的圆心角为，弧长为，且，则它的面积为（    ）
A． B． C． D．
30．（广西柳州高级中学、南宁市第三中学2023届高三联考数学（文）试题）圣彼得大教堂坐落在梵蒂冈城内，是世界上最大的天主教教堂作为最杰出的文艺复兴建筑和世界上最大的教堂，它是典型的哥特式建筑，哥特式建筑的特点之一就是窗门处使用尖拱造型，其结构是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形．如图，所在圆的圆心O在线段AB上，若，，则扇形OAC的面积为___．

（三）扇形中的最值问题
31．（天津市河东区2023届高三一模数学试题）在面积为4的扇形中，其周长最小时半径的值为（    ）
A．4 B． C．2 D．1
32．（2023高三专题训练）已知扇形的周长为30cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
33．（2023高三专题训练）已知扇形的圆心角是，半径是，弧长为.
(1)若，求扇形的面积；
(2)若扇形的周长为，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数．
34．（广东省揭阳市普通高中2023届高三上学期期末数学试题）如图，四边形ABCD是边长为的正方形，P是圆弧上的动点，且，Q是线段BC上的动点.当点P固定时，点Q将运动到使取到最小值时的位置；当点Q固定时，点P将运动到使取到最大值时的位置.当某一时刻，点P，Q都不再运动，且满足上述条件时，则（    ）

A． B． C．2 D．不存在
35．（2023·山东济南·济南市历城第二中学校考二模）如图，圆心角为的扇形的半径为2，点C是弧AB上一点，作这个扇形的内接矩形．

(1)求扇形的周长；
(2)当点C在什么位置时，矩形的面积最大？并求出面积的最大值．
36．（2023·全国·高三专题练习）某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的）.已知，，线段BA，CD与，的长度之和为30，圆心角为弧度.

(1)求关于x的函数表达式；
(2)记铭牌的截面面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值.
（四）扇形弧长公式与面积公式的应用
37．（辽宁省朝阳市第一高级中学2022-2023学年高三下学期期中数学试题）已知扇形的面积为4，圆心角的弧度数是2，则该扇形的半径为________．
38．（浙江省S9联盟2022-2023学年高三下学期期中数学试题）已知扇形的面积为，该扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的弧长为____________cm．
39．（2023高三专题训练）已知扇形的周长是6cm，面积是，则扇形的中心角的弧度数是（    ）
A．1 B．4 C．1或4 D．2或4
40．（2023山东省威海市乳山市银滩高级中学月考）如图，扇形AOB的面积是1，它的弧长是2，则弦AB的长为________．

41．（山东省济南市2022-2023学年高三下学期开学考试数学试题）已知圆锥侧面展开图的周长为，面积为，则该圆锥的体积为______．
42．（山西省太原市2023届高三上学期期末数学试题）中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，垂直于底面，，，底面扇环所对的圆心角为，弧的长度是弧长度的2倍，，则该曲池的体积为（    ）

A． B． C． D．
考点三 三角函数的定义及应用
（一）利用定义求角的三角函数值
43．（2023高三专题训练）已知角的终边经过点，则的值为（　　）
A． B． C． D．
44．（山西省临汾市2023届高三二模数学试题）已知点是角终边上一点，则的值为（    ）
A． B． C． D．
45．（北京市房山区2023届高三二模数学试题）已知角终边过点，角终边与角终边关于轴对称，则______；______．
46．（四川省攀枝花市2023届高三第三次统一考试理科数学试题）已知为锐角，，角的终边上有一点，则（    ）
A． B．
C． D．
47．（四川省宜宾市2023届高三下学期第二次诊断性测试理科数学试题）四边形由如图所示三个全等的正方形拼接而成，令，，则（    ）

A．1 B． C． D．
（二）由三角函数值求终边上的点或参数
48．（江苏省扬州市2021-2022学年高三上学期期末数学试题）已知角的终边上一点，则（    ）
A． B．
C． D．以上答案都不对
49．（河南省开封市2023届高三第三次模拟考试理科数学试题）设α是第二象限角，P（x，1）为其终边上一点，且，则tanα=（    ）
A． B． C． D．
50．（2023高三专题训练）已知角的终边经过点，且，求的值.
51．（北京市八一学校2023届高三下学期3月月考数学试题）已知角终边经过点，且，则的值为_________．
52．（2023高三专题训练）已知角的终边过点，若，则实数m的值为（    ）
A． B．4 C．或3 D．或4
（三）由单位圆求三角函数值
53．（2023高三专题训练）在平面直角坐标系中，角以轴的非负半轴为始边，终边与单位圆交于点，则=（     ）
A． B． C． D．
54．【多选】（江苏省常州市第三中学2023届高三下学期五模数学试题）已知角的终边与单位圆交于点，则（    ）
A． B． C． D．
55．（安徽省蚌埠市2023届高三四模数学试题）将顶点在原点，始边为轴非负半轴的锐角的终边绕原点顺时针旋转后，交单位圆于点，那么（    ）
A． B． C． D．
56．（山东省日照市2023届高三下学期4月校际联合考试数学试题）已知角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴最合，终边与单位圆交于点，将角的终边绕原点逆时针方向旋转后与角的终边重合，则_________．
57．（2023届河南省部分名校高三仿真模拟测试文科数学试题）已知在平面直角坐标系xOy中，角的顶点为O，始边为x轴的非负半轴，若的终边与圆交于点，则（    ）
A． B．
C． D．
（四）已知角α的终边在直线上求三角函数值
58．（广西南宁市东盟中学2020-2021学年高三年级12月月考数学试题）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则（    ）
A． B． C． D．
59．（青海省玉树州2023届高三第三次联考数学文科试题）已知角的终边落在直线上，则（    ）
A． B． C． D．
考点四 三角函数函数值符号的确定
（一）已知角或角的范围确定三角函数式的符号
60．（2023高三专题训练）若，则（    ）
A． B．
C． D．
61．（2023秋·四川成都·高三石室中学校考阶段练习）若是第三象限角，则下列各式中成立的是（    ）
A． B．
C． D．
62．（河南省部分学校2023届高三高考仿真适应性测试文科数学试题）已知是第二象限角，则点（，）所在的象限是（    ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
63．（2023高三专题训练）已知是第二象限角，则点所在的象限是（    ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（二）由三角函数式的符号确定角的范围或象限
64．（福建省宁德市2022-2023学年高三上学期区域性学业质量检测（期末）数学试题）已知点是第二象限的点，则的终边位于（    ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
65．（2023高三专题训练）已知点在第三象限，则角的终边在第（    ）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
66．（2023高三专题训练）在平面直角坐标系中，点位于第（       ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
67．（2023高三专题训练）若角满足，，则在（    ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限