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备战2024届高中数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用)考点17 利用导数研究函数的极值和最值10种常见考法归类（含答案）
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这是一份备战2024届高中数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用)考点17 利用导数研究函数的极值和最值10种常见考法归类（含答案），共77页。试卷主要包含了知图判断函数极值与极值点，求函数的极值与极值点，由极值求参数的值或范围，由极值点求参数的值或范围，利用极值解决函数的零点问题，求函数的最值，由函数的最值求参数问题，不等式恒成立与存在性问题等内容，欢迎下载使用。
考点17 利用导数研究函数的极值和最值10种常见考法归类
考点一 知图判断函数极值与极值点
考点二 求函数的极值与极值点
（一）不含参
（二）含参
考点三 由极值求参数的值或范围
考点四 由极值点求参数的值或范围
考点五 利用极值解决函数的零点问题
考点六 求函数的最值
（一）不含参
（二）含参
考点七 由函数的最值求参数问题
考点八 函数的单调性、极值与最值的综合应用
考点九 不等式恒成立与存在性问题
考点十 利用导数解决实际问题
1. 函数的极值
(1)函数极值的定义：如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0. 类似地，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0. 我们把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值；b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值. 极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.
(2)函数在某点取得极值的必要条件和充分条件：一般地，函数y＝f(x)在某一点的导数值为0是函数y＝f(x)在这点取得极值的必要条件. 可导函数y＝f(x)在x＝x0处取极大(小)值的充分条件是：
①f′(x0)＝0；
②在x＝x0附近的左侧f′(x0)>0(<0)，右侧f′(x0)<0(>0).
(3)导数求极值的方法：解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值.
2. 知图判断函数极值
由导函数图象判断函数y＝f(x)的极值， 要抓住两点：①由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；②由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x) 的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性，两者结合可得极值点. ③要特别注意导函数图象在哪个区间上为正，哪个区间上为负，在哪个点处与x轴相交，在该点附近的导数值是如何变化的，若是由正值变为负值，则在该点处取得极大值；若是由负值变为正值，则在该点处取得极小值．
3. 函数极值和极值点的求解步骤
(1)确定函数的定义域．
(2)求方程f′(x)＝0的根．
(3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格．
(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况．
注：①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号.
②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点.
③原函数出现极值时，导函数正处于零点，归纳起来一句话：原极导零．这个零点必须穿越轴，否则不是极值点．判断口诀：从左往右找穿越（导函数与轴的交点）；上坡低头找极小，下坡抬头找极大．
④f(x)在x＝x0处有极值时，一定有f ′(x0)＝0，f(x0)可能为极大值，也可能为极小值，应检验f(x)在x＝x0两侧的符号后才可下结论；若f ′(x0)＝0，则f(x)未必在x＝x0处取得极值，只有确认x1
(1)对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号．f′(x0)＝0是x0为函数极值点的必要不充分条件，故而要注意检验；
(2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f(x)在(a，b)内一定不是单调函数，反之，若函数在某区间上单调，则函数没有极值.
(3)对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立．
5. 已知函数极值（个数），确定函数解析式中的参数时，注意以下两点：
(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性．
6. 函数的最大(小)值
函数最大(小)值的再认识
①一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.
②若函数y＝f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数在[a，b]上的最小值，f(b)为函数在[a，b]上的最大值；若函数y＝f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数在[a，b]上的最大值，f(b)为函数在[a，b]上的最小值.
(2)导数求最值的一般步骤：设函数y＝f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
7. 最值与极值的区别与联系
(1)函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；
(2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有)．
(3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点（函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点），而最值点可以是区间的端点．
(4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得．
(5)函数在开区间内存在最值，则极值点必落在该区间内
8. 求函数最值的步骤
(1)求函数的定义域．
(2)求f′(x)，解方程f′(x)＝0.
(3)求极值、端点处的函数值，确定最值．
注意：不要忽略将所求极值与区间端点的函数值进行比较．
9. 含参数的函数的最值问题
(1)含参函数在区间上的最值通常有两类：一是动极值点定区间；二是定极值点动区间，这两类问题一般根据区间与极值点的位置关系来分类讨论.
(2)能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题．
(3)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值．
10. 求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点
(1)对函数进行准确求导，并检验f′(x)＝0的根是否在给定区间内．
(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值．
(3)比较极值与端点函数值的大小，确定最值．
11. 已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)
已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题．其中注意分类讨论思想的应用．
12. 三次函数的图象、单调性、极值
设三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，记Δ＝4b2－12ac＝4(b2－3ac)，并设x1，x2是方程f′(x)＝0的根，且x1
Δ>0
Δ≤0
图
象
单调性
在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递增；在(x1，x2)上单调递减
在R上是增函数
极值点
个数
2
0
(2)a<0
Δ>0
Δ≤0
图 象
单调性
在(x1，x2)上单调递增；在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递减
在R上是减函数
极值点
个数
2
0
13. 分离参数求解不等式恒成立问题的步骤
14. 不等式恒成立（有解）问题的转化
（1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
（2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则
不等式在区间D上恒成立．
不等式在区间D上恒成立．
（3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
（4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论：
不等式在区间D上有解
不等式在区间D上有解
（5）对于任意的，总存在，使得；
（6）对于任意的，总存在，使得；
（7）若存在，对于任意的，使得；
（8）若存在，对于任意的，使得；
（9）对于任意的，使得；
（10）对于任意的，使得；
（11）若存在，总存在，使得
（12）若存在，总存在，使得．
考点一 知图判断函数极值与极值点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的图象如图所示，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据和是的根，列出方程组求得，得到，结合是函数的极值点，即可求解.
【详解】由函数的图象知：和是的根，
即，解得，
所以，可得，
又由结合图象可得是函数的极值点，
即是的两个根，即是的两个实数根，
所以.
故选：C.
2．（2023·全国·高三专题练习）如图是函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（ ）
A．在区间上，是增函数
B．当时，取到极小值
C．在区间上，是减函数
D．在区间上，是增函数
【答案】D
【分析】对于ACD,根据导数的正负和原函数单调性之间的联系进行判断即可;
对于B，根据极值点处左右两边的单调性进行判断.
【详解】由导函数图象知，在时，，递减，A错；时，取得极大值（函数是先增后减），B错；时，，递增，C错；时，，递增，D正确．
故选：D.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的导函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．是的极小值点 B．是的极小值点
C．在区间上单调递减 D．曲线在处的切线斜率小于零
【答案】D
【分析】根据导函数图像，求得函数单调性，结合极值点定义，即可判断ABC选项，根据导数的定义和几何意义即判断D选项，从而得出答案.
【详解】由图像知，当或时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以在区间，内单调递增，在区间内单调递减，
是的极大值点，3是的极小值点，故ABC错误；
又因为，所以曲线在处切线斜率小于零，故D正确.
故选：D.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R上的函数f（x），其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ）
A．
B．函数在x＝c处取得最大值，在处取得最小值
C．函数在x＝c处取得极大值，在处取得极小值
D．函数的最小值为
【答案】C
【分析】根据导函数的图象确定的单调性，从而比较函数值的大小及极值情况，对四个选项作出判断.
【详解】由题图可知，当时，，所以函数在上单调递增，
又a
由题图可知，当时，，所以函数在[d，e]上单调递减，从而，所以D不正确．
故选：C．
5．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）已知定义在区间上的函数的导函数为，的图象如图所示，则（ ）
A．在上有增也有减
B．有2个极小值点
C．
D．有1个极大值点
【答案】D
【分析】利用导函数图象与函数单调性、极值点的关系即可判定.
【详解】由图可得，当，时，，当时，.
所以的单调递增区间为，，单调递减区间为，
所以有1个极大值点，1个极小值点.
故A、B错误，而，C错误.
故选：D
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．在区间内有3个极值点 D．的图象在点处的切线的斜率小于0
【答案】B
【分析】根据导函数的正负可得单调性，由单调性可判断AB正误；由极值点定义可知C错误；由可知D错误.
【详解】由图象可知：当和时，；当时，；
在，上单调递增；在上单调递减；
对于A，，，A错误；
对于B，，，B正确；
对于C，由极值点定义可知：为的极大值点；为的极小值点，即在区间内有个极值点，C错误；
对于D，当时，，在点处的切线的斜率大于，D错误.
故选：B.
考点二 求函数的极值与极值点
（一）不含参
7．（2023春·江西宜春·高三江西省丰城中学校考阶段练习）函数极值点为 _____．
【答案】/1
【分析】先求导数，利用导数值为零可得答案.
【详解】因为，所以，
当时，，为增函数，
当时，，为减函数；
所以是函数的极小值点.
故答案为：.
8．（2023·四川成都·统考二模）函数的极大值为______．
【答案】1
【分析】对函数求导，利用单调性即可得出函数的极大值.
【详解】依题意，
因为，所以，
所以，
所以在上，，单调递增；
在上，，单调递减.
所以在处取得极大值：.
故答案为：1.
9．【多选】（2023·全国·高三专题练习）设函数，则下列说法正确的是（ ）
A．没有零点 B．当时，的图象位于轴下方
C．存在单调递增区间 D．有且仅有两个极值点
【答案】BC
【分析】根据，求得的符号，即可判断B；利用导数求出函数的单调区间，即可判断C；再结合零点的存在性定理即可判断A；再根据极值点的定义即可判断D.
【详解】函数的定义域为，
，
令，则，
所以函数在上递减，
又，
所以存在上，使得，即函数有唯一零点，且，
当时，，即，函数递增，故C正确；
当时，，即，函数递减，
所以为函数的极大值点，无极小值点，
即有且仅有一个极值点，故D错误；
所以，
又，所以函数在上存在一个零点，故A错误；
当时，，所以，
即当时，的图象位于轴下方，故B正确.
故选：BC.
10．【多选】（2023·全国·模拟预测）已知函数，则（ ）
A．函数在上单调递增
B．函数有且仅有一个零点
C．函数有且仅有一个极值点
D．直线是曲线的切线
【答案】BC
【分析】利用导数求函数单调区间，由函数单调性确定极值点和零点，由导数的几何意义求切线方程.
【详解】函数的定义域为，则，
令，则在上恒成立，所以函数在上单调递增，又，
所以当时，，即，所以函数在上单调递减，
当时，，即，所以函数在上单调递增，
所以函数存在极小值，所以A选项不正确，B，C选项正确；
由得或，因为，，所以曲线在点处的切线方程为，同理在点处的切线方程为，所以D选项不正确．
故选：BC．
11．（2023·河南商丘·商丘市实验中学校联考模拟预测）已知函数．
(1)求的极值；
(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)极小值，无极大值.
(2)
【分析】（1）求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极值；
（2）参变分离可得对任意的，恒成立，令，，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最小值，即可得解.
【详解】（1）函数的定义域为，又，
令得，令得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，无极大值.
（2）由得，
即对任意的，恒成立，
令，，则，
令，则，
所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又，，，
所以当时在内存在唯一的零点，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，，
因为，所以，，
所以，
因为，所以，
所以，
所以实数的取值范围为.
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
12．【多选】（2023·全国·高三专题练习）对于函数，则（ ）
A．有极大值，没有极小值
B．有极小值，没有极大值
C．函数与的图象有两个交点
D．函数有两个零点
【答案】AD
【分析】对函数求导，通过求导判断函数的单调性从而可知函数是否有极值；画出函数与的图象从而可判断交点个数；函数有两个零点价于函数与图像有两个交点，数形结合即可判断.
【详解】，则，
因为在恒成立.
所以当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增；
所以在处有极大值，没有极小值，故A正确，B错误；
根据的单调性，画出函数图像，以及的图象，如图：
由此可知，函数与的图象只有一个交点，故C错误；
函数有两个零点等价于函数与图像有两个交点，如下图所示：
由此可知，函数与图像有两个交点，即函数有两个零点；故D正确.
故选：AD.
13．（2023·全国·高三专题练习）是定义在上的函数，满足，，则下列说法正确的是（ ）
A．在上有极大值 B．在上有极小值
C．在上既有极大值又有极小值 D．在上没有极值
【答案】D
【分析】先由题意得，再构造，得到，进而再构造，判断出，即，由此得到选项.
【详解】解：根据题意，，故，
又，得，故，
令，
则，
即，
记，
所以，
当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
所以，即，即，
所以在上单调递增，故在上没有极值.
故选项ABC说法错误，选项D说法正确.
故选：D
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而得到结果
（二）含参
14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．求函数的极值；
【答案】①当时，没有极值；②当时，有极大值，无极小值
【分析】求出函数的导数，分类讨论，当时,无极值，当时求出函数单调性，根据单调性得出极值.
【详解】，则定义域为，
.
①当时，恒成立，则为上的增函数，所以没有极值.
②当时，由，得；由，得.
所以在上单调递增，在上单调递减.
故当时，有极大值，无极小值.
综述：①当时，没有极值；
②当时，有极大值，无极小值
15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．
(1)讨论的极值；
(2)若不等式在上恒成立，求m的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）对函数求导，分，和三种情况进行分类讨论，进而求出函数的极值；
（2）将不等式等价转化为，构造函数，对函数二次求导进而求出参数的取值范围.
【详解】（1）因为函数，则，，当时，，此时单调递增，无极值；
当时，令，得；令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，无极小值；
当时，令，得；令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，无极大值．
综上，当时，函数无极值；当时，，无极小值；当时，，无极大值．
（2）由及，得，，
即．设，，
当时，需．由，得，
，设，
则，，
当时，由，得，因为，所以，
所以当时，则，即为增函数，则，
为增函数，则，所以符合条件．
当时，由，得，
因为，所以，所以当时，，则即为减函数，则，为减函数，则，不符合条件．
综上所述，m的取值范围为．
16．（2023·云南曲靖·统考模拟预测）已知函数是的导函数.
(1)求函数的极值；
(2)若函数有两个不同的零点，证明：.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导函数，再分和求出函数的单调区间，再根据极值的定义即可得解；
（2）由有两个不同的零点，得①，②，两式分别相加相减，得到的两个式子相除可得，不妨设，令，构造函数，利用导数判断函数的单调性，进而可得出结论.
【详解】（1）的定义域为，
，
当时，在上单调递减，故无极值；
当时，时时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故的极小值为，无极大值，
综上所述，当时，无极值；
当时，的极小值为，无极大值；
（2）依题意有两个不同的零点，即有两个不同的根，
即有两个不同的根，
则①，②；
①②得③，
②①得④，
由③④整理得，
不妨设，令，
令，则，
所以在上单调递增，所以，
即，即，
所以，
又，
所以，即，
令，则在上单调递增，
又，
所以，
即，所以.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
17．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知函数．
(1)求函数的极值点；
(2)设，为的两个极值点，证明：．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先求出，因式分解得出，再根据的值进行分类讨论即可；
（2）由有两个极值点，则的二阶导数有解，得出，由得出，令，，则且，构造（），得出，有，令（），则，得出，则，结合即可证明．
【详解】（1），
①当，即时，，
令，得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，故有唯一的极小值点1；
②当，即时，令，则，，
（ⅰ）当时，，则，在上单调递增，此时无极值点；
（ⅱ）当时，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
从而有两个极值点，极大值点为，极小值点为1；
（ⅲ）当时，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
从而有两个极值点，极大值点为1，极小值点为；
综上所述，当时，有唯一的极小值点1；
当时，有两个极值点，极大值点为，极小值点为1；
当时，无极值点；
当时，有两个极值点，极大值点为1，极小值点为．
（2）不妨设，
由题得，
则，设，则，
由，为函数的两个极值点可知，
则在上不单调，则有解，故，则，
由，得，
所以．
因为，，
所以，，
令，，
则，，，
故，且，
令（），
则，
则在上单调递减，，
即对，有，
令（），则，
则，即，
所以，
则，即，
又，
所以，故．
【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是利用导数研究（）的单调性，由得出，再结合基本不等式，从而得出结论；本题考查了利用导数研究函数单调性，基本不等式的应用，属于难题．
18．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知函数.
(1)讨论的极值；
(2)若有两个零点，求实数的取值范围，并求证：.
【答案】(1)极大值，无极小值
(2)，证明见解析
【分析】（1）求导，再分和讨论求解；
（2）结合（1）若有两个零点，由，得到，再将问题转化为，令，得到，再令，用导数法证明即可.
【详解】（1）由题得，
①当时，，
故在上单调递增，故无极值；
②当时，令，得，
当时，；当时，.
故在区间单调递增，在区间单调递减，
此时在处取得极大值，无极小值.
（2）由（1）知，当时，在区间内单调递增，在区间内单调递减，，
若有两个零点，则，所以，
当时，，
故存在，使得.
又当趋向于时，趋向于，故存在，使得，
故.
由，得，即；
要证，只需证，
两边同乘以，得.
因为，所以.
令，即证，
即证.
令，
.
令，
故在区间上单调递增，
故，因此在区间上单调递增，
故，因此原不等式成立.
【点睛】关键点睛：本题第二问关键是由有两个零点，得到，，从而把问题转化为，再两边同乘以进而转化为，令，转化为而得证.
考点三 由极值求参数的值或范围
19．【多选】（2023·山西·统考二模）已知在处取得极大值3，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】根据原函数极值点即为导函数零点可得，即可知，再根据极大值为3可解得或；易知当时，在处取得极小值，与题意不符，当时，函数在处取得极大值，符合题意，可得，，即，即可判断出结论.
【详解】由题意可得，
且是函数的极大值点，即，可得，
又极大值为3，所以，解得或；
当时，，此时，
时，，时，
所以函数在上单调递减，在上单调递增；
此时函数在处取得极小值，与题意不符，即舍去；
当时，，此时，
时，，时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减；
此时函数在处取得极大值，符合题意，
所以，，即，所以A正确，B错误；
此时，所以，，即C错误，D正确.
故选：AD
20．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知函数在处取得极值10，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．一定有两个极值点 D．一定存在单调递减区间
【答案】BCD
【分析】根据给定条件，利用导数结合极值、极值点求出a，b，再逐项判断作答.
【详解】函数定义域为R，求导得，
依题意，，即，解得或，
当时，，函数在R上单调递增，无极值，不符合题意，
当时，，当或时，，当时，，
因此函数在，上单调递增，在上单调递减，在处取得极小值，符合题意，
则，A不正确，B正确；函数在处取得极大值，一定有两个极值点，C正确；
一定存在单调递减区间，D正确.
故选：BCD
21．（2023·吉林延边·统考二模）若函数在处有极小值，则的值为______．
【答案】3
【分析】利用导数在处取到极值的必要不充分条件，从而求出值，再对进行检验即可求出结果.
【详解】因为，所以，
又因为函数在处有极小值，所以，解得或，
当时，，所以时，，时，，所以函数在处取得极小值；
当时，，所以时，，时，，所以函数在处取得极大值，不合题意，舍去，
故答案为：.
22．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有极值，则c的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求导得，则，由此可求答案．
【详解】解：由题意得，
若函数有极值，则，
解得，
故选：A．
23．（2023·广西柳州·高三柳州高级中学校联考阶段练习）已知函数，若函数在上有极值，则实数a的取值范围为___．
【答案】
【分析】根据导数与极值的关系求解即可.
【详解】因为，所以，
为二次函数，且对称轴为，
所以函数在单调递增，
则函数在单调递增，
因为函数在上有极值，
所以在有解，
根据零点的存在性定理可知，即，
解得，
故答案为：.
24．（2023·全国·高三专题练习）函数在上有唯一的极大值，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题知函数在上有唯一极大值，进而得，再解不等式即可得答案.
【详解】解：方法一：当时，，
因为函数在上有唯一的极大值，
所以函数在上有唯一极大值，
所以，，解得.
故选：C
方法二：令，，则，，
所以，函数在轴右侧的第一个极大值点为，第二个极大值点为，
因为函数在上有唯一的极大值，
所以，解得.
故选：C
25．（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）函数在区间上存在极值，则的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】利用导数讨论函数的单调性和极值即可求解.
【详解】函数的定义域为，
，
令，，
所以当时，，当时，，
所以在单调递增，单调递减，
所以，
又因为当时，则，
，
所以存在唯一，使得，
所以函数在时，时，
所以函数在单调递增，单调递减，
所以要使函数在区间上存在极值，
所以的最大值为3，
故选:B.
26．（2023·全国·高三专题练习）已知没有极值，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据没有极值，可知无变号零点，由二次函数性质可知，由此可解不等式求得结果.
【详解】；
在上没有极值，，即，
解得：，即实数的取值范围为.
故选：C.
27．（2023·全国·高三专题练习）函数在上无极值，则m＝______．
【答案】3
【分析】把题意转化为在上恒有，对m分类讨论，求出m的范围.
【详解】函数在上无极值即导函数在上无根．
在上恒有 ①；
而，
当时，①式解为或；显然时，①式不成立；
当时，①式解为或；显然时，①式不成立；
当m－1＝2时，①式解为x＝2，m＝3．
故答案为：3．
28．（2023秋·河北唐山·高三开滦第二中学校考期末）已知函数，若的极小值为负数，则的最小值为___________.
【答案】7
【分析】利用导数判断函数的单调性，再求函数的极小值，根据条件，列不等式求的极小值.
【详解】，，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以当时，函数取得极小值，，因为函数的极小值是负数，所以，所以，因为，所以的最小值是7.
故答案为：7
29．（2023·广西桂林·统考模拟预测）已知函数有极大值和极小值，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题，求导函数，由函数有极大值和极小值，即有两个不同解，由此，，求解即可
【详解】由题，，函数有极大值和极小值，所以有两个不同解，所以，，解得，
故选：B
30．（2023·陕西西安·长安一中校考二模）若函数在和，两处取得极值，且，则实数a的取值范围是__________．
【答案】
【分析】根据题意可得原题意等价于与有两个不同的交点，再数形结合分析两根的关系运算求解.
【详解】因为，则，
令，且，整理得，
原题意等价于与有两个不同的交点，
构建，则，
令，解得；令，解得或；
则在上单调递增，在上单调递减，且，
由图可得：若与有两个不同的交点，可得：，
因为，则，
由图可知：当增大时，则减小，增大，可得减小，
取，令，则，
因为，解得，
所以，则，
即实数a的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：对于函数的极值问题，需要根据题意参变分离，利用数形结合求解函数零点问题，即画出图像分析极值点之间的关系，并找到临界条件进行分析.
考点四 由极值点求参数的值或范围
31．（2023·全国·高三专题练习）若是函数的极值点，则的极小值为______．
【答案】
【分析】由极值点可知，从而求得，利用导数可求得单调性，再根据极小值的定义即可得解.
【详解】，
因为是函数的极值点，
所以，解得，
则，令，解得或，
则当或时，，当时，，
所以函数的增区间为，减区间为，
故的极小值为．
故答案为：.
32．（2023·全国·高三专题练习）已知，若不是函数的极小值点，则下列选项符合的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用数轴标根法，画出的草图，对选项A，B，C，D逐一分析.
【详解】解：令，得.
下面利用数轴标根法画出的草图，借助图象对选项A，B，C，D逐一分析.
对选项A：若，由图可知是的极小值点，不合题意；
对选项B：若，由图可知不是的极小值点，符合题意；
对选项C：若，由图可知是的极小值点，不合题意；
对选项D：若，由图可知是的极小值点，不合题意；
故选：B.
【点睛】方法点睛：利用数轴标根法，口诀 “自上而下，从右到左，奇穿偶不穿”，画出的草图，结合极小值点的定义，对选项A，B，C，D逐一分析，即可求解.
33．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若在区间内没有极值点，则的取值范围是___________.
【答案】
【分析】由题设得，根据区间内没有极值点，应用整体代入法列不等式得或且，即可求的范围.
【详解】，
∴上，没有极值点，
∴或，
∴或，而且得：，
∴，或.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：应用三角恒等变换化简函数式，由区间内不存在极值点列不等式组求参数范围.
34．（2023·全国·模拟预测）已知函数的导函数为，则“在上有两个零点”是“在上有两个极值点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】结合充分、必要条件定义及极值点的概念即可可判断.
【详解】只有当在上有两个变号零点时，在上才有两个极值点，故充分性不成立；若在上有两个极值点，则在上有两个变号零点，则在上至少有两个零点，故必要性不成立.综上，“在上有两个零点”是“在上有两个极值点”的既不充分也不必要条件，
故选：D.
35．（2023·上海黄浦·统考一模）已知，且函数恰有两个极大值点在，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】运用整体思想法，求得的范围，再运用正弦函数图象分析即可.
【详解】∵，，
∴，
又∵在恰有2个极大值点，
∴由正弦函数图象可知，，解得：.
故选：B.
36．（2023春·四川雅安·高三雅安中学校联考阶段练习）已知函数有两个极值点，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由极值点定义得到，，两式相减，结合上面的等式求出答案.
【详解】由，得，可得．
因为，
所以两式作差得，
则，
所以，解得．
故选：A
37．【多选】（2023·山东泰安·统考一模）已知函数有两个极值点，，则（ ）
A． B． C． D．，
【答案】ACD
【分析】求出，根据已知得有两个变号零点，令，求出，分类讨论根据其正负得出单调性，令其满足有两个变号零点，当时，不满足题意，当时，则，即可解出的范围，判断A；
根据已知可得有两个变号零点，，而函数在上单调递增，在上单调递减，则，即可判断B；
，则，根据不等式的性质即可得出范围，判断C；
根据得出函数单调性，结合，且，列不等式，即可判断D.
【详解】对于A：，定义域，
，
函数有两个极值点，，
则有两个变号零点，
设，
则，
当时，，则函数单调递增，则函数最多只有一个变号零点，不符合题意，故舍去；
当时，时，，时，，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
若有两个变号零点，则，解得：，
此时由正趋向于时，趋向于，趋向于时，趋向于，
则有两个变号零点，满足题意，
故的范围为：，故A正确；
对于B：函数有两个极值点，，
即有两个变号零点，，
则，故B错误；
对于C：当时，，
则，即，，
则，故C正确；
对于D：有两个变号零点，，且函数先增后减，
则函数在与上单调递减，在上单调递增，
，且，
，故D正确；
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种转化方法：
一是利用导数研究含参函数的单调性，常转化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；
二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理；
再利用导数研究函数单调性、极值或最值时，如果一次求导无法求解，可考虑多次求导来进行求解，求解过程要注意原函数和对于的导函数的关系，不能混淆.
38．（2023·湖南邵阳·统考三模）已知函数有两个极值点，，且，则实数m的取值范围是__________.
【答案】
【分析】根据极值点的定义，结合函数零点的定义，通过构造函数，利用数形结合思想进行求解即可.
【详解】由有两个不同实根，
且，
设，
当时，，当时，，
在单调递减，在单调递增，所以，
显然当时，，当时，，
图象如下：
所以有，则有，
当时，即.，
时，，
故答案为：
【点睛】关键点睛：根据函数极值的定义，结合构造函数法、数形结合法进行求解是解题的关键.
39．（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考期末）已知函数将其向右平移个单位长度后得到，若在上有三个极大值点，则一定满足的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据平移变换得函数，由在上有三个极大值点，结合正弦函数图象可得，再求的范围，结合正弦函数的单调性，由此可判断答案.
【详解】解：有题意可得，
由得，由于在上有三个极大值点，
所以，解得，
当，
而，故A正确，
当，
而，故B不正确，
当，，
而，故C不正确，
当，，
而，故D不正确，
故选：A.
考点五 利用极值解决函数的零点问题
40．（2023·全国·高三专题练习）已知函数恰有一个零点，则实数a的取值范围为______．
【答案】．
【分析】使用参数分离的方法，将原方程转变为直线 与曲线相交，并且只有唯一交点.
【详解】由 ，x=0不是方程的解，∴ ，
将原方程唯一零点转变为直线与曲线 有唯一交点，
下面讨论曲线的图像：
的定义域为 ， ，
当 时， ，当 时， ，
当 时， ，
因此y在处，取得极小值，其极小值为 ，
当 时，，即y是单调递减的，
当x从小于0的方向趋向0的时候，y趋向于 ，
故图像如下图：
；
故答案为：.
41．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有三个零点，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【分析】通过分离参数得，研究函数的单调性，极值点，零点，从而得到其大致图像，则得到的范围，解出即可.
【详解】当时，此时，显然无零点.
当时，得，
令，，分别令，，
前者解得，，后者解得或，
故在，递减，递增.
故的极小值为，极大值为，
令，显然分母，则分子，，则有唯一零点0，
作出大致图像如图所示：
所以，解得实数的取值范围是.
故答案为：.
42．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上恰有三个零点，则（ ）
A．的最小值为 B．在上只有一个极小值点
C．在上恰有两个极大值点 D．在上单调递增
【答案】BD
【分析】利用函数在上有三个零点可求得的取值范围，可判断A选项；利用极值点的定义可判断BC选项；利用余弦型函数的单调性可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为，当时，，
由函数在上恰有三个零点，所以，，解得，
所以，的最小值为，A错；
对于B选项，由A选项知，，
则当，即时，函数取得极小值，即在上只有一个极小值点，B对；
对于C选项，当时，函数在上只有一个极大值点，C错；
对于D选项，当时，，
因为，所以，，
所以，函数在上单调递增，D对.
故选：BD.
43．（2023·全国·高三专题练习）定义在上的函数在区间内恰有两个零点和一个极值点，则的取值范围是_____________.
【答案】
【分析】依题意首先求出的大致范围，进而确定的范围，根据题意结合正弦函数可得，即可求出ω的取值范围.
【详解】设函数的最小正周期为，
由正弦型函数可知：两个零点之间必存在极值点，两个极值点之间必存在零点，
则，则，
注意到，解得，
∵，则，
由题意可得：，解得，
故的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：
（1）根据正弦型函数的性质估算的范围；
（2）求的范围，结合正弦函数的图象与性质列式求解.
44．（2023·江西上饶·统考二模）已知函数在内恰有4个极值点和3个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】辅助角化简，由已知上恰有4个极值点和3个零点，数形结合列不等式求参数的范围.
【详解】由且，
因为，所以，
又在内恰有4个极值点和3个零点，
由正弦函数的图象知：，解得：，
所以实数的取值范围是.
故选：C
45．（2023·全国·高三阶段练习）已知函数，其中.
(1)若的极小值为－16，求；
(2)讨论的零点个数.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】(1)求出导函数，进而求得极小值点，再代入求解即可.
(2)画出函数的大致图像，结合图像分类讨论即可求得结论.
【详解】（1）由题得，其中，
当时，，单调递增，无极值；
当时，令，解得或；令，解得，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为，，
所以当时，取得极小值，
所以，解得.
（2）由（1）知当时，的极小值为，
的极大值为，
当，即时，有三个零点，如图①曲线 ；
当，即时，有两个零点，如图②曲线；
当，即时，有一个零点，如图③曲线；
当时，，易知有一个零点.
综上，当时，有一个零点；当时，有两个零点；当时，有三个零点.
考点六 求函数的最值
（一）不含参
46．（2023·全国·高三专题练习）函数在内的最大值为______．
【答案】
【分析】对函数求导，，将问题转为研究的性质，设，，求得恒成立，由此判断当时，，单调递减，解得.
【详解】由题可得，
设，，
因为，所以，
所以，
所以，单调递增，，
所以当时，，单调递减，则．
故答案为：.
47．（2023·安徽亳州·高三校考阶段练习）已知函数，该函数的最大值为__________．
【答案】
【分析】化简函数，令且，则，求得，得出函数的单调性，结合单调性与极值，即可求解.
【详解】由题意，函数，
令且，则，
从而， 令，解得或，
当时，；当时，；
当时，，
所以在上单调递减；在上单调递增；在上单调递减．
因为，，所以的最大值为.
故答案为：.
48．（2023·全国·高三专题练习）若是函数的极小值点，则函数在区间上的最大值为______．
【答案】/
【分析】求导，根据极值点可得，进而解得或，代入验证极值点可确定，进而根据极大值以及端点处的函数值进行比较即可求解.
【详解】由，得，
因为是函数的极小值点，所以，即，
即，解得或．
当时，，
当或时，，当时，，
所以，在区间，上单调递增，在上单调递减，
所以是函数的极大值点，不符合题意；
当时，，
当或时，，当时，，
所以在区间，上单调递增，在上单调递减，
所以是函数的极小值点，是函数的极大值点，故
又因为，，
所以函数在的最大值为．
故答案为：．
49．（2023·内蒙古呼和浩特·呼市二中校考模拟预测）已知正数满足，则的最小值为_________．
【答案】
【分析】运用同构函数研究其单调性可得，将求的最小值转化为求上的最小值，运用导数研究的最小值即可.
【详解】因为，即，所以，所以.
令，则，所以在上单调递增，所以，即，所以，
令.
则．令，解得：；令，解得：；
所以在上单调递减，在上单调递增，所以.
即的最小值为.
故答案为：.
【点睛】同构法的三种基本模式：①乘积型，如可以同构成，进而构造函数；②比商型，如可以同构成，进而构造函数；③和差型，如，同构后可以构造函数f或.
50．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）若P，Q分别是抛物线与圆上的点，则的最小值为________．
【答案】/
【分析】设点，圆心，的最小值即为的最小值减去圆的半径，求出的最小值即可得解．
【详解】依题可设，圆心，根据圆外一点到圆上一点的最值求法可知，
的最小值即为的最小值减去半径．
因为，，
设，
，由于恒成立，
所以函数在上递减，在上递增，即，
所以，即的最小值为．
故答案为：．
（二）含参
51．（2023·江西·高三统考期中）已知
(1)求的最值；
(2)若有两个零点，求k的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求出函数的定义域，对函数求导，由导函数的正负确定函数的单调性，进而求出最值；
（2）构造函数，求导确定函数的单调性，确定函数的最值，画出函数的图象，确定参数的取值范围.
【详解】（1）的定义域为，.
当时，恒成立，在上单调递增，此时函数无最值.
当时，在上，，单调递增；
在上，，单调递减.
所以在处取得极大值，即最大值，.
综上可知，时，在上无最值.
时，的最大值为，无最小值.
（2）有两个零点，可得有两个实根.
令，.
令，得；令，得，
在上单调递增，在上单调递减.
.
当时，，，所以，又，
时，；时，.
大致图象如图所示，
若直线与的图象有两个交点，
则，∴k的取值范围是.
【点睛】常见的根据函数的零点个数求参数取值范围的方法：
1.将函数的零点转化为对应方程的根的个数，进一步转化为函数与函数图像交点的个数；
2.根据题意直接转化为函数的图像与轴的交点的个数，讨论求出参数的取值范围.
52．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，.
(1)讨论函数在区间上的最大值；
(2)确定k的所有可能取值，使得存在，对任意的，恒有.
【答案】(1)答案详见解析
(2)
【分析】（1）构造函数，求得，对进行分类讨论，由此求得所求的最大值.
（2）对进行分类讨论，化简不等式，利用构造函数法，结合导数来求得的值.
【详解】（1），，
则，
当时，对任意恒成立，又，所以恒成立，
所以在上递减，所以的最大值为.
当时，在区间，递增；
在区间递减.
所以的最大值是.
（2）由（1）知，当时，时，；
当时，对任意，，
要使成立，显然.
当时，，
令，
则，
对于方程，，
所以方程有两个不同的实数根，，
由于，所以，
故在区间，递增，
此时，即，所以满足题意的不存在.
当时，由（1）知，存在，使得对任意的恒有，
此时，
令，
，
对于方程，，
所以方程两个不同的实数根，
，
由于，所以，
所以在区间递增，
此时即，
即与中较小者为，则当时，恒有，
所以满足题意的不存在.
当时，由（1）知当时，，
令，
，
所以当时，递减，
所以在区间上，
故当时，恒有，此时任意实数满足题意.
综上所述，.
【点睛】利用导数研究函数的最值，当导函数含有参数时，要注意对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.当所要研究的函数含有绝对值时，可对绝对值内的式子的符号进行分类讨论，去绝对值，将式子转化为没有绝对值的形式来进行研究.
53．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)当时，讨论函数在上的单调性；
(2)当时，求在内的最大值；
(3)当时，判断函数的零点个数
【答案】(1)函数在上单调递增．
(2)
(3)有且仅有1个零点．
【分析】（1）求导即可判断其单调性；
（2）根据题意，求导得，可得，从而可得；
（3）根据题意，求导可得，分，分别讨论，结合函数的单调性与最值即可得到零点个数.
【详解】（1）当时，，，且．
当时，，，则，
即，故函数在上单调递增．
（2），
令，则，
由且，可得，，则，在内单调递增，
所以，
又当时，，
所以，在内单调递增，
故．
（3）当时，，定义域为，
则，，
当时，，
则，，单调递增；
当时，令，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
则，
因为，所以，，则，
所以，则，
所以，，
则当时，，在上单调递增．
综上可知，函数在定义域上单调递增．
又当时，；当时，，且，
故当时，函数在其定义域内有且仅有1个零点．
考点七 由函数的最值求参数问题
54．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）当时，函数取得最大值，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】根据条件列方程组求出a和b.
【详解】因为函数定义域为，所以依题可知， ，
而 ，
所以，即 ，所以 ，
因此当时，,故函数在递增；时，,
故函数在上递减，时取最大值，满足题意，即有 ；
故选：C．
55．（2023·广西·统考模拟预测）已知函数存在最大值0，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】讨论与0的大小关系确定的单调性，求出的最大值.
【详解】因为，，
所以当时，恒成立，故函数单调递增，不存在最大值；
当时，令，得出，
所以当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以，解得：.
故选：B.
56．（2023春·新疆·高三校考阶段练习）若函数在区间上的最大值为2，则它在上的极大值为（ ）
A． B． C．24 D．27
【答案】D
【分析】首先求出函数的导函数，即可求出函数的单调区间与极值点，再根据函数在区间上的最大值，求出参数的值，即可求出函数的极大值；
【详解】解：因为，所以，当时，当或时，即在上单调递增，在和上单调递减，所以是函数取得极小值，时函数取得极大值，又，，所以，解得，所以
故选：D
57．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数在区间上的最大值为k，则函数在上（ ）
A．有极大值，无最小值 B．无极大值，有最小值
C．有极大值，有最大值 D．无极大值，无最大值
【答案】D
【分析】利用导函数研究单调性，结合区间最值求得，进而判断在上的单调性，即可得答案.
【详解】由，则时，时，
所以在上递增，上递减，
而，在上的最大值为k，
所以，即，此时在上递减，且无极大值和最大值.
故选：D
58．（2023·陕西宝鸡·统考二模）函数在内有最小值，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】求出，设，得出有一正根一负根，因此题意说明正根在区间内，从而由得参数范围．
【详解】，
设，因为，因此有两个不同实根，
又，因此两根一正一负，
由题意正根在内，
所以，解得，
故选：A．
59．（2023·上海松江·统考二模）已知函数，，在区间上有最大值，则实数t的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用导数求出函数单调性，据此知函数有极大值，根据函数在开区间上有最大值可知，区间含极大值点
【详解】，
当或时，，当时，，
所以函数在，上递增函数，在上递减函数，
故时函数有极大值，且，
所以当函数在上有最大值，则且，
即，解得.
故选：B.
60．（2023·四川宜宾·统考三模）若函数的最小值是，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用导数求出函数在上的极小值，然后对实数的取值进行分类讨论，结合可求得实数的取值范围.
【详解】当时，，则，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，函数的极小值为，
因为函数的最小值为，当时，函数在上单调递减，
此时，函数在上无最小值，不合乎题意；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
此时，函数在上的极小值为，且，则，
综上所述，.
故选：A.
61．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间内既存在最大值也存在最小值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】利用导数求出在处取得极小值，在处取得极大值，再根据且，结合三次函数的图象列不等式组可求得结果.
【详解】由得或，
可以判断在处取得极小值，在处取得极大值.
令，得或，令，得或，
由题意知函数在开区间内的最大、最小值只能在和处取得，
结合函数的图象可得：，解得，
故的取值范围是.
故选：A
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值和最值，考查了数形结合思想，属于基础题.
62．（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知函数，．
(1)当时，求函数的最小值；
(2)若函数的最小值为，求的最大值．
【答案】(1)0
(2)1
【分析】（1）当时，令，求得，根据在不同区间的符号判断的单调性，由单调性即可求出的最小值；
（2）将等价变换为，借助第（1）问中判断的符号时构造的在时取最小值，取，将问题转化为有解问题即可.
【详解】（1）当时，令，，
则，
令，，则，
易知在上单调递增，且，
∴当时，，在区间上单调递减，且，
当时，，在区间上单调递增，且，
∴当时，，在区间上单调递减，
当时，，在区间上单调递增，
当时，取得极小值，也是最小值，，
∴当时，函数的最小值为.
（2）由已知，的定义域为，
若函数的最小值为，则有，∴，，
令，即的最小值为，
由第（1）问知，当且仅当时，取最小值，
∴当且仅当时，取得最小值，
又∵，
∴只需令有解，即有解，
令，，则，
当时，，在区间上单调递增，
当时，，在区间上单调递减，
∴，
综上所述，若函数的最小值为，则的最大值为.
【点睛】在导数压轴题中，常常会使用前问的结论或某一步构造的函数，解决后面的问题.本题第（2）问中直接求导分析的单调性较为困难，这里使用了换元思想，借助第（1）问构造的，使，以达到简化运算的目的.
考点八 函数的单调性、极值与最值的综合应用
63．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的函数，是的导函数，若，且，则下列结论正确的是（ ）
A．函数在定义域上有极小值．
B．函数在定义域上单调递增．
C．函数的单调递减区间为．
D．不等式的解集为．
【答案】BC
【分析】令并求导，结合已知可得，进而可得，构造并研究单调性判断A、B；构造、分别研究它们的单调性判断C、D.
【详解】令，则，又得：，
由得：，
令得：，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，即，
所以单调递增，所以B正确，A不正确；
由且定义域为得：，
令，解得，即的单调递减区间为，故C正确．
的解集等价于的解集，
设，则，
当时，，此时，即在上递减，
所以，即在上成立，故D错误．
故选：BC
【点睛】关键点睛：令，根据已知得，利用导数研究其单调性和极值情况，构造研究单调性，对于D问题转化为判断在上的符号.
64．【多选】（2023春·浙江宁波·高三校联考阶段练习）已知函数的图象在上恰有两条对称轴，则下列结论不正确的有（ ）
A．在上只有一个零点
B．在上可能有4个零点
C．在上单调递增
D．在上恰有2个极大值点
【答案】ACD
【分析】求函数的对称轴方程，由条件列不等式求的范围，再求函数的零点，判断A，B，求函数的单调区间判断C，求函数的极值点判断D.
【详解】由，可得，
所以函数的对称轴方程为，
令，可得，
因为函数的图象在上恰有两条对称轴，
所以，
所以，
令，可得，
所以，所以，
令，可得，
当时，或，此时函数在上有两个零点，A错误；
令，可得，
当时，或或或，所以函数在上可能有4个零点，B正确；
由可得，
因为函数在上单调递增，在上单调递减，
又，所以函数在上不是单调递增函数，C错误；
由可得，
所以当时，，此时函数在上有三个最大值，故在上恰有3个极大值点，D错误；
故选：ACD.
65．【多选】（2023·全国·模拟预测）已知函数的图像经过点，则（ ）
A．函数的最大值为2 B．点是函数图像的一个对称中心
C．是函数的一个极小值点 D．的图像关于直线对称
【答案】BCD
【分析】将点代入函数式求得，应用三角恒等变换化简，结合正弦型函数的性质判断各项的正误即可.
【详解】因为函数的图像经过点，
所以，即，又，则，
所以，其最大值为1，A错误．
因为图像的对称中心是点，，
令，得：，，当时，
所以是函数图像的一个对称中心，B正确．
令得：，，
所以，，当时，
所以是函数的一个极小值点，C正确．
因为图像的对称轴方程是，，
所以令，得：，，当时，
所以直线是函数图像的一条对称轴，D正确．
故选：BCD
66．（2023春·河南郑州·高三校考期中）已知函数的最小值为，函数的一个零点与极小值点相同，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】先通过的一个零点与极值相同，可知极小值为0，据此得到，的一个关系，再代入到，研究最小值点，结合最小值为，可求答案.
【详解】当时，，显然不合题意；
由得，
令，得或，
显然，故，
因为，
所以，
化简可得，所以.
因为的最小值为，且，
所以是的极值点；
因为，
故得，
代入得，
所以，
当时，，
由得，所以在单调递减，
故，与题设矛盾，舍去；
当时，，
由得，由得或，
所以在单调递增，在，单调递减，
因为当趋近于正无穷大时，趋近于0，且，
又因为，所以为最小值，符合题意；
故即为所求，所以.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两个：一是根据零点与极值点相同得出的关系式；二是利用最小值来求解参数.
67．（2023春·四川成都·高三石室中学校考开学考试）已知函数的极值点均不大于2，且在区间上有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据区间为开区间，可得最小值只能在极小值处取得，由此求导得出极值点，并分，，三种情况判断函数的单调性，最后根据是否有最小值，求出实数a的取值范围.
【详解】易知最小值只能在极小值处取得，，
解得导数零点为，根据题意可得．
当时，在上，在上单调递增，无最值；
当时，在上，上，上，
所以在上单调递增，上单调递减，上单调递增，
所以在取得极小值，又极小值必须为最小值，
所以，即，
所以；
当时，在上，上，
所以在上单调递减，上单调递增，此时函数有最小值满足条件，
综上所述，的取值范围为．
故选：A．
68．（2023·宁夏银川·六盘山高级中学校考一模）已知函数的极值点为，函数的最大值为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】对求定义域，求导，观察出导函数单调递增，结合零点存在性定理得到，对求定义域，求导，得到其单调性和极值，最值，得到，判断出.
【详解】的定义域为，
在上单调递增，且，，
所以，．
的定义域为，由，
当时，，当时，，
故在处取得极大值，也是最大值，，
即．所以．
故选：A
考点九 不等式恒成立与存在性问题
69．（2023春·广东韶关·高三南雄中学校考阶段练习）已知e是自然对数的底数．若，成立，则实数m的最小值是________．
【答案】/
【分析】根据给定的不等式，两边同乘x，利用同构的思想构造函数，借助函数单调性求得恒成立的不等式，再分离参数构造函数，求出函数最大值作答.
【详解】由得，即，
令，求导得，则在上单调递增，
显然，当时，恒有，即恒成立，
于是当时，，有，
从而对恒成立，即对恒成立，
令，求导得，则当时，；当时，，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，，则，
所以实数m的最小值是．
故答案为：
【点睛】思路点睛：涉及函数不等式恒成立问题，将不等式等价转化，利用同构思想，构造新函数，借助函数的单调性分析求解.
70．（2023·全国·高三专题练习）若对任意，总有不等式成立，则实数a的最大值是__________．
【答案】e
【分析】由得，同构函数，求导判断函数的单调区间求得最值，再换元，转化成，再构造新函数，求导判断函数单调区间，即可求得最值.
【详解】因为，所以可化为，
构造，则，
令，得；令，得，
故在上单调递减，在上单调递增，
则，
令，则，
故可化为对恒成立，即，
构造，则，
所以在上单调递增，故，即，
所以a的最大值是e．
71．（2023·全国·模拟预测）已知函数.若任意的，，都有，则实数的最大值是______.
【答案】
【分析】利用导数研究函数在的单调性，由条件列可得，，利用导数研究函数的单调性，由此可求的最大值.
【详解】函数的导函数为，
令，则，
当时，，当且仅当时，，
所以函数在上单调递增，
所以，
所以函数在上单调递增，
所以当，时，，
即，
由已知可得，，
所以，，
设，，则，
则，
设，
则，
当且仅当时，，
所以函数在上单调递增，又，
所以当时，，，函数在上单调递减，
当时，，，函数在上单调递增，
因为，，
若则，，矛盾，故，
所以.
所以的最大值是.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
72．（2023·海南·校联考模拟预测）已知函数，，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是________.
【答案】
【分析】利用导数证明，将圆不等式转化为对恒成立，设，只需函数在上单调递增，由可得，即可求解.
【详解】设，则（），
令，令，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
得，即，即.
由题意，对恒成立，
转化为对恒成立，
设，则对恒成立，
只需函数在上单调递增，
即在上恒成立，
有在上恒成立，得，
即实数a的取值范围为.
故答案为：.
73．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，若在处取得极值，且对于，均有，则b的取值范围为______．
【答案】
【分析】首先由在处取得极值得出的值，再由分析得，再分别由导数求出和的最小值和最大值，即可求出b的取值范围．
【详解】由，则，
解得，，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以是的极值点，且，
由题意得，
令，解得，则当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
故，
因为对于，均有，则，
即，解得，
故答案为：．
74．（2023·四川成都·石室中学校考三模）已知函数的极小值点为．
(1)求函数在处的切线方程；
(2)设，，恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由的极小值点为，得得出的值，再检验得的值满足题意，分别求出和即可写出函数在处的切线方程；
（2）法一：由，恒成立，得出，令得出或，分类讨论与的大小关系即可得出m的取值范围；法二：首先由及得出当时，则，当时，，则，当时，显然成立，设，由确定的最值，即可求出的范围．
【详解】（1）因为的定义域为，，函数的极小值点为，
所以，解得，
所以，，
令得，
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，为函数的极小值点，满足题意，
因为，，
所以函数在处的切线方程为，即，
所以函数在处的切线方程为．
（2）法一：分类讨论
因为，，恒成立，
所以，，
因为，所以，
令得，
①当即时，，
所以在上单调递增，
所以，不满足，舍去；
②当即时，，
所以在单调递增，
所以，满足；
③当即时，，
则时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，
所以，
综上所述，实数m的取值范围为．
法二：变量分离
因为，，，
所以，
所以在上单调递增，且，
即当时，，当时，，
因为，恒成立，
所以，
①当时， ，即恒成立，
设，则
，
令得或，
因为，，
所以在上单调递增，
所以，
所以时，；
②时，，即恒成立，
由①得，，
因为当时，当时，
所以在单调递增，在单调递减，
所以当，，
所以；
③当时，成立，
综上所述，．
考点十 利用导数解决实际问题
75．（2023·四川·校联考一模）四棱锥的底面为正方形，平面ABCD，顶点均在半径为2的球面上，则该四棱锥体积的最大值为（ ）
A． B．4 C． D．8
【答案】C
【分析】设正方形ABCD的外接圆的半径为，球心到平面ABCD的距离为，则，四棱锥的体积为，设，利用导数研究函数的单调性可求得答案．
【详解】设正方形ABCD的外接圆的半径为，球心到平面ABCD的距离为，
则，且正方形ABCD的面积为，
四棱锥的体积为，
设，，则，
于是时，，单调递增；时，，单调递减，
从而，于是．
故选：C.
76．（2023·全国·高三专题练习）某制造商制造并出售球形瓶装的某种液体材料.瓶子的制造成本是分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径.已知每出售1mL的液体材料，制造商可获利0.3分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为8cm，则当每瓶液体材料的利润最大时，瓶子的半径为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【答案】A
【分析】根据给定条件，借助球的体积公式求出每瓶液体材料的利润，再利用导数求解作答.
【详解】依题意，每瓶液体材料的利润，，
则，令，得，当时，，当时，，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，即当时，取最大值，
所以当每瓶液体材料的利润最大时，.
故选：A
77．（2023·全国·高三专题练习）某机床厂工人利用实心的圆锥旧零件改造成一个正四棱柱的新零件，且正四棱柱的中心在圆锥的轴上，下底面在圆锥的底面内．已知该圆锥的底面圆半径为3cm，高为3cm，则该正四棱柱体积（单位：）的最大值为（ ）
A． B．8 C． D．9
【答案】B
【分析】设，借助于圆锥的轴截面分析可得，利用柱体体积公式可求得，求导，利用导数求最值.
【详解】显然当正四棱柱的上底面顶点在圆锥表面时的体积较大，
如图，借助于圆锥的轴截面，
由题意可得：，
设，则，可得，
故该正四棱柱体积，
构建，则，
∵，
当时，；当时，；
则在上单调递增，在上单调递减，
∴，
故该正四棱柱体积的最大值为8（）.
故选：B.
【点睛】方法定睛：利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤
(1)建模：分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)．
(2)求导：求函数的导数f ′(x)，解方程f ′(x)＝0.
(3)求最值：比较函数在区间端点和使f ′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．
(4)作答：回归实际问题作答．
78．（2023·全国·高三专题练习）进入4月份以来，为了支援上海抗击疫情，A地组织物流企业的汽车运输队从高速公路向上海运送抗疫物资.已知A地距离上海500，设车队从A地匀速行驶到上海，高速公路限速为.已知车队每小时运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v的立方成正比，比例系数为b，固定部分为a元.若，，为了使全程运输成本最低，车队速度v应为（ ）
A．80 B．90 C．100 D．110
【答案】C
【分析】设运输成本为元，依题意可得，利用导数求出函数的单调性，即可得到函数的极小值点，从而得解；
【详解】解：设运输成本为元，依题意可得，
则
所以当时，当时，当时，
即函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时取得极小值即最小值，
所以时全程运输成本最低；
故选：C
79．（2023春·湖南湘潭·高三湘钢一中校考开学考试）从商业化书店到公益性城市书房，再到“会呼吸的文化森林”——图书馆，建设高水平、现代化、开放式的图书馆一直以来是大众的共同心声.现有一块不规则的地，其平面图形如图1所示，（百米），建立如图2所示的平面直角坐标系，将曲线看成函数图象的一部分，为一次函数图象的一部分，若在此地块上建立一座图书馆，平面图为直角梯形（如图2），则图书馆占地面积（万平方米）的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由条件求的解析式，设，利用表示梯形的面积，利用导数求其最大值.
【详解】因为曲线是函数的图象，点的坐标为，
所以，故，
所以，
设线段对应的函数解析式为，
因为直线经过点，所以，
所以，
设，则点的坐标为
由可得，
所以点的坐标为，
所以，
所以直角梯形的面积，
所以，
令，可得，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
所以当时，函数取最大值，最大值为.
故选：D.
考点17 利用导数研究函数的极值和最值10种常见考法归类
考点一 知图判断函数极值与极值点
考点二 求函数的极值与极值点
（一）不含参
（二）含参
考点三 由极值求参数的值或范围
考点四 由极值点求参数的值或范围
考点五 利用极值解决函数的零点问题
考点六 求函数的最值
（一）不含参
（二）含参
考点七 由函数的最值求参数问题
考点八 函数的单调性、极值与最值的综合应用
考点九 不等式恒成立与存在性问题
考点十 利用导数解决实际问题
1. 函数的极值
(1)函数极值的定义：如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0. 类似地，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0. 我们把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值；b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值. 极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.
(2)函数在某点取得极值的必要条件和充分条件：一般地，函数y＝f(x)在某一点的导数值为0是函数y＝f(x)在这点取得极值的必要条件. 可导函数y＝f(x)在x＝x0处取极大(小)值的充分条件是：
①f′(x0)＝0；
②在x＝x0附近的左侧f′(x0)>0(<0)，右侧f′(x0)<0(>0).
(3)导数求极值的方法：解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值.
2. 知图判断函数极值
由导函数图象判断函数y＝f(x)的极值， 要抓住两点：①由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；②由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x) 的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性，两者结合可得极值点. ③要特别注意导函数图象在哪个区间上为正，哪个区间上为负，在哪个点处与x轴相交，在该点附近的导数值是如何变化的，若是由正值变为负值，则在该点处取得极大值；若是由负值变为正值，则在该点处取得极小值．
3. 函数极值和极值点的求解步骤
(1)确定函数的定义域．
(2)求方程f′(x)＝0的根．
(3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格．
(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况．
注：①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号.
②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点.
③原函数出现极值时，导函数正处于零点，归纳起来一句话：原极导零．这个零点必须穿越轴，否则不是极值点．判断口诀：从左往右找穿越（导函数与轴的交点）；上坡低头找极小，下坡抬头找极大．
④f(x)在x＝x0处有极值时，一定有f ′(x0)＝0，f(x0)可能为极大值，也可能为极小值，应检验f(x)在x＝x0两侧的符号后才可下结论；若f ′(x0)＝0，则f(x)未必在x＝x0处取得极值，只有确认x1
(1)对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号．f′(x0)＝0是x0为函数极值点的必要不充分条件，故而要注意检验；
(2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f(x)在(a，b)内一定不是单调函数，反之，若函数在某区间上单调，则函数没有极值.
(3)对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立．
5. 已知函数极值（个数），确定函数解析式中的参数时，注意以下两点：
(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性．
6. 函数的最大(小)值
函数最大(小)值的再认识
①一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.
②若函数y＝f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数在[a，b]上的最小值，f(b)为函数在[a，b]上的最大值；若函数y＝f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数在[a，b]上的最大值，f(b)为函数在[a，b]上的最小值.
(2)导数求最值的一般步骤：设函数y＝f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
7. 最值与极值的区别与联系
(1)函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；
(2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有)．
(3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点（函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点），而最值点可以是区间的端点．
(4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得．
(5)函数在开区间内存在最值，则极值点必落在该区间内
8. 求函数最值的步骤
(1)求函数的定义域．
(2)求f′(x)，解方程f′(x)＝0.
(3)求极值、端点处的函数值，确定最值．
注意：不要忽略将所求极值与区间端点的函数值进行比较．
9. 含参数的函数的最值问题
(1)含参函数在区间上的最值通常有两类：一是动极值点定区间；二是定极值点动区间，这两类问题一般根据区间与极值点的位置关系来分类讨论.
(2)能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题．
(3)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值．
10. 求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点
(1)对函数进行准确求导，并检验f′(x)＝0的根是否在给定区间内．
(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值．
(3)比较极值与端点函数值的大小，确定最值．
11. 已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)
已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题．其中注意分类讨论思想的应用．
12. 三次函数的图象、单调性、极值
设三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，记Δ＝4b2－12ac＝4(b2－3ac)，并设x1，x2是方程f′(x)＝0的根，且x1
Δ>0
Δ≤0
图
象
单调性
在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递增；在(x1，x2)上单调递减
在R上是增函数
极值点
个数
2
0
(2)a<0
Δ>0
Δ≤0
图 象
单调性
在(x1，x2)上单调递增；在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递减
在R上是减函数
极值点
个数
2
0
13. 分离参数求解不等式恒成立问题的步骤
14. 不等式恒成立（有解）问题的转化
（1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
（2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则
不等式在区间D上恒成立．
不等式在区间D上恒成立．
（3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
（4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论：
不等式在区间D上有解
不等式在区间D上有解
（5）对于任意的，总存在，使得；
（6）对于任意的，总存在，使得；
（7）若存在，对于任意的，使得；
（8）若存在，对于任意的，使得；
（9）对于任意的，使得；
（10）对于任意的，使得；
（11）若存在，总存在，使得
（12）若存在，总存在，使得．
考点一 知图判断函数极值与极值点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的图象如图所示，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据和是的根，列出方程组求得，得到，结合是函数的极值点，即可求解.
【详解】由函数的图象知：和是的根，
即，解得，
所以，可得，
又由结合图象可得是函数的极值点，
即是的两个根，即是的两个实数根，
所以.
故选：C.
2．（2023·全国·高三专题练习）如图是函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（ ）
A．在区间上，是增函数
B．当时，取到极小值
C．在区间上，是减函数
D．在区间上，是增函数
【答案】D
【分析】对于ACD,根据导数的正负和原函数单调性之间的联系进行判断即可;
对于B，根据极值点处左右两边的单调性进行判断.
【详解】由导函数图象知，在时，，递减，A错；时，取得极大值（函数是先增后减），B错；时，，递增，C错；时，，递增，D正确．
故选：D.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的导函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．是的极小值点 B．是的极小值点
C．在区间上单调递减 D．曲线在处的切线斜率小于零
【答案】D
【分析】根据导函数图像，求得函数单调性，结合极值点定义，即可判断ABC选项，根据导数的定义和几何意义即判断D选项，从而得出答案.
【详解】由图像知，当或时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以在区间，内单调递增，在区间内单调递减，
是的极大值点，3是的极小值点，故ABC错误；
又因为，所以曲线在处切线斜率小于零，故D正确.
故选：D.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R上的函数f（x），其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ）
A．
B．函数在x＝c处取得最大值，在处取得最小值
C．函数在x＝c处取得极大值，在处取得极小值
D．函数的最小值为
【答案】C
【分析】根据导函数的图象确定的单调性，从而比较函数值的大小及极值情况，对四个选项作出判断.
【详解】由题图可知，当时，，所以函数在上单调递增，
又a
由题图可知，当时，，所以函数在[d，e]上单调递减，从而，所以D不正确．
故选：C．
5．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）已知定义在区间上的函数的导函数为，的图象如图所示，则（ ）
A．在上有增也有减
B．有2个极小值点
C．
D．有1个极大值点
【答案】D
【分析】利用导函数图象与函数单调性、极值点的关系即可判定.
【详解】由图可得，当，时，，当时，.
所以的单调递增区间为，，单调递减区间为，
所以有1个极大值点，1个极小值点.
故A、B错误，而，C错误.
故选：D
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．在区间内有3个极值点 D．的图象在点处的切线的斜率小于0
【答案】B
【分析】根据导函数的正负可得单调性，由单调性可判断AB正误；由极值点定义可知C错误；由可知D错误.
【详解】由图象可知：当和时，；当时，；
在，上单调递增；在上单调递减；
对于A，，，A错误；
对于B，，，B正确；
对于C，由极值点定义可知：为的极大值点；为的极小值点，即在区间内有个极值点，C错误；
对于D，当时，，在点处的切线的斜率大于，D错误.
故选：B.
考点二 求函数的极值与极值点
（一）不含参
7．（2023春·江西宜春·高三江西省丰城中学校考阶段练习）函数极值点为 _____．
【答案】/1
【分析】先求导数，利用导数值为零可得答案.
【详解】因为，所以，
当时，，为增函数，
当时，，为减函数；
所以是函数的极小值点.
故答案为：.
8．（2023·四川成都·统考二模）函数的极大值为______．
【答案】1
【分析】对函数求导，利用单调性即可得出函数的极大值.
【详解】依题意，
因为，所以，
所以，
所以在上，，单调递增；
在上，，单调递减.
所以在处取得极大值：.
故答案为：1.
9．【多选】（2023·全国·高三专题练习）设函数，则下列说法正确的是（ ）
A．没有零点 B．当时，的图象位于轴下方
C．存在单调递增区间 D．有且仅有两个极值点
【答案】BC
【分析】根据，求得的符号，即可判断B；利用导数求出函数的单调区间，即可判断C；再结合零点的存在性定理即可判断A；再根据极值点的定义即可判断D.
【详解】函数的定义域为，
，
令，则，
所以函数在上递减，
又，
所以存在上，使得，即函数有唯一零点，且，
当时，，即，函数递增，故C正确；
当时，，即，函数递减，
所以为函数的极大值点，无极小值点，
即有且仅有一个极值点，故D错误；
所以，
又，所以函数在上存在一个零点，故A错误；
当时，，所以，
即当时，的图象位于轴下方，故B正确.
故选：BC.
10．【多选】（2023·全国·模拟预测）已知函数，则（ ）
A．函数在上单调递增
B．函数有且仅有一个零点
C．函数有且仅有一个极值点
D．直线是曲线的切线
【答案】BC
【分析】利用导数求函数单调区间，由函数单调性确定极值点和零点，由导数的几何意义求切线方程.
【详解】函数的定义域为，则，
令，则在上恒成立，所以函数在上单调递增，又，
所以当时，，即，所以函数在上单调递减，
当时，，即，所以函数在上单调递增，
所以函数存在极小值，所以A选项不正确，B，C选项正确；
由得或，因为，，所以曲线在点处的切线方程为，同理在点处的切线方程为，所以D选项不正确．
故选：BC．
11．（2023·河南商丘·商丘市实验中学校联考模拟预测）已知函数．
(1)求的极值；
(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)极小值，无极大值.
(2)
【分析】（1）求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极值；
（2）参变分离可得对任意的，恒成立，令，，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最小值，即可得解.
【详解】（1）函数的定义域为，又，
令得，令得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，无极大值.
（2）由得，
即对任意的，恒成立，
令，，则，
令，则，
所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又，，，
所以当时在内存在唯一的零点，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，，
因为，所以，，
所以，
因为，所以，
所以，
所以实数的取值范围为.
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
12．【多选】（2023·全国·高三专题练习）对于函数，则（ ）
A．有极大值，没有极小值
B．有极小值，没有极大值
C．函数与的图象有两个交点
D．函数有两个零点
【答案】AD
【分析】对函数求导，通过求导判断函数的单调性从而可知函数是否有极值；画出函数与的图象从而可判断交点个数；函数有两个零点价于函数与图像有两个交点，数形结合即可判断.
【详解】，则，
因为在恒成立.
所以当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增；
所以在处有极大值，没有极小值，故A正确，B错误；
根据的单调性，画出函数图像，以及的图象，如图：
由此可知，函数与的图象只有一个交点，故C错误；
函数有两个零点等价于函数与图像有两个交点，如下图所示：
由此可知，函数与图像有两个交点，即函数有两个零点；故D正确.
故选：AD.
13．（2023·全国·高三专题练习）是定义在上的函数，满足，，则下列说法正确的是（ ）
A．在上有极大值 B．在上有极小值
C．在上既有极大值又有极小值 D．在上没有极值
【答案】D
【分析】先由题意得，再构造，得到，进而再构造，判断出，即，由此得到选项.
【详解】解：根据题意，，故，
又，得，故，
令，
则，
即，
记，
所以，
当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
所以，即，即，
所以在上单调递增，故在上没有极值.
故选项ABC说法错误，选项D说法正确.
故选：D
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而得到结果
（二）含参
14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．求函数的极值；
【答案】①当时，没有极值；②当时，有极大值，无极小值
【分析】求出函数的导数，分类讨论，当时,无极值，当时求出函数单调性，根据单调性得出极值.
【详解】，则定义域为，
.
①当时，恒成立，则为上的增函数，所以没有极值.
②当时，由，得；由，得.
所以在上单调递增，在上单调递减.
故当时，有极大值，无极小值.
综述：①当时，没有极值；
②当时，有极大值，无极小值
15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．
(1)讨论的极值；
(2)若不等式在上恒成立，求m的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）对函数求导，分，和三种情况进行分类讨论，进而求出函数的极值；
（2）将不等式等价转化为，构造函数，对函数二次求导进而求出参数的取值范围.
【详解】（1）因为函数，则，，当时，，此时单调递增，无极值；
当时，令，得；令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，无极小值；
当时，令，得；令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，无极大值．
综上，当时，函数无极值；当时，，无极小值；当时，，无极大值．
（2）由及，得，，
即．设，，
当时，需．由，得，
，设，
则，，
当时，由，得，因为，所以，
所以当时，则，即为增函数，则，
为增函数，则，所以符合条件．
当时，由，得，
因为，所以，所以当时，，则即为减函数，则，为减函数，则，不符合条件．
综上所述，m的取值范围为．
16．（2023·云南曲靖·统考模拟预测）已知函数是的导函数.
(1)求函数的极值；
(2)若函数有两个不同的零点，证明：.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导函数，再分和求出函数的单调区间，再根据极值的定义即可得解；
（2）由有两个不同的零点，得①，②，两式分别相加相减，得到的两个式子相除可得，不妨设，令，构造函数，利用导数判断函数的单调性，进而可得出结论.
【详解】（1）的定义域为，
，
当时，在上单调递减，故无极值；
当时，时时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故的极小值为，无极大值，
综上所述，当时，无极值；
当时，的极小值为，无极大值；
（2）依题意有两个不同的零点，即有两个不同的根，
即有两个不同的根，
则①，②；
①②得③，
②①得④，
由③④整理得，
不妨设，令，
令，则，
所以在上单调递增，所以，
即，即，
所以，
又，
所以，即，
令，则在上单调递增，
又，
所以，
即，所以.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
17．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知函数．
(1)求函数的极值点；
(2)设，为的两个极值点，证明：．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先求出，因式分解得出，再根据的值进行分类讨论即可；
（2）由有两个极值点，则的二阶导数有解，得出，由得出，令，，则且，构造（），得出，有，令（），则，得出，则，结合即可证明．
【详解】（1），
①当，即时，，
令，得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，故有唯一的极小值点1；
②当，即时，令，则，，
（ⅰ）当时，，则，在上单调递增，此时无极值点；
（ⅱ）当时，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
从而有两个极值点，极大值点为，极小值点为1；
（ⅲ）当时，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
从而有两个极值点，极大值点为1，极小值点为；
综上所述，当时，有唯一的极小值点1；
当时，有两个极值点，极大值点为，极小值点为1；
当时，无极值点；
当时，有两个极值点，极大值点为1，极小值点为．
（2）不妨设，
由题得，
则，设，则，
由，为函数的两个极值点可知，
则在上不单调，则有解，故，则，
由，得，
所以．
因为，，
所以，，
令，，
则，，，
故，且，
令（），
则，
则在上单调递减，，
即对，有，
令（），则，
则，即，
所以，
则，即，
又，
所以，故．
【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是利用导数研究（）的单调性，由得出，再结合基本不等式，从而得出结论；本题考查了利用导数研究函数单调性，基本不等式的应用，属于难题．
18．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知函数.
(1)讨论的极值；
(2)若有两个零点，求实数的取值范围，并求证：.
【答案】(1)极大值，无极小值
(2)，证明见解析
【分析】（1）求导，再分和讨论求解；
（2）结合（1）若有两个零点，由，得到，再将问题转化为，令，得到，再令，用导数法证明即可.
【详解】（1）由题得，
①当时，，
故在上单调递增，故无极值；
②当时，令，得，
当时，；当时，.
故在区间单调递增，在区间单调递减，
此时在处取得极大值，无极小值.
（2）由（1）知，当时，在区间内单调递增，在区间内单调递减，，
若有两个零点，则，所以，
当时，，
故存在，使得.
又当趋向于时，趋向于，故存在，使得，
故.
由，得，即；
要证，只需证，
两边同乘以，得.
因为，所以.
令，即证，
即证.
令，
.
令，
故在区间上单调递增，
故，因此在区间上单调递增，
故，因此原不等式成立.
【点睛】关键点睛：本题第二问关键是由有两个零点，得到，，从而把问题转化为，再两边同乘以进而转化为，令，转化为而得证.
考点三 由极值求参数的值或范围
19．【多选】（2023·山西·统考二模）已知在处取得极大值3，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】根据原函数极值点即为导函数零点可得，即可知，再根据极大值为3可解得或；易知当时，在处取得极小值，与题意不符，当时，函数在处取得极大值，符合题意，可得，，即，即可判断出结论.
【详解】由题意可得，
且是函数的极大值点，即，可得，
又极大值为3，所以，解得或；
当时，，此时，
时，，时，
所以函数在上单调递减，在上单调递增；
此时函数在处取得极小值，与题意不符，即舍去；
当时，，此时，
时，，时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减；
此时函数在处取得极大值，符合题意，
所以，，即，所以A正确，B错误；
此时，所以，，即C错误，D正确.
故选：AD
20．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知函数在处取得极值10，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．一定有两个极值点 D．一定存在单调递减区间
【答案】BCD
【分析】根据给定条件，利用导数结合极值、极值点求出a，b，再逐项判断作答.
【详解】函数定义域为R，求导得，
依题意，，即，解得或，
当时，，函数在R上单调递增，无极值，不符合题意，
当时，，当或时，，当时，，
因此函数在，上单调递增，在上单调递减，在处取得极小值，符合题意，
则，A不正确，B正确；函数在处取得极大值，一定有两个极值点，C正确；
一定存在单调递减区间，D正确.
故选：BCD
21．（2023·吉林延边·统考二模）若函数在处有极小值，则的值为______．
【答案】3
【分析】利用导数在处取到极值的必要不充分条件，从而求出值，再对进行检验即可求出结果.
【详解】因为，所以，
又因为函数在处有极小值，所以，解得或，
当时，，所以时，，时，，所以函数在处取得极小值；
当时，，所以时，，时，，所以函数在处取得极大值，不合题意，舍去，
故答案为：.
22．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有极值，则c的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求导得，则，由此可求答案．
【详解】解：由题意得，
若函数有极值，则，
解得，
故选：A．
23．（2023·广西柳州·高三柳州高级中学校联考阶段练习）已知函数，若函数在上有极值，则实数a的取值范围为___．
【答案】
【分析】根据导数与极值的关系求解即可.
【详解】因为，所以，
为二次函数，且对称轴为，
所以函数在单调递增，
则函数在单调递增，
因为函数在上有极值，
所以在有解，
根据零点的存在性定理可知，即，
解得，
故答案为：.
24．（2023·全国·高三专题练习）函数在上有唯一的极大值，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题知函数在上有唯一极大值，进而得，再解不等式即可得答案.
【详解】解：方法一：当时，，
因为函数在上有唯一的极大值，
所以函数在上有唯一极大值，
所以，，解得.
故选：C
方法二：令，，则，，
所以，函数在轴右侧的第一个极大值点为，第二个极大值点为，
因为函数在上有唯一的极大值，
所以，解得.
故选：C
25．（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）函数在区间上存在极值，则的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】利用导数讨论函数的单调性和极值即可求解.
【详解】函数的定义域为，
，
令，，
所以当时，，当时，，
所以在单调递增，单调递减，
所以，
又因为当时，则，
，
所以存在唯一，使得，
所以函数在时，时，
所以函数在单调递增，单调递减，
所以要使函数在区间上存在极值，
所以的最大值为3，
故选:B.
26．（2023·全国·高三专题练习）已知没有极值，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据没有极值，可知无变号零点，由二次函数性质可知，由此可解不等式求得结果.
【详解】；
在上没有极值，，即，
解得：，即实数的取值范围为.
故选：C.
27．（2023·全国·高三专题练习）函数在上无极值，则m＝______．
【答案】3
【分析】把题意转化为在上恒有，对m分类讨论，求出m的范围.
【详解】函数在上无极值即导函数在上无根．
在上恒有 ①；
而，
当时，①式解为或；显然时，①式不成立；
当时，①式解为或；显然时，①式不成立；
当m－1＝2时，①式解为x＝2，m＝3．
故答案为：3．
28．（2023秋·河北唐山·高三开滦第二中学校考期末）已知函数，若的极小值为负数，则的最小值为___________.
【答案】7
【分析】利用导数判断函数的单调性，再求函数的极小值，根据条件，列不等式求的极小值.
【详解】，，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以当时，函数取得极小值，，因为函数的极小值是负数，所以，所以，因为，所以的最小值是7.
故答案为：7
29．（2023·广西桂林·统考模拟预测）已知函数有极大值和极小值，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题，求导函数，由函数有极大值和极小值，即有两个不同解，由此，，求解即可
【详解】由题，，函数有极大值和极小值，所以有两个不同解，所以，，解得，
故选：B
30．（2023·陕西西安·长安一中校考二模）若函数在和，两处取得极值，且，则实数a的取值范围是__________．
【答案】
【分析】根据题意可得原题意等价于与有两个不同的交点，再数形结合分析两根的关系运算求解.
【详解】因为，则，
令，且，整理得，
原题意等价于与有两个不同的交点，
构建，则，
令，解得；令，解得或；
则在上单调递增，在上单调递减，且，
由图可得：若与有两个不同的交点，可得：，
因为，则，
由图可知：当增大时，则减小，增大，可得减小，
取，令，则，
因为，解得，
所以，则，
即实数a的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：对于函数的极值问题，需要根据题意参变分离，利用数形结合求解函数零点问题，即画出图像分析极值点之间的关系，并找到临界条件进行分析.
考点四 由极值点求参数的值或范围
31．（2023·全国·高三专题练习）若是函数的极值点，则的极小值为______．
【答案】
【分析】由极值点可知，从而求得，利用导数可求得单调性，再根据极小值的定义即可得解.
【详解】，
因为是函数的极值点，
所以，解得，
则，令，解得或，
则当或时，，当时，，
所以函数的增区间为，减区间为，
故的极小值为．
故答案为：.
32．（2023·全国·高三专题练习）已知，若不是函数的极小值点，则下列选项符合的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用数轴标根法，画出的草图，对选项A，B，C，D逐一分析.
【详解】解：令，得.
下面利用数轴标根法画出的草图，借助图象对选项A，B，C，D逐一分析.
对选项A：若，由图可知是的极小值点，不合题意；
对选项B：若，由图可知不是的极小值点，符合题意；
对选项C：若，由图可知是的极小值点，不合题意；
对选项D：若，由图可知是的极小值点，不合题意；
故选：B.
【点睛】方法点睛：利用数轴标根法，口诀 “自上而下，从右到左，奇穿偶不穿”，画出的草图，结合极小值点的定义，对选项A，B，C，D逐一分析，即可求解.
33．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若在区间内没有极值点，则的取值范围是___________.
【答案】
【分析】由题设得，根据区间内没有极值点，应用整体代入法列不等式得或且，即可求的范围.
【详解】，
∴上，没有极值点，
∴或，
∴或，而且得：，
∴，或.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：应用三角恒等变换化简函数式，由区间内不存在极值点列不等式组求参数范围.
34．（2023·全国·模拟预测）已知函数的导函数为，则“在上有两个零点”是“在上有两个极值点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】结合充分、必要条件定义及极值点的概念即可可判断.
【详解】只有当在上有两个变号零点时，在上才有两个极值点，故充分性不成立；若在上有两个极值点，则在上有两个变号零点，则在上至少有两个零点，故必要性不成立.综上，“在上有两个零点”是“在上有两个极值点”的既不充分也不必要条件，
故选：D.
35．（2023·上海黄浦·统考一模）已知，且函数恰有两个极大值点在，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】运用整体思想法，求得的范围，再运用正弦函数图象分析即可.
【详解】∵，，
∴，
又∵在恰有2个极大值点，
∴由正弦函数图象可知，，解得：.
故选：B.
36．（2023春·四川雅安·高三雅安中学校联考阶段练习）已知函数有两个极值点，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由极值点定义得到，，两式相减，结合上面的等式求出答案.
【详解】由，得，可得．
因为，
所以两式作差得，
则，
所以，解得．
故选：A
37．【多选】（2023·山东泰安·统考一模）已知函数有两个极值点，，则（ ）
A． B． C． D．，
【答案】ACD
【分析】求出，根据已知得有两个变号零点，令，求出，分类讨论根据其正负得出单调性，令其满足有两个变号零点，当时，不满足题意，当时，则，即可解出的范围，判断A；
根据已知可得有两个变号零点，，而函数在上单调递增，在上单调递减，则，即可判断B；
，则，根据不等式的性质即可得出范围，判断C；
根据得出函数单调性，结合，且，列不等式，即可判断D.
【详解】对于A：，定义域，
，
函数有两个极值点，，
则有两个变号零点，
设，
则，
当时，，则函数单调递增，则函数最多只有一个变号零点，不符合题意，故舍去；
当时，时，，时，，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
若有两个变号零点，则，解得：，
此时由正趋向于时，趋向于，趋向于时，趋向于，
则有两个变号零点，满足题意，
故的范围为：，故A正确；
对于B：函数有两个极值点，，
即有两个变号零点，，
则，故B错误；
对于C：当时，，
则，即，，
则，故C正确；
对于D：有两个变号零点，，且函数先增后减，
则函数在与上单调递减，在上单调递增，
，且，
，故D正确；
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种转化方法：
一是利用导数研究含参函数的单调性，常转化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；
二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理；
再利用导数研究函数单调性、极值或最值时，如果一次求导无法求解，可考虑多次求导来进行求解，求解过程要注意原函数和对于的导函数的关系，不能混淆.
38．（2023·湖南邵阳·统考三模）已知函数有两个极值点，，且，则实数m的取值范围是__________.
【答案】
【分析】根据极值点的定义，结合函数零点的定义，通过构造函数，利用数形结合思想进行求解即可.
【详解】由有两个不同实根，
且，
设，
当时，，当时，，
在单调递减，在单调递增，所以，
显然当时，，当时，，
图象如下：
所以有，则有，
当时，即.，
时，，
故答案为：
【点睛】关键点睛：根据函数极值的定义，结合构造函数法、数形结合法进行求解是解题的关键.
39．（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考期末）已知函数将其向右平移个单位长度后得到，若在上有三个极大值点，则一定满足的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据平移变换得函数，由在上有三个极大值点，结合正弦函数图象可得，再求的范围，结合正弦函数的单调性，由此可判断答案.
【详解】解：有题意可得，
由得，由于在上有三个极大值点，
所以，解得，
当，
而，故A正确，
当，
而，故B不正确，
当，，
而，故C不正确，
当，，
而，故D不正确，
故选：A.
考点五 利用极值解决函数的零点问题
40．（2023·全国·高三专题练习）已知函数恰有一个零点，则实数a的取值范围为______．
【答案】．
【分析】使用参数分离的方法，将原方程转变为直线 与曲线相交，并且只有唯一交点.
【详解】由 ，x=0不是方程的解，∴ ，
将原方程唯一零点转变为直线与曲线 有唯一交点，
下面讨论曲线的图像：
的定义域为 ， ，
当 时， ，当 时， ，
当 时， ，
因此y在处，取得极小值，其极小值为 ，
当 时，，即y是单调递减的，
当x从小于0的方向趋向0的时候，y趋向于 ，
故图像如下图：
；
故答案为：.
41．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有三个零点，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【分析】通过分离参数得，研究函数的单调性，极值点，零点，从而得到其大致图像，则得到的范围，解出即可.
【详解】当时，此时，显然无零点.
当时，得，
令，，分别令，，
前者解得，，后者解得或，
故在，递减，递增.
故的极小值为，极大值为，
令，显然分母，则分子，，则有唯一零点0，
作出大致图像如图所示：
所以，解得实数的取值范围是.
故答案为：.
42．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上恰有三个零点，则（ ）
A．的最小值为 B．在上只有一个极小值点
C．在上恰有两个极大值点 D．在上单调递增
【答案】BD
【分析】利用函数在上有三个零点可求得的取值范围，可判断A选项；利用极值点的定义可判断BC选项；利用余弦型函数的单调性可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为，当时，，
由函数在上恰有三个零点，所以，，解得，
所以，的最小值为，A错；
对于B选项，由A选项知，，
则当，即时，函数取得极小值，即在上只有一个极小值点，B对；
对于C选项，当时，函数在上只有一个极大值点，C错；
对于D选项，当时，，
因为，所以，，
所以，函数在上单调递增，D对.
故选：BD.
43．（2023·全国·高三专题练习）定义在上的函数在区间内恰有两个零点和一个极值点，则的取值范围是_____________.
【答案】
【分析】依题意首先求出的大致范围，进而确定的范围，根据题意结合正弦函数可得，即可求出ω的取值范围.
【详解】设函数的最小正周期为，
由正弦型函数可知：两个零点之间必存在极值点，两个极值点之间必存在零点，
则，则，
注意到，解得，
∵，则，
由题意可得：，解得，
故的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：
（1）根据正弦型函数的性质估算的范围；
（2）求的范围，结合正弦函数的图象与性质列式求解.
44．（2023·江西上饶·统考二模）已知函数在内恰有4个极值点和3个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】辅助角化简，由已知上恰有4个极值点和3个零点，数形结合列不等式求参数的范围.
【详解】由且，
因为，所以，
又在内恰有4个极值点和3个零点，
由正弦函数的图象知：，解得：，
所以实数的取值范围是.
故选：C
45．（2023·全国·高三阶段练习）已知函数，其中.
(1)若的极小值为－16，求；
(2)讨论的零点个数.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】(1)求出导函数，进而求得极小值点，再代入求解即可.
(2)画出函数的大致图像，结合图像分类讨论即可求得结论.
【详解】（1）由题得，其中，
当时，，单调递增，无极值；
当时，令，解得或；令，解得，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为，，
所以当时，取得极小值，
所以，解得.
（2）由（1）知当时，的极小值为，
的极大值为，
当，即时，有三个零点，如图①曲线 ；
当，即时，有两个零点，如图②曲线；
当，即时，有一个零点，如图③曲线；
当时，，易知有一个零点.
综上，当时，有一个零点；当时，有两个零点；当时，有三个零点.
考点六 求函数的最值
（一）不含参
46．（2023·全国·高三专题练习）函数在内的最大值为______．
【答案】
【分析】对函数求导，，将问题转为研究的性质，设，，求得恒成立，由此判断当时，，单调递减，解得.
【详解】由题可得，
设，，
因为，所以，
所以，
所以，单调递增，，
所以当时，，单调递减，则．
故答案为：.
47．（2023·安徽亳州·高三校考阶段练习）已知函数，该函数的最大值为__________．
【答案】
【分析】化简函数，令且，则，求得，得出函数的单调性，结合单调性与极值，即可求解.
【详解】由题意，函数，
令且，则，
从而， 令，解得或，
当时，；当时，；
当时，，
所以在上单调递减；在上单调递增；在上单调递减．
因为，，所以的最大值为.
故答案为：.
48．（2023·全国·高三专题练习）若是函数的极小值点，则函数在区间上的最大值为______．
【答案】/
【分析】求导，根据极值点可得，进而解得或，代入验证极值点可确定，进而根据极大值以及端点处的函数值进行比较即可求解.
【详解】由，得，
因为是函数的极小值点，所以，即，
即，解得或．
当时，，
当或时，，当时，，
所以，在区间，上单调递增，在上单调递减，
所以是函数的极大值点，不符合题意；
当时，，
当或时，，当时，，
所以在区间，上单调递增，在上单调递减，
所以是函数的极小值点，是函数的极大值点，故
又因为，，
所以函数在的最大值为．
故答案为：．
49．（2023·内蒙古呼和浩特·呼市二中校考模拟预测）已知正数满足，则的最小值为_________．
【答案】
【分析】运用同构函数研究其单调性可得，将求的最小值转化为求上的最小值，运用导数研究的最小值即可.
【详解】因为，即，所以，所以.
令，则，所以在上单调递增，所以，即，所以，
令.
则．令，解得：；令，解得：；
所以在上单调递减，在上单调递增，所以.
即的最小值为.
故答案为：.
【点睛】同构法的三种基本模式：①乘积型，如可以同构成，进而构造函数；②比商型，如可以同构成，进而构造函数；③和差型，如，同构后可以构造函数f或.
50．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）若P，Q分别是抛物线与圆上的点，则的最小值为________．
【答案】/
【分析】设点，圆心，的最小值即为的最小值减去圆的半径，求出的最小值即可得解．
【详解】依题可设，圆心，根据圆外一点到圆上一点的最值求法可知，
的最小值即为的最小值减去半径．
因为，，
设，
，由于恒成立，
所以函数在上递减，在上递增，即，
所以，即的最小值为．
故答案为：．
（二）含参
51．（2023·江西·高三统考期中）已知
(1)求的最值；
(2)若有两个零点，求k的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求出函数的定义域，对函数求导，由导函数的正负确定函数的单调性，进而求出最值；
（2）构造函数，求导确定函数的单调性，确定函数的最值，画出函数的图象，确定参数的取值范围.
【详解】（1）的定义域为，.
当时，恒成立，在上单调递增，此时函数无最值.
当时，在上，，单调递增；
在上，，单调递减.
所以在处取得极大值，即最大值，.
综上可知，时，在上无最值.
时，的最大值为，无最小值.
（2）有两个零点，可得有两个实根.
令，.
令，得；令，得，
在上单调递增，在上单调递减.
.
当时，，，所以，又，
时，；时，.
大致图象如图所示，
若直线与的图象有两个交点，
则，∴k的取值范围是.
【点睛】常见的根据函数的零点个数求参数取值范围的方法：
1.将函数的零点转化为对应方程的根的个数，进一步转化为函数与函数图像交点的个数；
2.根据题意直接转化为函数的图像与轴的交点的个数，讨论求出参数的取值范围.
52．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，.
(1)讨论函数在区间上的最大值；
(2)确定k的所有可能取值，使得存在，对任意的，恒有.
【答案】(1)答案详见解析
(2)
【分析】（1）构造函数，求得，对进行分类讨论，由此求得所求的最大值.
（2）对进行分类讨论，化简不等式，利用构造函数法，结合导数来求得的值.
【详解】（1），，
则，
当时，对任意恒成立，又，所以恒成立，
所以在上递减，所以的最大值为.
当时，在区间，递增；
在区间递减.
所以的最大值是.
（2）由（1）知，当时，时，；
当时，对任意，，
要使成立，显然.
当时，，
令，
则，
对于方程，，
所以方程有两个不同的实数根，，
由于，所以，
故在区间，递增，
此时，即，所以满足题意的不存在.
当时，由（1）知，存在，使得对任意的恒有，
此时，
令，
，
对于方程，，
所以方程两个不同的实数根，
，
由于，所以，
所以在区间递增，
此时即，
即与中较小者为，则当时，恒有，
所以满足题意的不存在.
当时，由（1）知当时，，
令，
，
所以当时，递减，
所以在区间上，
故当时，恒有，此时任意实数满足题意.
综上所述，.
【点睛】利用导数研究函数的最值，当导函数含有参数时，要注意对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.当所要研究的函数含有绝对值时，可对绝对值内的式子的符号进行分类讨论，去绝对值，将式子转化为没有绝对值的形式来进行研究.
53．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)当时，讨论函数在上的单调性；
(2)当时，求在内的最大值；
(3)当时，判断函数的零点个数
【答案】(1)函数在上单调递增．
(2)
(3)有且仅有1个零点．
【分析】（1）求导即可判断其单调性；
（2）根据题意，求导得，可得，从而可得；
（3）根据题意，求导可得，分，分别讨论，结合函数的单调性与最值即可得到零点个数.
【详解】（1）当时，，，且．
当时，，，则，
即，故函数在上单调递增．
（2），
令，则，
由且，可得，，则，在内单调递增，
所以，
又当时，，
所以，在内单调递增，
故．
（3）当时，，定义域为，
则，，
当时，，
则，，单调递增；
当时，令，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
则，
因为，所以，，则，
所以，则，
所以，，
则当时，，在上单调递增．
综上可知，函数在定义域上单调递增．
又当时，；当时，，且，
故当时，函数在其定义域内有且仅有1个零点．
考点七 由函数的最值求参数问题
54．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）当时，函数取得最大值，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】根据条件列方程组求出a和b.
【详解】因为函数定义域为，所以依题可知， ，
而 ，
所以，即 ，所以 ，
因此当时，,故函数在递增；时，,
故函数在上递减，时取最大值，满足题意，即有 ；
故选：C．
55．（2023·广西·统考模拟预测）已知函数存在最大值0，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】讨论与0的大小关系确定的单调性，求出的最大值.
【详解】因为，，
所以当时，恒成立，故函数单调递增，不存在最大值；
当时，令，得出，
所以当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以，解得：.
故选：B.
56．（2023春·新疆·高三校考阶段练习）若函数在区间上的最大值为2，则它在上的极大值为（ ）
A． B． C．24 D．27
【答案】D
【分析】首先求出函数的导函数，即可求出函数的单调区间与极值点，再根据函数在区间上的最大值，求出参数的值，即可求出函数的极大值；
【详解】解：因为，所以，当时，当或时，即在上单调递增，在和上单调递减，所以是函数取得极小值，时函数取得极大值，又，，所以，解得，所以
故选：D
57．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数在区间上的最大值为k，则函数在上（ ）
A．有极大值，无最小值 B．无极大值，有最小值
C．有极大值，有最大值 D．无极大值，无最大值
【答案】D
【分析】利用导函数研究单调性，结合区间最值求得，进而判断在上的单调性，即可得答案.
【详解】由，则时，时，
所以在上递增，上递减，
而，在上的最大值为k，
所以，即，此时在上递减，且无极大值和最大值.
故选：D
58．（2023·陕西宝鸡·统考二模）函数在内有最小值，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】求出，设，得出有一正根一负根，因此题意说明正根在区间内，从而由得参数范围．
【详解】，
设，因为，因此有两个不同实根，
又，因此两根一正一负，
由题意正根在内，
所以，解得，
故选：A．
59．（2023·上海松江·统考二模）已知函数，，在区间上有最大值，则实数t的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用导数求出函数单调性，据此知函数有极大值，根据函数在开区间上有最大值可知，区间含极大值点
【详解】，
当或时，，当时，，
所以函数在，上递增函数，在上递减函数，
故时函数有极大值，且，
所以当函数在上有最大值，则且，
即，解得.
故选：B.
60．（2023·四川宜宾·统考三模）若函数的最小值是，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用导数求出函数在上的极小值，然后对实数的取值进行分类讨论，结合可求得实数的取值范围.
【详解】当时，，则，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，函数的极小值为，
因为函数的最小值为，当时，函数在上单调递减，
此时，函数在上无最小值，不合乎题意；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
此时，函数在上的极小值为，且，则，
综上所述，.
故选：A.
61．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间内既存在最大值也存在最小值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】利用导数求出在处取得极小值，在处取得极大值，再根据且，结合三次函数的图象列不等式组可求得结果.
【详解】由得或，
可以判断在处取得极小值，在处取得极大值.
令，得或，令，得或，
由题意知函数在开区间内的最大、最小值只能在和处取得，
结合函数的图象可得：，解得，
故的取值范围是.
故选：A
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值和最值，考查了数形结合思想，属于基础题.
62．（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知函数，．
(1)当时，求函数的最小值；
(2)若函数的最小值为，求的最大值．
【答案】(1)0
(2)1
【分析】（1）当时，令，求得，根据在不同区间的符号判断的单调性，由单调性即可求出的最小值；
（2）将等价变换为，借助第（1）问中判断的符号时构造的在时取最小值，取，将问题转化为有解问题即可.
【详解】（1）当时，令，，
则，
令，，则，
易知在上单调递增，且，
∴当时，，在区间上单调递减，且，
当时，，在区间上单调递增，且，
∴当时，，在区间上单调递减，
当时，，在区间上单调递增，
当时，取得极小值，也是最小值，，
∴当时，函数的最小值为.
（2）由已知，的定义域为，
若函数的最小值为，则有，∴，，
令，即的最小值为，
由第（1）问知，当且仅当时，取最小值，
∴当且仅当时，取得最小值，
又∵，
∴只需令有解，即有解，
令，，则，
当时，，在区间上单调递增，
当时，，在区间上单调递减，
∴，
综上所述，若函数的最小值为，则的最大值为.
【点睛】在导数压轴题中，常常会使用前问的结论或某一步构造的函数，解决后面的问题.本题第（2）问中直接求导分析的单调性较为困难，这里使用了换元思想，借助第（1）问构造的，使，以达到简化运算的目的.
考点八 函数的单调性、极值与最值的综合应用
63．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的函数，是的导函数，若，且，则下列结论正确的是（ ）
A．函数在定义域上有极小值．
B．函数在定义域上单调递增．
C．函数的单调递减区间为．
D．不等式的解集为．
【答案】BC
【分析】令并求导，结合已知可得，进而可得，构造并研究单调性判断A、B；构造、分别研究它们的单调性判断C、D.
【详解】令，则，又得：，
由得：，
令得：，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，即，
所以单调递增，所以B正确，A不正确；
由且定义域为得：，
令，解得，即的单调递减区间为，故C正确．
的解集等价于的解集，
设，则，
当时，，此时，即在上递减，
所以，即在上成立，故D错误．
故选：BC
【点睛】关键点睛：令，根据已知得，利用导数研究其单调性和极值情况，构造研究单调性，对于D问题转化为判断在上的符号.
64．【多选】（2023春·浙江宁波·高三校联考阶段练习）已知函数的图象在上恰有两条对称轴，则下列结论不正确的有（ ）
A．在上只有一个零点
B．在上可能有4个零点
C．在上单调递增
D．在上恰有2个极大值点
【答案】ACD
【分析】求函数的对称轴方程，由条件列不等式求的范围，再求函数的零点，判断A，B，求函数的单调区间判断C，求函数的极值点判断D.
【详解】由，可得，
所以函数的对称轴方程为，
令，可得，
因为函数的图象在上恰有两条对称轴，
所以，
所以，
令，可得，
所以，所以，
令，可得，
当时，或，此时函数在上有两个零点，A错误；
令，可得，
当时，或或或，所以函数在上可能有4个零点，B正确；
由可得，
因为函数在上单调递增，在上单调递减，
又，所以函数在上不是单调递增函数，C错误；
由可得，
所以当时，，此时函数在上有三个最大值，故在上恰有3个极大值点，D错误；
故选：ACD.
65．【多选】（2023·全国·模拟预测）已知函数的图像经过点，则（ ）
A．函数的最大值为2 B．点是函数图像的一个对称中心
C．是函数的一个极小值点 D．的图像关于直线对称
【答案】BCD
【分析】将点代入函数式求得，应用三角恒等变换化简，结合正弦型函数的性质判断各项的正误即可.
【详解】因为函数的图像经过点，
所以，即，又，则，
所以，其最大值为1，A错误．
因为图像的对称中心是点，，
令，得：，，当时，
所以是函数图像的一个对称中心，B正确．
令得：，，
所以，，当时，
所以是函数的一个极小值点，C正确．
因为图像的对称轴方程是，，
所以令，得：，，当时，
所以直线是函数图像的一条对称轴，D正确．
故选：BCD
66．（2023春·河南郑州·高三校考期中）已知函数的最小值为，函数的一个零点与极小值点相同，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】先通过的一个零点与极值相同，可知极小值为0，据此得到，的一个关系，再代入到，研究最小值点，结合最小值为，可求答案.
【详解】当时，，显然不合题意；
由得，
令，得或，
显然，故，
因为，
所以，
化简可得，所以.
因为的最小值为，且，
所以是的极值点；
因为，
故得，
代入得，
所以，
当时，，
由得，所以在单调递减，
故，与题设矛盾，舍去；
当时，，
由得，由得或，
所以在单调递增，在，单调递减，
因为当趋近于正无穷大时，趋近于0，且，
又因为，所以为最小值，符合题意；
故即为所求，所以.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两个：一是根据零点与极值点相同得出的关系式；二是利用最小值来求解参数.
67．（2023春·四川成都·高三石室中学校考开学考试）已知函数的极值点均不大于2，且在区间上有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据区间为开区间，可得最小值只能在极小值处取得，由此求导得出极值点，并分，，三种情况判断函数的单调性，最后根据是否有最小值，求出实数a的取值范围.
【详解】易知最小值只能在极小值处取得，，
解得导数零点为，根据题意可得．
当时，在上，在上单调递增，无最值；
当时，在上，上，上，
所以在上单调递增，上单调递减，上单调递增，
所以在取得极小值，又极小值必须为最小值，
所以，即，
所以；
当时，在上，上，
所以在上单调递减，上单调递增，此时函数有最小值满足条件，
综上所述，的取值范围为．
故选：A．
68．（2023·宁夏银川·六盘山高级中学校考一模）已知函数的极值点为，函数的最大值为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】对求定义域，求导，观察出导函数单调递增，结合零点存在性定理得到，对求定义域，求导，得到其单调性和极值，最值，得到，判断出.
【详解】的定义域为，
在上单调递增，且，，
所以，．
的定义域为，由，
当时，，当时，，
故在处取得极大值，也是最大值，，
即．所以．
故选：A
考点九 不等式恒成立与存在性问题
69．（2023春·广东韶关·高三南雄中学校考阶段练习）已知e是自然对数的底数．若，成立，则实数m的最小值是________．
【答案】/
【分析】根据给定的不等式，两边同乘x，利用同构的思想构造函数，借助函数单调性求得恒成立的不等式，再分离参数构造函数，求出函数最大值作答.
【详解】由得，即，
令，求导得，则在上单调递增，
显然，当时，恒有，即恒成立，
于是当时，，有，
从而对恒成立，即对恒成立，
令，求导得，则当时，；当时，，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，，则，
所以实数m的最小值是．
故答案为：
【点睛】思路点睛：涉及函数不等式恒成立问题，将不等式等价转化，利用同构思想，构造新函数，借助函数的单调性分析求解.
70．（2023·全国·高三专题练习）若对任意，总有不等式成立，则实数a的最大值是__________．
【答案】e
【分析】由得，同构函数，求导判断函数的单调区间求得最值，再换元，转化成，再构造新函数，求导判断函数单调区间，即可求得最值.
【详解】因为，所以可化为，
构造，则，
令，得；令，得，
故在上单调递减，在上单调递增，
则，
令，则，
故可化为对恒成立，即，
构造，则，
所以在上单调递增，故，即，
所以a的最大值是e．
71．（2023·全国·模拟预测）已知函数.若任意的，，都有，则实数的最大值是______.
【答案】
【分析】利用导数研究函数在的单调性，由条件列可得，，利用导数研究函数的单调性，由此可求的最大值.
【详解】函数的导函数为，
令，则，
当时，，当且仅当时，，
所以函数在上单调递增，
所以，
所以函数在上单调递增，
所以当，时，，
即，
由已知可得，，
所以，，
设，，则，
则，
设，
则，
当且仅当时，，
所以函数在上单调递增，又，
所以当时，，，函数在上单调递减，
当时，，，函数在上单调递增，
因为，，
若则，，矛盾，故，
所以.
所以的最大值是.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
72．（2023·海南·校联考模拟预测）已知函数，，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是________.
【答案】
【分析】利用导数证明，将圆不等式转化为对恒成立，设，只需函数在上单调递增，由可得，即可求解.
【详解】设，则（），
令，令，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
得，即，即.
由题意，对恒成立，
转化为对恒成立，
设，则对恒成立，
只需函数在上单调递增，
即在上恒成立，
有在上恒成立，得，
即实数a的取值范围为.
故答案为：.
73．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，若在处取得极值，且对于，均有，则b的取值范围为______．
【答案】
【分析】首先由在处取得极值得出的值，再由分析得，再分别由导数求出和的最小值和最大值，即可求出b的取值范围．
【详解】由，则，
解得，，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以是的极值点，且，
由题意得，
令，解得，则当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
故，
因为对于，均有，则，
即，解得，
故答案为：．
74．（2023·四川成都·石室中学校考三模）已知函数的极小值点为．
(1)求函数在处的切线方程；
(2)设，，恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由的极小值点为，得得出的值，再检验得的值满足题意，分别求出和即可写出函数在处的切线方程；
（2）法一：由，恒成立，得出，令得出或，分类讨论与的大小关系即可得出m的取值范围；法二：首先由及得出当时，则，当时，，则，当时，显然成立，设，由确定的最值，即可求出的范围．
【详解】（1）因为的定义域为，，函数的极小值点为，
所以，解得，
所以，，
令得，
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，为函数的极小值点，满足题意，
因为，，
所以函数在处的切线方程为，即，
所以函数在处的切线方程为．
（2）法一：分类讨论
因为，，恒成立，
所以，，
因为，所以，
令得，
①当即时，，
所以在上单调递增，
所以，不满足，舍去；
②当即时，，
所以在单调递增，
所以，满足；
③当即时，，
则时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，
所以，
综上所述，实数m的取值范围为．
法二：变量分离
因为，，，
所以，
所以在上单调递增，且，
即当时，，当时，，
因为，恒成立，
所以，
①当时， ，即恒成立，
设，则
，
令得或，
因为，，
所以在上单调递增，
所以，
所以时，；
②时，，即恒成立，
由①得，，
因为当时，当时，
所以在单调递增，在单调递减，
所以当，，
所以；
③当时，成立，
综上所述，．
考点十 利用导数解决实际问题
75．（2023·四川·校联考一模）四棱锥的底面为正方形，平面ABCD，顶点均在半径为2的球面上，则该四棱锥体积的最大值为（ ）
A． B．4 C． D．8
【答案】C
【分析】设正方形ABCD的外接圆的半径为，球心到平面ABCD的距离为，则，四棱锥的体积为，设，利用导数研究函数的单调性可求得答案．
【详解】设正方形ABCD的外接圆的半径为，球心到平面ABCD的距离为，
则，且正方形ABCD的面积为，
四棱锥的体积为，
设，，则，
于是时，，单调递增；时，，单调递减，
从而，于是．
故选：C.
76．（2023·全国·高三专题练习）某制造商制造并出售球形瓶装的某种液体材料.瓶子的制造成本是分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径.已知每出售1mL的液体材料，制造商可获利0.3分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为8cm，则当每瓶液体材料的利润最大时，瓶子的半径为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【答案】A
【分析】根据给定条件，借助球的体积公式求出每瓶液体材料的利润，再利用导数求解作答.
【详解】依题意，每瓶液体材料的利润，，
则，令，得，当时，，当时，，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，即当时，取最大值，
所以当每瓶液体材料的利润最大时，.
故选：A
77．（2023·全国·高三专题练习）某机床厂工人利用实心的圆锥旧零件改造成一个正四棱柱的新零件，且正四棱柱的中心在圆锥的轴上，下底面在圆锥的底面内．已知该圆锥的底面圆半径为3cm，高为3cm，则该正四棱柱体积（单位：）的最大值为（ ）
A． B．8 C． D．9
【答案】B
【分析】设，借助于圆锥的轴截面分析可得，利用柱体体积公式可求得，求导，利用导数求最值.
【详解】显然当正四棱柱的上底面顶点在圆锥表面时的体积较大，
如图，借助于圆锥的轴截面，
由题意可得：，
设，则，可得，
故该正四棱柱体积，
构建，则，
∵，
当时，；当时，；
则在上单调递增，在上单调递减，
∴，
故该正四棱柱体积的最大值为8（）.
故选：B.
【点睛】方法定睛：利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤
(1)建模：分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)．
(2)求导：求函数的导数f ′(x)，解方程f ′(x)＝0.
(3)求最值：比较函数在区间端点和使f ′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．
(4)作答：回归实际问题作答．
78．（2023·全国·高三专题练习）进入4月份以来，为了支援上海抗击疫情，A地组织物流企业的汽车运输队从高速公路向上海运送抗疫物资.已知A地距离上海500，设车队从A地匀速行驶到上海，高速公路限速为.已知车队每小时运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v的立方成正比，比例系数为b，固定部分为a元.若，，为了使全程运输成本最低，车队速度v应为（ ）
A．80 B．90 C．100 D．110
【答案】C
【分析】设运输成本为元，依题意可得，利用导数求出函数的单调性，即可得到函数的极小值点，从而得解；
【详解】解：设运输成本为元，依题意可得，
则
所以当时，当时，当时，
即函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时取得极小值即最小值，
所以时全程运输成本最低；
故选：C
79．（2023春·湖南湘潭·高三湘钢一中校考开学考试）从商业化书店到公益性城市书房，再到“会呼吸的文化森林”——图书馆，建设高水平、现代化、开放式的图书馆一直以来是大众的共同心声.现有一块不规则的地，其平面图形如图1所示，（百米），建立如图2所示的平面直角坐标系，将曲线看成函数图象的一部分，为一次函数图象的一部分，若在此地块上建立一座图书馆，平面图为直角梯形（如图2），则图书馆占地面积（万平方米）的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由条件求的解析式，设，利用表示梯形的面积，利用导数求其最大值.
【详解】因为曲线是函数的图象，点的坐标为，
所以，故，
所以，
设线段对应的函数解析式为，
因为直线经过点，所以，
所以，
设，则点的坐标为
由可得，
所以点的坐标为，
所以，
所以直角梯形的面积，
所以，
令，可得，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
所以当时，函数取最大值，最大值为.
故选：D.
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