2024长沙长郡中学高二上学期入学考试（暑假作业检测）数学试题含解析

长郡中学2023年高二暑假作业检测试卷

数学

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，时量120分钟，满分150分.

第I卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 设，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】分别分析两个集合中的元素所代表的意思即可判断选项.

【详解】解：因为，因为，

所以集合是由所有奇数的一半组成，

而集合是由所有整数一半组成，故.

故选：B

2. 用简单随机抽样的方法从含有个个体的总体中抽取一个容量为的样本，其中某一个体“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是（    ）

A. 、 B. 、

C. 、 D. 、

【答案】A

【解析】

【分析】根据抽样中，每个个体在每一次被抽到的概率都是相等的，由此可得出结果.

【详解】在抽样过程中，个体每一次被抽中的概率是相等的，因为总体容量为，

故个体“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性均为，

故选：A．

【点睛】本题考查抽样中概率的计算，属于基础题.

3. 设，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】先利用对数的运算法则把化成同底的对数，然后利用对数函数的单调性即可求解.

【详解】，，，

因为在定义域上是增函数，且，故.

故选：C.

4. 中，“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】等价于，由正弦定理以及充分必要条件的定义判断即可.

【详解】在三角形中，因为，所以，即

若，则，即，

若，由正弦定理，得，根据大边对大角，可知

所以“”是“”的充要条件

故选：C

5. 已知f(x)＝x，g(x)＝x2－2x，F(x)＝则F(x)的最值情况是（    ）

A. 最大值为3，最小值为－1

B. 最小值为－1，无最大值

C. 最大值为3，无最小值

D. 既无最大值，又无最小值

【答案】D

【解析】

【分析】易得F(x)为与中较小的函数值，故求解与的大小，分段讨论即可

【详解】由f(x)≥g(x)得0≤x≤3；

由f(x)<g(x)，得x<0，或x>3，

所以

易得F(x)无最大值，无最小值．

故选：D

6. 若，则（    ）

A.  B.  C.  D. 3

【答案】B

【解析】

【分析】利用两角和与差的三角函数公式以及诱导公式化简所求表达式，然后代入即可求解.

【详解】，

分式的分子分母同除以得，

故选：B．

7. 若正实数x，y满足，则下列结论不正确的是（    ）

A. 的最小值为4 B. 的最大值为4

C. 的最小值为 D. 的最大值为8

【答案】D

【解析】

【分析】根据基本不等式及其变形逐项判断即可.

【详解】对于A项，，整理得，

解得，当且仅当时，等号成立，故A正确；

对于B项，由A项可知，所以，当且仅当时，等号成立，故B正确；

对于C项，由题可知，

故，

当且仅当时，等号成立，故C正确；

对于D项，，又，所以的最小值为8，当且仅当2时取得最小值，故D错误.

故选：D.

8. 已知三棱锥的四个顶点在球O的球面上，，是边长为的正三角形，，，，过点E作球O的截面，截面面积最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由已知可得为正三棱锥，再由线面垂直的判定定理可得为正方体的一部分，求得外接球的半径，取的中点可得，过点E作球O的截面，当OE垂直时截面面积最小，此时即为截面圆的圆心，求出截面图半径可得答案.

【详解】∵，为边长为的等边三角形，∴为正三棱锥，

取的中点，连接，则，，

平面，所以平面，平面，所以，

又，，∴，∴，又，，

平面PAC，∴平面PAC，平面PAC，

∴，∴，

∴为正方体的一部分，

可得外接球的半径为，

取的中点，连接，

可得，，所以，

过点E作球O截面，设截面与棱的交点分别为，

当OE垂直时截面面积最小，此时即为截面圆的圆心，

截面圆半径为，截面面积为.

故选：A．

  【点睛】关键点点睛：本题的关键点是判断出为正三棱锥，当OE垂直时截面面积最小时即为截面圆的圆心，考查了学生的空间想象能力、运算能力.

二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）

9. 有一组互不相等的数组成的样本数据、、、，其平均数为（，、、、），若插入一个数，得到一组新的数据，则（    ）

A. 两组样本数据的平均数相同

B. 两组样本数据的中位数相同

C. 两组样本数据的方差相同

D. 两组样本数据的极差相同

【答案】AD

【解析】

【分析】利用平均数公式可判断A选项；利用中位数的定义可判断B选项；利用方差公式可判断C选项；利用极差的定义可判断D选项.

【详解】由已知可得.

对于A选项，新数据的平均数为，与原数据的平均数相等，A对；

对于B选项，不妨设，则原数据的中位数为，

若，则中位数为，

若，则中位数为，B错；

对于C选项，新数据的方差为

，C错；

对于D选项，不妨设，则，故新数据的极差仍为，D对.

故选：AD.

10. 如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，则（    ）

A.  B. 平面

C.  D. 点到平面的距离为

【答案】ABD

【解析】

【分析】建系，根据向量的数量积的坐标运算，向量的垂直垂线的性质，线面垂直的判定定理，向量法求解点面距，即可分别求解.

【详解】

以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则
正确．

，

所以平面，直线与直线不垂直，正确，错误．

点到平面的距离为正确．

故选：ABD.

11. 已知函数，则下列结论正确的有（    ）

A. 将函数的图象向左平移个单位长度，总能得到的图象

B. 若，则当时，的取值范围为

C. 若在区间上恰有3个极大值点，则

D. 若在区间上单调递减，则

【答案】BC

【解析】

【分析】由题可得，然后利用三角函数的性质结合条件逐项分析即得.

【详解】由题可得

对于A，向左平移个单位长度为，故不一定能得到的图象，A错误；

对于B，，，则，，所以，B正确；

对C，由可得，

由在区间上恰有3个极大值点可得，C正确；

对于D，，则，

因为单调递减，

所以，，且即，

解得，，且，

当时，，当时，，D错误.

故选：BC.

12. 已知函数，的定义域均为R，且满足，，，则（    ）

A. 4为的周期

B. 为奇函数

C.

D.

【答案】AD

【解析】

【分析】根据函数的对称性，周期性判断A，根据与的关系及周期性判断B，根据中心对称的性质及周期性可判断CD.

【详解】对于A，因为，所以的对称中心为，

因为，所以，又，

所以，所以，即，

所以，即的周期为4，

又，所以的周期也为4，故A正确；

对于B，因为，所以，

又由A知周期为4，即，所以，为偶函数，故B错误；

对于C，由对称中心为，得，

又因为直线为对称轴，所以，所以关于点对称，

所以和关于点对称，

所以，所以，

所以，故C错误；

对于D，由C得，因为，

所以，，，，

所以

，

又因为的周期为4，

所以，故D正确.

故选：AD．

第II卷

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 已知事件A与事件B相互独立，如果，，那么______．

【答案】

【解析】

【分析】根据独立事件和对立事件的概率公式计算可得答案．

【详解】∵事件A与事件B相互独立，∴事件与相互独立，

∵，，

∴.

故答案为：.

14. 我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是___________寸．

（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）

【答案】3

【解析】

【详解】试题分析：如图，

由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸．

∵积水深9寸，

∴水面半径为（14+6）=10寸，

则盆中水的体积为π×9（62+102+6×10）=588π（立方寸）．

∴平地降雨量等于（寸）

15. 在四边形中，，则四边形的面积为_____________．

【答案】

【解析】

【分析】由题可得四边形是菱形，其边长为，对角线等于边长的倍，再利用余弦定理及面积公式即得.

【详解】因为，

所以四边形为平行四边形，

又，

∴平行四边形的角平分线平分，四边形是菱形，其边长为，且对角线等于边长的倍，

所以，

故，

所以四边形的面积为.

故答案为：．

16. 在△ABC中，，，，∠BAC的角平分线交BC于D，则________．

【答案】

【解析】

【分析】根据所给条件，利用余弦定理及三角形面积公式求解.

【详解】如图所示，记，，，

由余弦定理可得，，

即，

因为，解得，

由可得，

，

解得．

故答案为：

四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 已知函数.

（1）求的值；

（2）当时，求函数的最大值和最小值，并写出取最大值､最小值时对应自变量的取值.

【答案】（1）   

（2）时最小值为0，时最大值为

【解析】

【分析】（1）应用二倍角正余弦公式及差角正弦公式化简函数式，再代入求值即可；

（2）由题设有，结合正弦函数性质求最值并确定对应取值.

【小问1详解】

，

所以.

【小问2详解】

当时，，

当时，即时，函数取得最小值0，

当时，即时，函数取得最大值.

所以函数的最大值，最小值0.

18. 某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：

利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值，将该指标大于的人判定为阳性，小于或等于的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为．假设数据在组内均匀分布．

（1）当漏诊率时，求临界值和误诊率；

（2）已知一次调查抽取的未患病者样本容量为100，且该项医学指标检查完全符合上面频率分布直方图（图2），临界值，从样本中该医学指标在上的未患病者中随机抽取2人，则2人中恰有一人为被误诊者的概率是多少？

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）由图1，根据漏诊率列式求出，再由图2求出误诊率；

（2）根据图2求出100个未患病者中，该项医学指标在中的人数以及被误诊者的人数，再利用列举法和古典概型的概率公式可求出结果.

【小问1详解】

依题可知，图1第一个小矩形的面积为，所以，

所以，解得，

．

【小问2详解】

由题可知，100个未患病者中，该项医学指标在中的有人，

其中被误诊者有人，

记随机抽取的2人恰有一人为被误诊者为事件A．分别用a，b，c，d，E，F表示这6人，E，F代表被误诊的2人，

样本空间，

事件，故，，

，故2人中恰有一人为被误诊者的概率是．

19. 已知a，b，c为的内角A，B，C所对的边，且满足．

（1）求C；

（2）若，的面积为，且，求线段CD的长．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据题意，利用三角恒等变换的公式，化简得到，再由正弦定理，求得，即可求解；

（2）根据题意求得，结合，进而求得的长.

【小问1详解】

解：由，

可得，

因为，可得，

所以，

所以，

又因为，可得，所以，

由正弦定理得，

因为，可得，所以，

又因为，所以．

【小问2详解】

解：由，解得，

因为，所以，

所以，

所以

，所以.

20. 民族要复兴，乡村要振兴，合作社助力乡村产业振兴，农民专业合作社已成为新型农业经营主体和现代农业建设的中坚力量，为实施乡村振兴战略作出了巨大的贡献.某农民专业合作社为某品牌服装进行代加工，已知代加工该品牌服装每年需投入固定成本30万元，每代加工万件该品牌服装，需另投入万元，且根据市场行情，该农民专业合作社为这一品牌服装每代加工一件服装，可获得12元的代加工费.

（1）求该农民专业合作社为这一品牌服装代加工费的年利润y（单位：万元）关于年代加工量x（单位：万件）的函数解析式.

（2）当年代加工量为多少万件时，该农民专业合作社为这一品牌服装代加工费的年利润最大?并求出年利润的最大值.

【答案】（1）   

（2）当年代加工量为15万件时，该农民专业合作社为这一品牌服装代加工费的年利润最大，最大值为25万元

【解析】

【分析】（1）根据利润与成本之间的关系，即可结合的表达式求解，

（2）根据二次函数以及不等式求解最值，由分段函数性质即可求解最大值.

【小问1详解】

当时，；     

当时，. 

故

【小问2详解】

当时，函数为开口向下的二次函数，且对称轴为直线

所以在上单调递增，  

故（万元）；    

当时，，   

当且仅当，即时，等号成立.  

即当时，（万元）.     

因为，所以当年代加工量为15万件时，该农民专业合作社为这一品牌服装代加工费的年利润最大，最大值为25万元.

21. 如图，在三棱台中，若平面，，，，为中点，为棱上一动点（不包含端点）．

（1）若为的中点，求证：平面；

（2）是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出长度；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）证明见解析   

（2）存在，

【解析】

【分析】（1）取中点，易证得四边形为平行四边形，得到，由线面平行的判定可证得结论；

（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，根据面面角的向量求法可构造方程求得的值，由此可得结果.

【小问1详解】

分别取中点，连接，

则为的中位线，，，

又，，，，

四边形为平行四边形，，

又平面，平面，平面.

【小问2详解】

以坐标原点，正方向为轴可建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，

，，，

设，则，

，

令平面的法向量为，

则，令，则，，；

又平面的一个法向量，

，

解得：或（舍），

，，即的长为.

22. 若函数满足在定义域内的某个集合A上，对任意，都有是一个常数a，则称在A上具有M性质.

（1）设是R上具有M性质的奇函数，求的解析式；

（2）设是在区间上具有M性质的函数，且对于任意，，都有成立，求a的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）设，即，利用奇函数的性质求解即可.

（2）由题意知在区间上单调递增，根据a的符号分类讨论研究函数的单调性即可求解.

【小问1详解】

由得，由题意，为奇函数，

所以，即，所以，

解得，所以.

【小问2详解】

由得，

由题意知在区间上单调递增.

①时，在区间上单调递增，符合题意；

②时，在区间上单调递增，

若在区间上单调递增，则，即对恒成立，

所以成立，故，即；

③时，对恒成立，此时，

函数由，复合而成，在上单调递增且，

而函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

若在上单调递增，则，即.

综合①②③可知a的取值范围为.

【点睛】关键点睛：复合函数一般由内函数和外函数构成，在判断复合函数的时候你要先找出内外函数，而且往往内外函数都是我们熟悉的基本初等函数，再看内外函数在指定区间上的单调性，这里遵循“同增异减”法则（同、异指的是内外两个函数的单调性：两个都是增，原函数就是增；两个都是减，原函数也是增；两个一增一减，原函数就是减）.