湖南省邵阳市第二中学2024-2025学年高二上学期入学考试数学试题（原卷版+解析版）

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第一部分（选择题共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数的实部和虚部分别是（ ）
A 1，1B. 1，C. ，D. ，
2. 已知向量，，，若，则（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
3. 如图所示，梯形是平面图形ABCD用斜二测画法画出的图形，，，则平面图形的面积为（ ）
A. 2B. C. 3D.
4. 已知向量，则在方向上的投影数量为（ ）
A. B. C. D.
5. 将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数
A. 在区间上单调递增B. 在区间上单调递减
C. 在区间上单调递增D. 在区间上单调递减
6. 已知，若方程在区间上恰有3个实根，则取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 《九章算术》是我国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间出现的十部古算书）中非常重要的一部．在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知“堑堵”的所有顶点都在球的球面上，且．若球的表面积为，则这个三棱柱的表面积是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知是定义域为的奇函数，且是偶函数，当时，，则当时，的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 同时抛出两枚质地均匀的骰子甲、乙，记事件A：甲骰子点数为奇数，事件B：乙骰子点数为偶数，事件C：甲、乙骰子点数相同．下列说法正确的有（ ）
A. 事件A与事件B对立B. 事件A与事件B相互独立
C. 事件A与事件C相互独立D.
10. 在中，角的对边分别为，为的外心，则（ ）
A. 若有两个解，则
B. 的取值范围为
C. 的最大值为9
D. 若为平面上的定点，则A点的轨迹长度为
11. 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形的直角边所在直线与都垂直，斜边以直线为旋转轴旋转，有下列结论正确的有（ ）
A. 当直线与成角时，与成角；
B. 当直线与成角时，与成角；
C. 直线与所成角的最小值为；
D. 直线与所成角的最大值为.
第二部分（非选择题共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在同一个平面内，向量的模分别为与的夹角为，且与的夹角为，若，则_________．

13. 已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．
14. 已知函数，若函数，当恰有3个零点时，求的取值范围为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚.
15. 某地区对初中500名学生某次数学成绩进行分析，将得分分成8组（满分150分）：，，整理得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求第七组的频率；
（2）用样本数据估计该地500名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（3）现从500名学生中利用分层抽样的方法从的两组中抽取5个人进一步做调查问卷，再从这5个人中随机抽取两人，求抽取到的两人不在同一组的概率．
16. 如图，已知多面体均垂直于平面．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
17. 记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.
（1）证明：；
（2）若，求.
18. 四棱锥中，为矩形，平面平面.
（1）求证：
（2）若问为何值时，四棱锥的体积最大？并求此时平面与平面夹角的余弦值.
19. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，对任意两个向量，.作：，当不共线时，记以为邻边平行四边形的面积为；当共线时，规定.
（1）分别根据下列已知条件求；
①，；
②，；
（2）若向量，求证：；
（3）记，，，且满足，，，求最大值.