2022-2023学年河北省石家庄市元氏县音体美学校高一（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年河北省石家庄市元氏县音体美学校高一（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  复数满足，则的共轭复数为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  设平面向量，，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图所示，平行四边形中，，点为线段的中点，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  在中，，则的形状一定为(    )

A. 等边三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形

5.  已知复数满足，则的模等于(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知向量，，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.  下列命题：向量与都是单位向量，则；
在中，必有；
四边形是平行四边形，则；
若向量与共线，则存在唯一的实数使．
其中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  的内角，，的对边分别为，，，若，，则(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  以下四种说法正确的是(    )

A.
B. 复数的虚部为
C. 若，则复平面内对应的点位于第二象限
D. 复平面内，实数轴上的点对应的复数是实数

10.  下面是关于复数的四个命题，其中真命题为(    )

A.  B.
C. 的虚部为 D. 的共轭复数为

11.  设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是(    )

A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则

12.  已知两条直线，，两个平面，下列说法正确的是(    )

A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，则
D. 若，，，则

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知向量，，若，则实数 ______ ．

14.  若为实数，则，则______．

15.  若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是______ ．

16.  已知向量，，且，，若，，三点共线，则实数的值为            ．

四、解答题（本大题共4小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知复数为虚数单位．
求；
求

18.  本小题分
已知复数，其中为虚数单位．
若复数为实数，求的值；
若，求的值．

19.  本小题分
的内角，，的对边分别为，，已知，，．
求的值；
求的值．

20.  本小题分
化简下列各式：
；
；
；
；
．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，
故的共轭复数为．
故选：．
利用复数的除法运算与复数模的计算，求出复数，再利用共轭复数的定义求解即可．
本题考查了复数的运算，主要考查了复数的除法运算以及复数模的计算，同时考查了共轭复数定义的理解和应用，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查向量垂直的性质、向量的数量积公式，属于基础题．
由题可以得到关于的方程，解之即可得到结果．

【解答】

解：平面向量，，
若，则，
，
故选：．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查平面向量加减运算及基本定理，考查运算能力，属于基础题．
先求出，，组成方程组即可求解．

【解答】

解：点为线段的中点，
，
即 ，
，
，
即 ，
由得，．
故选：．

4.【答案】 

【解析】解：由余弦定理知：，整理得，
是直角三角形．
故选：．
利用余弦定理的边角关系，结合已知可得，即可知的形状．
本题考查余弦定理的应用，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：复数满足，
．
即．
．
．
故选：．
复数方程两边同时求模，化简即可．
本题考查复数的模的求法，基本知识的考查．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于、向量，，有，即不成立，故A错误；
对于、向量，，有，即不成立，故B错误；
对于、向量，，则，有，即不成立，故A错误；
对于、向量，，则，有，即，故C正确；
故选：．
根据题意，结合关键掌握向量平行、垂直的坐标公式依次分析选项，即可得答案．
本题考查向量的坐标运算，关键掌握向量平行、垂直判定的坐标公式．
 

7.【答案】 

【解析】解：由于所有的单位向量长度都等于，但它们的方向是任意的，故不一定成立；
在中，必有，故正确；
若四边形是平行四边形，则一定有，故正确；
若向量与共线，则存在实数使，当时，的值有无数多个，故错误．
故选：．
由相等向量的定义，向量的加法法则，平面向量的共线定理，即可判断出结果．
本题考查向量的基本概念，单位向量的定义，向量相等，及向量的共线定理等知识，考查学生对概念的理解辨析能力，难度较易．
 

8.【答案】 

【解析】解：，，则，
则由余弦定理得．
故选：．
由余弦定理即可求出．
本题考查了余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了复数的乘法运算法则、共轭复数的概念和几何含义，属于基础题．
根据已知条件，逐一分析即可．

【解答】

解：，故A选项正确，
复数的虚部为，故B选项错误，
，，复平面内对应的点位于虚轴上，故C选项错误，
复平面内，实数轴上对应的点的纵坐标为，复平面内，实数轴上的点对应的复数是实数，故D选项正确．
故选：．

10.【答案】 

【解析】

【分析】
根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数的性质，即可求解．
本题考查了复数代数形式的乘法运算，以及复数的性质，属于基础题．
【解答】

解：，
，，的虚部为，的共轭复数为．
故选：．

11.【答案】 

【解析】解：若，，由直线与平面垂直的性质，可得，故A正确；
若，，则或或与相交，相交也不一定垂直，故B错误；
若，，则或，故C错误；
若，，由直线与平面垂直的性质，可得，故D正确．
故选：．
由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个选项得答案．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：对于：若，，则或故A错误；
对于：若，，，则或，异面，故B错误；
对于：因为，所以内任意直线，
在平面内取两条相交直线，，则且，
因为，所以，，
又，为平面内两条相交直线，所以，故C正确；
对于：由选项C的证明可知：．
因为，所以，故D正确．
故选：．
对于、：线面的位置关系直接判断；对于：利用线面垂直的判定定理证明出；对于：由面面平行的性质证明出．
本题考查空间中线线，线面，面面间的位置关系，属于基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：因为向量，若，则与共线反向，
所以．
故答案为：．
由条件得到与共线反向，求出的值即可．
本题考查向量的减法的几何意义及向量共线的应用，考查计算能力，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：由，得
，即．
解得．
．
故答案为：．
把已知等式变形，利用复数相等的条件列式求得值，再由复数模的计算公式求解．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：在复平面内对应的点在第二象限，
，解得．
实数的取值范围是．
故答案为：．
把已知复数化为代数形式，再由实部小于且虚部大于联立不等式组求解．
本题考查复数代数形式的四则运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查向量平行的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
先求出，，由，，三点共线，得，再求出实数的值．

【解答】

解：向量，，且，，
，，
，，三点共线，，
，解得．
故答案为：．

17.【答案】解：因为，
所以；
因为，
所以． 

【解析】根据复数代数形式的乘法运算化简复数，再根据共轭复数的定义计算可得；
根据复数模的定义计算可得．
本题主要考查共轭复数的定义，以及复数模公式，属于基础题．
 

18.【答案】解：因为为实数，
所以，
解得或．
即的值为或；
设，则，
又因为，
所以，
所以，
解得或，
所以或，
所以或，
解得，
即的值为． 

【解析】根据实数的定义，列方程求解即可；
根据共轭复数的概念及复数代数形式的乘法法则、复数相等运算求解即可．
本题主要考查了复数的运算，考查了复数相等的定义，属于基础题．
 

19.【答案】解：，，，
由正弦定理得，
；
由余弦定理得，
解得或舍．
综上． 

【解析】由已知结合正弦定理即可直接求解；
由已知结合余弦定理即可直接求解．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．
 

20.【答案】解：原式；
原式；
；
；
． 

【解析】根据平面向量线性运算法则及运算律计算可得．
本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题．