2024高考数学第一轮复习：专题1.1 集合的概念与运算（原卷版）

专题1.1 集合的概念与运算

思维导图

知识点总结

1.元素与集合

(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.

(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.

(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.

(4)常用数集及记法

2.集合间的基本关系

(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集.记作A⊆B(或B⊇A).

(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集.

(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.

(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

3.集合的基本运算

4.集合的运算性质

(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.

(2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.

(3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A.

常用结论

1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个.

2.注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集.

3.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB.

4.∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB).

典型例题分析

考向一   集合的基本概念

典例一

1.已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为(　　)

A.2   B.3    C.4    D.6

2.设集合A＝{－1，0，1，2，3，4}，B＝{x|x∈A且2x∈A}，则集合B为________.

感悟提升　1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义.

2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.

考点二  集合间的基本关系

典例二

1.已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，集合B＝{x||x－1|≤3}，集合C＝，则集合A，B，C的关系为(　　)

A.B⊆A    B.A＝B

C.C⊆B    D.A⊆C

2. 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________.

感悟提升　1.若B⊆A，应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论.

2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而求得参数范围.注意合理利用数轴、Venn图帮助分析及对参数进行讨论.求得参数后，一定要把端点值代入进行验证，否则易增解或漏解.

考向三 集合间的基本运算

典例3

1.已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T＝(　　)

A.∅   B.S    C.T     D.Z

2.设全集为R，集合A＝{y|y＝2x，x＜1}，B＝{x|y＝}，则A∩(∁RB)＝(　　)

A.{x|－1＜x＜2}    B.{x|0＜x＜1}

C.∅     D.{x|0＜x＜2}

3.集合M＝{x|2x2－x－1＜0}，N＝{x|2x＋a＞0}，U＝R.若M∩(∁UN)＝∅，则a的取值范围是(　　)

A.(1，＋∞)   B.[1，＋∞)

C.(－∞，1)    D.(－∞，1]

感悟提升　1.进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算.

2.数形结合思想的应用：

(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解；

(2)连续型数集的运算，常借助数轴求解，运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心.

考向四 Venn图的应用

在部分有限集中，我们经常遇到元素个数的问题，常用Venn图表示两个集合的交、并、补集，借助于Venn图解决集合问题，直观简捷，事半功倍.用Card表示有限集中元素的个数，即Card(A)表示有限集A的元素个数.

典例四

1.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是(　　)

A.62%   B.56%   C.46%    D.42%

2.某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人.

基础题型训练

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知集合，，若，则a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

3．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

4．已知集合,,则

A． B．

C． D．

5．设关于x的不等式的解集为A，且，，则实数m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

6．对于集合A，B，“”不成立的含义是　　

A．B是A的子集 B．A中的元素都不是B的元素

C．A中至少有一个元素不属于B D．B中至少有一个元素不属于A

二、多选题

7．下列关系式正确的为（    ）

A． B．

C． D．

8．（多选）若集合，，则集合或（    ）

A．  B．

C． D．

三、填空题

9．已知实数集合的最大元素等于该集合的所有元素之和，则__________．

10．设全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为___________.

11．满足，且的集合的个数是_____________.

12．若集合有且仅有2个子集，则满足条件的实数的最小值是____.

四、解答题

13．已知集合，，若，求实数的值.

14．已知全集，,

(1)；

(2)求.

15．若，且A∪B=A，求由实数a的值组成的集合．

16．集合是由形如的数构成的，试分别判断，，与集合的关系.

提升题型训练

一、单选题

1．满足条件的集合的个数为

A．6个 B．7个 C．8个 D．9个

2．已知全集U={1,3,5,7,9},集合A={1,|a-5|,9},∁UA={5,7},则a的值是(　　)

A．2 B．8 C．-2或8 D．2或8

3．已知集合，，全集，则等于（    ）

A． B． C． D．

4．设集合,,若,则（    ）

A．-1 B．1 C．-1或1 D．0

5．已知集合，，则

A． B． C． D．

6．设集合，，则（    ）．

A． B． C． D．

7．集合A，B，C满足，则成立的等式是（    ）．

A． B．

C． D．

8．对于集合，，定义，，设，，则

A． B．

C． D．

9．已知集合，若且集合中恰有2个元素，则满足条件的集合的个数为（    ）．

A．1 B．3 C．6 D．10

10．若是一个非空集合，是一个以的某些子集为元素的集合，且满足:（1）；（2）对于的任意子集，当且时，有；（3）对于的任意子集当且时，有，则称是集合的一个“——集合类”例如:是集合的一个“——集合类”.已知，则所有含的“——集合类”的个数为（    ）

A．9 B．10 C．11 D．12

二、多选题

11．已知集合，．若，则实数m的值为（       ）

A．0 B．1 C．-3 D．3

12．已知是同时满足下列条件的集合：①；②若，则；③且，则．下列结论中正确的有（   ）

A． B．

C．若，则 D．若，则

13．给定集合，若对于任意，，有，且，则称集合A为闭集合，以下结论正确的是（    ）

A．集合为闭集合；

B．集合为闭集合；

C．集合为闭集合；

D．若集合为闭集合，则为闭集合．

14．设非空集合满足：当时，有，给出如下四个命题，其中真命题是（    ）

A．若，则； B．若，则；

C．若，则； D．若，则

三、填空题

15．关于的方程的解集为______．

16．已知集合，，若，则由实数的所有可能的取值组成的集合为______.

17．定义有限数集中的最大元素与最小元素之差为的“长度”，如：集合的“长度”为3，集合的“长度”为0.已知集合，则的所有非空子集的“长度”之和为_________.

18．设集合是小于5的质数，则的真子集的个数为______，的非空真子集的个数为______.