2024高考数学第一轮复习：4.5 简单的三角恒等变换（解析版）

4.5  简单的三角恒等变换

思维导图

知识点总结

  半角公式

 (由降幂公式可得)

证明 

由降幂公式得，则；

由降幂公式得，则；

.

解释

半角公式，利用表示了、、.

万能公式

(由倍角公式可得)

证明 ，则；

，则；

，则.

解释

万能公式，利用表示了、和.

和化积公式

(由和差公式可得)

证明

.

其他类似证明.

4 积化和公式

(由和差公式可得)

证明

由和化积公式可得

令，，则，，

则公式变成.

其他类似证明.

解释

积化和公式相当于和化积公式的逆运算.

典型例题分析

考向一  公式直接应用

例1  利用公式证明：

（1）；        （2）.

证明：（1）

.

（2）

.

考向二 结合同角三角函数应用

例2  已知，，，是第三象限角，求的值.

解：由，，得

.

又由，是第三象限角，得

.

所以

.

考向三  三角恒等变换的综合应用

例3  利用和（差）角公式计算下列各式的值：

（1）；

（2）；

（3）.

分析：和、差角公式把的三角函数式转化成了，的三角函数式.如果反过来，从右到左使用公式，就可以将上述三角函数式化简.

解：（1）由公式，得

.

（2）由公式，得

.

（3）由公式及，得

.

考向四  二倍角公式与和差角公式

例4  已知，，求，，的值.

分析：已知条件给出了的正弦函数值.由于是的二倍角，因此可以考虑用倍角公式.

解：由，得.

又，

所以

于是

；

；

.

考向五  三角函数的证明问题

例5  求证：

（1）；

（2）.

证明：（1）因为

，

将以上两式的左右两边分别相加，得，

即.

（2）由（1）可得.    ①

设，，

那么，.

把，的值代入①，即得.

考向六  三角函数的应用问题

例6  求下列函数的周期，最大值和最小值：

（1）；    （2）.

分析：便于求周期和最大值、最小值的三角函数式是，利用和角公式将其展开，可化为的形式.反之，利用和（差）角公式，可将转化为的形式，进而就可以求得其周期和最值了.

解：（1）

.

因此，所求周期为，最大值为2，最小值为-2.

（2）设，则.

于是，，

于是，

所以.

取，则，.

基础题型训练

一、单选题

1．（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用两角差的余弦公式即可求解.

【详解】．

故选：A.

2．在中，若，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】先利用平方关系求出，再利用两角和的余弦公式将展开计算.

【详解】在中，由，得，

由，得，

∴

.

故选：C.

【点睛】本题主要考查两角和的余弦公式的应用，属于基础题.

3．下列各数，，，中，最大的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由两角和正弦公式，二倍角公式一、诱导公式等化简函数值，然后由三角函数性质判断．

【详解】观察发现，而，，，

故选：D．

4．下列化简结果正确的个数为（    ）

①        ②

③                    ④

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】C

【分析】直接由诱导公式及和差角的正弦、余弦、正切公式以及倍角公式依次判断即可.

【详解】，①正确；

，②正确；

，③正确；

，④错误；正确的有3个.

故选：C.

5．已知为第三象限角，且，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据余弦的二倍角公式，结合同角的三角函数关系式、正弦和余弦的二倍角公式、正弦的两角差公式进行求解即可.

【详解】

由为第三象限角， 所以，，

所以，，

所以．

故选：D

【点睛】本题考查了同角的三角函数关系式的应用，考查了正弦、余弦二倍角公式，考查了两角差的正弦公式的应用，考查了数学运算能力.

6．已知函数，则函数的最小正周期和最大值分别为（    ）

A．和 B．和

C．和 D．和

【答案】C

【解析】利用二倍角的正、余弦公式化简函数f（x），通过周期公式及三角函数的性质求解即可.

【详解】因为

∴T，

函数的最大值为：．

故选：C.

【点睛】本题考查二倍角的余弦函数正弦函数的应用，三角函数的周期与最值的求法，属于基础题．

二、多选题

7．将函数的图象向左平移个单位后，所得图象关于轴对称，则实数的值可能为（    ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【分析】利用辅助角公式可得，根据图象平移有，确定平移后的解析式，根据对称性得到的表达式，即可知可能值.

【详解】由题意，得：，图象向左平移个单位，

∴关于轴对称，

∴，即，

故当时，；当时，；

故选：BD

8．若函数，则（    ）

A．的最大值是4

B．的最小正周期是

C．的图象关于直线对称

D．在区间上单调递减

【答案】BC

【分析】由三角恒等变换可得，根据余弦函数的性质即可求其最值、最小正周期，以及对称轴、单调减区间，进而判断各选项的正误.

【详解】，

∴最大值为，最小正周期为，A错误，B正确；

由关于对称，令，则，当时，C正确；

由在递减，令，有，易知，D错误.

故选：BC

三、填空题

9．____．

【答案】

【分析】利用两角差的正弦公式即可得到化简结果

【详解】

又

故答案为：或

10．已知，则______

【答案】

【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和角的变换的应用求出结果．

【详解】由于，

则，所以，

．

故答案为：

【点睛】本题考查三角函数关系式的恒等变换，角的关系式的变换，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．

11．在平面直角坐标系中,已知角的顶点和点重合,始边与轴的非负半轴重合,终边上一点的坐标为，则__________．

【答案】

【分析】由三角函数的定义与两角和的正切公式求解，

【详解】由题可得，所以，

故答案为：

12．已知，则______.（用含的式子表示）

【答案】

【分析】已知式通分后逆用两角和的正弦公式，再由商数关系求得

【详解】

，

.

故答案为：．

四、解答题

13．已知函数.

（1）求函数的最小正周期和最大值；

（2）求函数的单调减区间.

【答案】（1）；（2）..

【分析】（1）应用二倍角公式，将函数化为正弦型三角函数，即可求解；

（2）根据正弦函数的单调递减区间结合整体代换，即可求出结论.

【详解】（1），

最小正周期为，最大值为；

（2）由，

，

单调递减区间是.

【点睛】本题考查二倍角公式化简函数，考查三角函数的性质，属于中档题.

14．已知，且.则______.

【答案】/

【分析】利用同角三角函数的基本关系可求得的值，再利用二倍角的正切公式可求得结果.

【详解】因为，且，所以，

所以，所以.

故答案为：.

15．设函数

（1）求函数的对称中心；    

（2）求函数在上的单调递减区间．

【答案】（1）对称中心为，；（2）递减区间.

【分析】（1）利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简，利用三角函数的图象与性质求得对称中心．

（2）根据三角函数的图象与性质求得函数的单调减区间．

【详解】解：（1）因为

所以，

令，，

求得．所以对称中心为，

（2）令，求得，

即函数的减区间为，又，所以函数的单调递减区间为

【点睛】本题主要考查了三角函数图象与性质，三角函数恒等变换的应用．考查了学生对三角函数基础公式的应用，属于基础题．

16．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，锐角α、β的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，它们的终边与单位圆分别交于A、B两点，已知A、B两点的横坐标分别为和．

(1)求，的值．

(2)求，的值．

【答案】(1)，；

(2)，.

【分析】（1）根据给定条件，利用三角函数定义求出，再利用平方关系求解作答.

（2）利用（1）的结论，利用二倍角的正余弦公式、和角的正余弦公式求解作答.

【详解】（1）依题意，，而为锐角，

所以，.

（2）由（1）知，，，，

于是，，

所以，

.

提升题型训练

一、单选题

1．已知，为锐角，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由已知求出，再利用差的正切公式可求.

【详解】因为，为锐角，所以.所以，，

又，

则.

故选：C.

2．已知，，则=（　　）.

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用两角差的正弦公式和余弦的倍角公式对已知等式化简，列方程组求解.

【详解】，，

，，

由，解得.

故选：B

3．设，若，则（    ）．

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】结合余弦二倍角公式化简即可求解

【详解】结合题干，由可得，

即，所以或，

故选：D．

【点睛】本题考查二倍角余弦公式的使用，属于基础题

4． （    ）

A．4 B． C． D．

【答案】D

【分析】利用同角三角函数基本关系式，诱导公式和辅助角公式直接求解.

【详解】.

故选：D.

5．已知，，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】把已知两等式平方后作和，结合同角三角函数平方关系和两角和差余弦公式可化简求得结果.

【详解】由得：，

由得：，

两式相加得：，即，

.

故选：.

【点睛】本题考查利用三角恒等变换公式化简求值的问题，涉及到同角三角函数平方关系的应用；关键是能够通过平方运算配凑出符合两角和差余弦公式的形式.

6．已知，则

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据诱导公式以及两角差的正弦和正切公式求解即可.

【详解】由已知, ,得,所以,显然,所以,所以.

故选：B

【点睛】本题考查三角函数的诱导公式和两角和公式,考查推理论证能力以及数形结合思想.

二、多选题

7．计算下列各式，结果为的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】运用诱导公式、辅助角公式、二倍角公式、和差角公式及切化弦化简计算即可.

【详解】对于A项，，故A项成立；

对于B项，，故B项不成立；

对于C项，，故C项不成立；

对于D项，，故D项成立.

故选：AD.

8．函数的部分图象如图所示，则下列正确的是（    ）

A．θ的值可为

B．若，则k为奇数

C．若，则

D．若，则的最大值要大于

【答案】BCD

【分析】由图象确定函数的周期求得，再由零点求得，从而得函数解析式，然后由结合正弦函数性质、辅助角公式，判断各选项．

【详解】选项A，，，是的零点，由图象得，得，（以下只要取即可），A错；

选项B，，则，，，故k为奇数，B对；

选项C，由，可得，即对称轴为，，为其对称轴，C对；

选项D，当，时，，

设

，

易知的最大值是，

所以的最大值为，大于，D对．

故选：BCD．

三、填空题

9．已知，，则______.

【答案】

【分析】利用二倍角展开，化简，再与联立即可解出．

【详解】

【点睛】本题考查解三角函数，注意隐含条件的使用．属于基础题

10．已知，则的值为________．

【答案】

【分析】利用二倍角公式,和同角三角函数的关系，运用弦化切，代入可求得值.

【详解】原式,又∵，

∴原式，

故答案为：.

【点睛】本题考查同角三角函数的关系，和运用二倍角公式化简求值问题，关键在于将齐次式转化为正切的式子，属于基础题.

11．化简(tan10°－)·＝________.

【答案】-2

【详解】(tan10°－)·

＝(tan10°－tan60°)·

＝·

＝·

＝·＝·＝－2.

12．函数的单调递增区间为__________．

【答案】

【分析】先化简，然后根据正弦函数的单调性和题意的范围即可求得答案

【详解】，

由解得，

又∵，∴，即的单调递增区间为，

故答案为：

四、解答题

13．证明下列各式.

（1）；

（2）.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】将等式右边用两角和与差的余弦公式展开计算可得左边.

【详解】证明：（1）.

（2）

.

【点睛】本题考查两角和与差的余弦公式，是基础题.

14．已知函数的最大值是1.

（1）求常数a的值；

（2）求使成立的x的取值集合.

【答案】（1）  （2）

【分析】（1）对进行整理化简，然后根据最大值得到的值；（2）根据（1）将不等式转化为，从而解得解集.

【详解】解：（1）根据三角函数的两角和与差公式可得：

由于函数的最大值是1，所以

即

（2）由（1）知，

由得：，即

因此，

即，

故x的取值集合是.

【点睛】本题考查三角恒等变形，根据函数的最值求参数的值，解正弦不等式，属于简单题.

15．已知函数，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知．求：

(1)的最小正周期；

(2)在区间的取值范围．

【答案】(1)选①；选②；选③

(2)选①；选②；选③

【分析】无论选择哪个条件，首先利用二倍角公式及辅助角公式将函数进行化简变形，

（1）根据函数关系式直接写出周期；

（2）利用整体思想结合三角函数的性质，用x的范围，求出或的范围，即可得到函数的值域．

【详解】（1）解：若选①，

，

最小正周期为；

若选②，

，

最小正周期为；

若选③，

，

最小正周期为；

（2）选①，因为，所以 ，

所以取值范围为

选②，因为，所以

所以取值范围为

选③，因为，所以

所以取值范围为

16．在锐角中，．

（1）求角A的大小；

（2）求的最大值．

【答案】（1）（2）

【解析】（1）利用诱导公式、降幂公式和二倍角公式化简可得,进而求解即可；

（2）,进而利用和角公式展开,整理可得,由的范围,进而求得最值.

【详解】解:（1）因为,即,

所以,即,

所以,

所以

（2）由（1）,

,

因为锐角,所以,即,

所以,

当,即时,取得最大值为

【点睛】本题考查利用诱导公式、降幂公式和二倍角公式化简求值,考查和角公式的应用,考查三角函数的最值问题.