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2023年黑龙江省佳木斯市中考数学三模试卷（含解析）
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这是一份2023年黑龙江省佳木斯市中考数学三模试卷（含解析），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年黑龙江省佳木斯市中考数学三模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列运算正确的是( )
A. (−a)2⋅a=−a3 B. (−2a3)2=4a6
C. (a+b)2=a2+b2 D. a6÷a3=a2
2. 下列交通图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
3. 五个正整数从小到大排列，中位数为8，若这组数中的唯一众数为10，则这5个正整数和的最小值是( )
A. 29 B. 30 C. 31 D. 32
4. 由几个大小相同的小正方体搭建而成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则搭建这个几何体所需要的小正方体的个数可能为( )
A. 5个
B. 6个
C. 5个或6个
D. 6个或7个
5. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为( )
A. 8人 B. 9人 C. 10人 D. 11人
6. 若关于x的分式方程2x+a2−x=1的解是正数，则a的取值范围为( )
A. a<2 B. a>2 C. a<2且a≠−4 D. a>2且a≠4
7. 某同学打算花费27元钱购买2元和5元的两种学习用品，则他的购买方案有( )
A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种
8. 如图，设点P在反比例函数y=k1x(x>0)的图象上，PC⊥x轴于点C，交反比例函数y=k2x(x>0)的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交反比例函数y=k2x(x>0)的图象于点B，则四边形PAOB的面积为( )
A. k1+k1
B. k1−k2
C. k1k2
D. k2−k1
9. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB−AC=3，BC=8，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，则S△BDC的值为( )
A. 24
B. 12
C. 6
D. 3
10. 如图，在Rt△ABC中，AB=CB，BE⊥AC，∠BAC的平分线AD交BE于点G，BO⊥AD于点O，交AC于点F，连接GF，DF.下列结论：
①tan∠BAD=12；
②四边形BDFG是菱形；
③CE=( 2+1)GE；
④S四边形GDFE=S△AEG．
上述结论中正确的序号是( )
A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③④
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
11. 太阳的半径大约是696000km，用科学记数法表示，则结果为______ km．
12. 函数y= x−3x+1的自变量x的取值范围是______．
13. 如图，已知∠1=∠2，AC=AE，不添加任何辅助线，再添加一个合适的条件：______，使△ABC≌△ADE.(只写出一种即可)
14. 如图，转盘中6个扇形的面积相等，任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向的数小于3的概率为______．
15. 若关于x的不等式组2(x−1)>2a−x<0的解集为x>a，则a取值范围是______．
16. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，且∠C=45°，直径是8，则AB= ______ ．
17. 圆锥的底面半径为3，侧面积为21π，则这个圆锥的高为______．
18. 已知△ABC是以AB为一腰的等腰三角形，AB=5，AC边上的高为4，则△ABC的底边长为______ ．
19. 如图，在△ABC中，AB=AC=4，∠CAB=30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一个动点，连接PB，则12PA+PB的最小值为______ ．
20. 如图，在平面直角坐标系中，点A(−2,0)，直线l：y= 33x+ 33轴交于点B，以AB为边作等边三角形ABA，过点A1作A1B1//x轴，交直线l于点B1，以A1B1为边三角形A1B1A2，过点A2作A2B2//x轴，交直线l于点B2，以A2B2为边作等边三角形A2B2A3…以此类推，连接AB1，与A1B交于点C1，连接A1B2，与A2B1交于点C2…则点C2023的纵坐标是______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21. (本小题5.0分)
先化简，再求值：(x−x2x+1)÷xx2+2x+1，其中x=2sin60°+tan45°．
22. (本小题6.0分)
如图，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，且点A的坐标是(2,0)．
(1)将Rt△OAB先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到△O1A1B1，画出△O1A1B1，并写出点A1的坐标；
(2)将Rt△OAB绕点O按逆时针方向旋转90°，得到△OA2B2，画出△OA2B2，并写出点B2的坐标；
(3)在(2)的条件下，求△OAB扫过的面积．
23. (本小题6.0分)
如图，抛物线y=ax2+bx−3与x轴的两个交点分别为点A(1,0)，B(3,0)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P在该抛物线上，当△PAB的面积为8时，直接写出点P的坐标．
24. (本小题7.0分)
某学校为了调查学生利用“天天跳绳”APP锻炼身体的使用频率，随机抽取了部分学生，利用调查问卷进行抽样调查：用“A”表示“一周5次”，“B”表示“一周4次”，“C”表示“一周3次”，“D”表示“一周2次”(必须选且只选一项)，如图是工作人员根据问卷调查统计资料绘制的两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息回答以下问题：
(1)本次调查中，共调查了多少人？
(2)将图(2)补充完整；
(3)如果该学校有学生1000人，请你估计该学校学生利用“天天跳绳”APP锻炼身体的使用频率是“一周2次”的约有多少人？
25. (本小题8.0分)
A市某蔬菜公司需要调运两车蔬菜运往B市.甲、乙两辆货车从A市出发前往B市，乙车行驶途中发生故障原地维修，此时甲车刚好到达B市.甲车卸载蔬菜后立即原路原速返回接应乙车，把乙车的蔬菜装上甲车后立即原路原速又运往B市.乙车维修完毕后立即返回A市.两车离A市的距离y(单位：km)与乙车所用时间x(单位：h)之间的函数图象如图所示．
(1)甲车速度是______ km/h，乙车故障前的速度是______ km/h；
(2)求乙车返回过程中，乙车离A市的距离y与乙车所用时间x之间的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)；
(3)乙车出发多少小时，两车之间的距离是120km？请直接写出答案
26. (本小题8.0分)
在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，P为直线AB上一点，连接PC，将PC绕点P顺时针旋转90°得到PD，连接BD．
(1)当点P在线段AB上时，如图①，求证：BC−BD= 2BP；
(2)当点P在BA的延长线上时，如图②；当点P在AB的延长线上时，如图③，线段BC，BD，BP之间又有怎样的数量关系？直接写出你的猜想，不必证明．
27. (本小题10.0分)
某商店购买60件A商品和30件B商品共用了1080元，购买50件A商品和20件B商品共用了880元．
(1)A、B两种商品的单价分别是多少元？
(2)已知该商店购买A、B两种商品共30件，要求购买B商品的数量不高于A商品数量的2倍，且该商店购买的A、B两种商品的总费用不超过276元，那么该商店有几种购买方案？
(3)该商店第二天准备再购进A、B两种商品30件，其中购买A种商品m件(10≤m≤13)，实际购买时A种商品下降了a(a>0)元，B种商品上涨了3a元，此时购买这两种商品所需的最少费用为340元，直接写出a的值．
28. (本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系中，直线AB交x轴于点A，交y轴于点B、OA、OB(OA
(2)点Q的坐标为(x,0)，设△PDQ的面积为S，求S与x的函数关系式，并写出自变量x的上取值范围；
(3)若点E在直线AB上，F为坐标平面内任意一点，是否存在以B，C、E、F为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵(−a)2⋅a=a2⋅a=a3，
故选项A不符合题意；
∵(−2a3)2=4a6，
故选项B符合题意；
∵(a+b)2=a2+2ab+b2，
故选项C不符合题意；
∵a6÷a3=a6−3=a3，
故选项D不符合题意，
故选：B．
根据整式幂的运算、完全平方公式等运算法则进行计算、辨别．
此题考查了整式幂的运算、完全平方公式等运算能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地计算．
2.【答案】D
【解析】解：A、图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
B、图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
C、图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D、图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3.【答案】C
【解析】解：因为五个正整数从小到大排列后，其中位数是8，这组数据的唯一众数是10，
所以这5个数据分别是x，y，8，10，10，且x
所以这5个正整数和的最小值是1+2+8+10+10=31．
故选：C．
根据中位数和众数的定义分析，后面三个数为8，10，10，再讨论前面的两个数，即可求出最小的和．
此题考查了众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数．众数是一组数据中出现次数最多的数．解此题的关键是理解唯一众数的含义与中位数的意义．
4.【答案】C
【解析】解：由俯视图易得最底层有3个正方体，由主视图第二层最少有2个正方体，最多有3个，
那么最少有3+2=5个立方体，最多有3+3=6个．
故选：C．
易得这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层正方体的个数，由主视图可得第二层正方体的可能的最少的个数，相加即可．
本题考查了由三视图判断几何体的知识，根据题目中要求的以最少的小正方体搭建这个几何体，可以想象出左视图的样子，然后根据“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”很容易就知道小正方体的个数．
5.【答案】B
【解析】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，
第一轮过后有(1+x)个人感染，第二轮过后有(1+x)+x(1+x)个人感染，
那么由题意可知1+x+x(1+x)=100，
整理得，x2+2x−99=0，
解得x=9或x=−11，
x=−11不符合题意，舍去．
那么每轮传染中平均一个人传染的人数为9人．
故选：B．
本题考查增长问题，应理解“增长率”的含义，如果设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，那么由题意可列出方程，解方程即可求解．
主要考查增长率问题，可根据题意列出方程，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
6.【答案】C
【解析】解：去分母得：
2x+a=2−x，
解得：x=2−a3，
∵方程的解是正数，
∴2−a3>0，解得a<2，
又∵2−x≠0，
∴2−2−a3≠0，解得：a≠−4，
∴a的取值范围是：a<2且a≠−4．
故选：C．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，根据解为正数，求出a的范围即可．
本题考查的是分式方程的解法和一元一次不等式的解法，理解分式方程增根的判断方法是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：设购买2元的学习用品x件，5元的y件，
根据题意得：2x+5y=27，
∴x=27−5y2，
∵x，y为非负整数，
∴x=11y=1或x=6y=3或x=1y=5，
∴他的购买方案有3种，
故选：C．
设购买2元的学习用品x件，5元的y件，可得：2x+5y=27，x=27−5y2，根据x，y为非负整数，可得x=11y=1或x=6y=3或x=1y=5，即可得到答案．
本题考查二元一次方程的应用，解题的关键是掌握求二元一次方程整数解的方法．
8.【答案】B
【解析】解：根据题意可得四边形PAOB的面积=S矩形OCPD−S△OBD−S△OAC，
由反比例函数y=kx中k的几何意义，可知其面积为k1−k2．
故选：B．
四边形PAOB的面积为矩形OCPD的面积减去三角形ODB与三角形OAC的面积，根据反比例函数y=kx中k的几何意义，其面积为k1−k2．
主要考查了反比例函数y=kx中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点．
9.【答案】C
【解析】解：延长AC、BD相交于点E，
∵AD平分∠BAC，BD⊥AD，
∴∠EAD=∠BAD，∠ADE=∠ADB=90°，
在△ADE和△ADB中，
∠EAD=∠BADAD=AD∠ADE=∠ADB，
∴△ADE≌△ADB(ASA)，
∴AE=AB，ED=BD，
∴S△BDC=S△CDE=12S△BCE，
∵AB−AC=3，
∴AE−AC=CE=3，
∴S△BCD=12S△BCE=12×12×3×8=6．
故选：C．
延长AC、BD相交于点E，证明△ADE≌△ADB(ASA)，可得AE=AB，ED=BD，从而可得S△BDC=S△CDE=12S△BCE，再由AB−AC=3，求得CE=3，即可求得面积．
本题考查角平分线的定义、垂线的定义、全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：∵△ABC是直角三角形，AB=CB，
∴∠ABC=90°，
∵BE⊥AC，
∴∠AEB=∠CEB=90°，AE=CE，
∴BE=AE=CE=12AC，
∴∠EAB=∠EBA=∠C=∠EBC=45°，
∵BO⊥AD于点O，交AC于点F，
∴∠AOB=∠AOF=90°，
∵∠BAC的平分线AD交BE于点G，
∴∠BAD=∠CAD，
∴OBOA=tan∠BAD=tan∠CAD=OFOA，∠BAD+45°=∠CAD+45°，
∴OB=OF，
∴AD垂直平分BF，
∴BG=FG，BD=FD，
∵∠BGD=∠BAD+∠EBA=∠BAD+45°，∠BDG=∠CAD+∠C=∠CAD+45°，
∴∠BGD=∠BDG，
∴BG=BD，
∴BG=FG=BD=FD，
∴四边形BDFG是菱形，
故②正确；
∵FG//BD，FD//BG，
∴∠EFG=∠C=45°，∠CFD=∠CEB=90°，
∴∠EGF=∠EFG=45°，∠FDC=∠C=45°，
∴FE=GE，
∴△EGF是等腰直角三角形，
∴FC=FD=FG= 2GE，
∴CE=FC+FE= 2GE+GE=( 2+1)GE，
故③正确；
∵AE=CE=(12+1)GE，∠BAD=∠CAD，
∴tan∠BAD=tan∠CAD=GEAE=GE( 2+1)GE= 2−1≠12，
故①错误；
∵OD=OG，OF=OB，
∴S△DOF=12OD⋅OF=12OG⋅OB=S△GOB，
∴S四边形GDFE=S四边形GOFE+S△DOF=S四边形GOFE+S△GOB=S△BEF，
∵AE=BE，GE=FE，
∴S△AEG=12AE⋅GE=12BE⋅FE=S△BEF，
∴S四边形GDFE=S△AEG，
故④正确，
故选：B．
由等腰直角三角形的性质得∠EAB=∠EBA=∠C=∠EBC=45°，由BO⊥AD于点O，得∠AOB=∠AOF=90°，而∠BAD=∠CAD，则tan∠BAD=tan∠CAD，所以OB=OF，则BG=FG，BD=FD，再证明∠BGD=∠BDG，则BG=BD，即可证明四边形BDFG是菱形，可判断②正确；再证明∠EGF=∠EFG=45°，∠FDC=∠C=45°，则FE=GE，所以FC=FD=FG= 2GE，则CE=FC+FE=( 2+1)GE，可判断③正确；因为AE=CE=( 2+1)GE，∠BAD=∠CAD，所以tan∠BAD=tan∠CAD，可判断①错误；因为S△DOF=12OD⋅OF=12OG⋅OB=S△GOB，所以S四边形GDFE=S四边形GOFE+S△DOF=S四边形GOFE+S△GOB=S△BEF，而S△AEG=12AE⋅GE=12BE⋅FE=S△BEF，所以S四边形GDFE=S△AEG，可判断④正确，于是得到问题的答案．
此题是四边形综合题，综合性较强，难度较大．重点考查等腰直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形、三角形的面积公式等知识，解决本题的关键是综合利用以上知识．
11.【答案】6.96×105
【解析】解：696000km，用科学记数法表示，则结果为6.96×105 km，
故答案为：6.96×105．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12.【答案】x≥3
【解析】解：根据题意得：x−3≥0且x+1≠0，
解得：x≥3．
故函数y= x−3x+1的自变量x的取值范围是x≥3．
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
13.【答案】AB=AD(答案不唯一)
【解析】解：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，
∴∠BAC=∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
AB=AD∠BAC=∠DAEAC=AE,
∴△ABC≌△ADE(SAS)，
故答案为：AB=AD(答案不唯一)．
根据等式的性质可得∠BAC=∠DAE，然后利用全等三角形的判定方法，即可解答．
本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
14.【答案】13
【解析】解：∵共6个数，小于3的有2个，
∴P(小于3)=26=13．
故答案为：13．
根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn．
15.【答案】a≥2
【解析】解：解不等式2(x−1)>2，得：x>2，
解不等式a−x<0，得：x>a，
∵不等式组的解集为x>a，
∴a≥2，
故答案为：a≥2．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大并结合不等式组的解集可得a的范围．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
16.【答案】4 2
【解析】解：如图，连接OA，OB，
∵∠ACB=45°，
∴∠AOB=2∠ACB=90°，
∵OA=OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
在Rt△OAB中，OA2+OB2=AB2，OA=OB=4，
∴AB2=42+42，
∴AB=4 2，
故答案为：4 2．
连接OA，OB，可得∠AOB=90°，进而利用等腰直角三角形的性质解答即可．
此题考查三角形外接圆与外心，关键是根据圆周角与圆心角的关系得出∠AOB=90°．
17.【答案】2 10
【解析】解：设圆锥的母线长为R，则21π=2π×3×R÷2，解得R=7，
故圆锥的高= 72−32=2 10．
故答案为：2 10．
圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求得母线长，利用勾股定理即可求得圆锥的高．
本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥侧面积的求法；圆锥的高，母线长，底面半径组成直角三角形．
18.【答案】2 5或4 5或6
【解析】解：①AB=AC，且是锐角三角形，如图；
∵BD⊥AC，且BD=4，
∴AD= AB2−BD2=3，
∴CD=AC−AD=2，
在Rt△BDC中，由勾股定理得：BC= BD2+CD2=2 5；
②AB=AC，且是钝角三角形时，如图；
由勾股定理得AD= AB2−BD2=3，
∴CD=AC+AD=8，
在Rt△BDC中，由勾股定理得：BC= BD2+CD2=4 5；
③AB=BC时，如图，
∵BD⊥AC，
∴DC=12AC，
在Rt△BDC中，由勾股定理得：DC= BC2−BD2=3，
∴AC=2DC=6；
综上，底边的长为2 5或4 5或6．
故答案为：2 5或4 5或6．
分三种情况：AB=AC，且是锐角三角形；AB=AC，且是钝角三角形；AB=BC，利用等腰三角形的性质及勾股定理即可求解．
本题考查了等腰三角形的定义及性质，勾股定理，解题的关键是，数形结合，注意分类讨论．
19.【答案】2 2
【解析】解：如图，过点A作直线AE，使∠CAE=15°，作PQ⊥AE于点Q，作BQ′⊥AE于点Q′，
∵AB=AC，∠CAB=30°，AD⊥BC，
∴∠CAD=∠BAD=15°，
∵∠CAE=15°，
∴∠PAQ=∠CAD+∠CAE=30°，∠BAQ′=∠BAC+∠CAE=45°，
又∵PQ⊥AE，BQ′⊥AE，AB=4，
∴PQ=12PA，BQ′= 22AB= 22×4=2 2，
∵PB+PQ≥BQ′，
∴当PB+PQ=BQ′时值最小，
即12PA+PB的最小值为2 2．
故答案为：2 2．
过点A作直线AE，使∠CAE=15°，作PQ⊥AE于点Q，作BQ′⊥AE于点Q′，易证∠DAE=30°，∠BAE=45°，根据直角三角形的性质得PQ=12PA，BQ′= 22AB=2 2，因为PB+PQ≥BQ′，所以当PB+PQ=BQ′时，12PA+PB值最小．
本题考查了胡不归模型，将12PA转化成线段PQ是解题的关键．
20.【答案】22024−3 36
【解析】解：∵y= 33x+ 33与x轴交于点B，
∴当y=0时，x=−1，
即B(−1,0)，
∴OB=1，
∵A(−2,0)，
∴OA=2，AB=1，
∵△ABA1是等边三角形，
∴点A1(−32, 32)，
∵A1B1//x轴，
∴A1和B1的纵坐标相同，
当y= 32时，x=12，
∴B1(12, 32)，
∴A1B1=2，
设AB1解析式为y=ax+b，A1B解析式为y=cx+d，
∴−2a+b=012a+b= 32，−32c+d= 32−c+d=0，
解得：a= 35b=2 35，c=− 3d=− 3，
∴AB1解析式为y= 35x+2 35，
A1B解析式为：y= 3x− 3，
联立得：y= 35x+2 35y=− 3x− 3，
解得：x=−76y= 36，
∴C1纵坐标为： 36，
即C1纵坐标为：22−3 36，
∵A2(−12, 32+ 3×22)，
∴A2(−12,3 32)，
将y=3 32代入y= 33x+ 33得：x=72，
∴B2(72,3 32)，
∴A2B2=4，
同理可得：C2纵坐标为：23−3 36，
同理可得：C3纵坐标为：24−3 36，
...，
∴Cn纵坐标为：2n+1−3 36，
∴C2023纵坐标为：22024−3 36．
故答案为：22024−3 36．
根据一次函数的知识求出B的坐标，再根据等边三角形知识求出A1坐标，结合题意求出AB1和A1B的解析式，进而求出C1的纵坐标，以此类推总结规律得出Cn纵坐标，利用规律求出C2023纵坐标．
本题主要考查了一次函数的知识和规律的知识，有一定难度，根据一次函数知识找出规律是解答的关键．
21.【答案】解：(x−x2x+1)÷xx2+2x+1
=x(x+1)−x2x+1÷x(x+1)2
=xx+1⋅(x+1)2x
=x+1，
当x=2sin60°+tan45°=2× 32+1= 3+1时，原式= 3+1+1= 3+2．
【解析】先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，求出x= 3+1，最后代入求出答案即可．
本题考查了特殊角的三角函数值和分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
22.【答案】解：(1)如图所示，△O1A1B1即为所求，A1(6,−1)；
(2)如图所示，△OA2B2，即为所求，B2(−4,2)；
(3)∵OB2=OA2+AB2=22+42=20，
∴△OAB扫过的面积=扇形OBB2的面积+S△OAB=90π×20360+12×2×4=5π+4．
【解析】(1)根据平移变换的性质找出对应点即可求解；
(2)根据旋转变换的性质找出对应点即可求；
(3)求出OB的长，再根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
本题考查了作图−旋转变换，作图−平移变换，平移变换的性质与旋转变换的性质，熟练掌握平移变换的性质与旋转变换的性质是解题的关键．
23.【答案】解：(1)∵点A(1,0)，B(3,0)在抛物线y=ax2+bx−3上，
∴a+b−3=09a+3b−3=0，
解得a=−1b=4，
∴抛物线的解析式为y=−x2+4x−3．
(2)∵A(1,0)，B(3,0)，
∴AB=2．
又∵S△PAB=12AB⋅|yP|=8，
∴|yP|=8，即yP=±8．
①令−x2+4x−3=8，该方程无解，不符合题意；
②令−x2+4x−3=−8，解得x1=−1，x2=5．
∴P(−1,−8)或P(5,−8)．
【解析】(1)将点A，B的坐标分别代入y=ax2+bx−3，求出a，b；
(2)以AB为底，求出△PAB的高，即点P的纵坐标的绝对值，进而将P的纵坐标代入抛物线的表达式，求解其横坐标．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与三角形面积的综合，熟练掌握相关知识是解题的关键．
24.【答案】解：(1)100÷20%=500(人)，
即本次调查中，共调查了500人；
(2)选择B的有：500×30%=150(人)，
补全的图(2)如右图所示；
(3)1000×10%=100(人)，
即估计该学校学生利用“天天跳绳”APP锻炼身体的使用频率是“一周2次”的约有100人．
【解析】(1)根据选项C的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查中，共调查了多少人；
(2)根据(1)中的结果和B所占的百分比，可以计算出选择B的人数，然后即可将图(2)补充完整；
(3)根据扇形统计图中D所占的百分比，可以计算出该学校学生利用“天天跳绳”APP锻炼身体的使用频率是“一周2次”的约有多少人．
本题考查扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
25.【答案】100 60
【解析】解：(1)由图象可得，
甲车的速度为：500÷5=100(km/h)，
乙车出发时速度是：300÷5=60(km/h)，
故答案为：100，60；
(2)乙车返回过程中，设乙车离A市的距离y(km)与乙车所用时间x(h)的函数解析式是y=kx+b，
∵点(9,300)，(12,0)在该函数图象上，
∴9k+b=30012k+b=0，
解得k=−100b=1200，
即乙车返回过程中，乙车离A市的距离y(km)与乙车所用时间x(h)的函数解析式是y=−100x+1200；
(3)设乙车出发m小时，两车之间的距离是120km，
当0
解得m=3；
当5.5
解得m=6.3；
当9
100(m−8)+100(m−9)=120，
解得m=9.1；
答：乙车出发3小时或6.3小时或9.1小时，两车之间的距离是120km．
(1)根据函数图象中的数据，可以计算出甲车速度和乙车出发时速度；
(2)根据函数图象中的数据，可以计算出乙车返回过程中，乙车离A市的距离y(km)与乙车所用时间x(h)的函数解析式；
(3)根据题意可知存在三种情况，然后分别计算即可．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用数形结合的思想解答．
26.【答案】(1)证明：过点P作FP⊥AB，交BC于点F，
∴∠BPF=90°，
由旋转得：PC=PD，∠DPC=90°，
∴∠DPC=∠BPF=90°，
∴∠DPC−∠DPF=∠BPF−∠DPF，
∴∠FPC=∠BPD，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠PFB=90°−∠ABC=45°，
∴∠ABC=∠PFB=45°，
∴BP=PF，
∴△FPC≌△BPD(SAS)，
∴BD=FC，
在Rt△BPF中，BP=PF，
∴BF= 2BP，
∵BC−CF=BF，
∴BC−BD= 2BP；
(2)解：当点P在BA的延长线上时，BC+BD= 2BP，
理由：如图：过点P作FP⊥BP，交BC的延长线于点F，
∴∠BPF=90°，
由旋转得：PC=PD，∠DPC=90°，
∴∠DPC=∠BPF=90°，
∴∠DPC−∠BPC=∠BPF−∠BPC，
∴∠FPC=∠BPD，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠PFB=90°−∠ABC=45°，
∴∠ABC=∠PFB=45°，
∴BP=PF，
∴△FPC≌△BPD(SAS)，
∴BD=FC，
在Rt△BPF中，BP=PF，
∴BF= 2BP，
∵BC+CF=BF，
∴BC+BD= 2BP；
当点P在AB的延长线上时，BD−BC= 2BP，
理由：如图：过点P作FP⊥BP，交CB的延长线于点F，
∴∠BPF=90°，
由旋转得：PC=PD，∠DPC=90°，
∴∠DPC=∠BPF=90°，
∴∠DPC+∠BPC=∠BPF+∠BPC，
∴∠FPC=∠BPD，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ABC=∠PBF=45°，
∴∠PFB=90°−∠PBF=45°，
∴∠PBF=∠PFB=45°，
∴BP=PF，
∴△FPC≌△BPD(SAS)，
∴BD=FC，
在Rt△BPF中，BP=PF，
∴BF= 2BP，
∵CF−BC=BF，
∴BD−BC= 2BP．
【解析】(1)过点P作FP⊥AB，交BC于点F，根据垂直定义可得∠BPF=90°，再根据旋转的性质可得：PC=PD，∠DPC=90°，从而利用等式的性质可得∠FPC=∠BPD，然后利用等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=45°，从而可得∠ABC=∠PFB=45°，进而可得BP=PF，最后利用SAS可证△FPC≌△BPD，从而可得BD=FC，再在Rt△BPF中，利用等腰直角三角形的性质可得BF= 2BP，再根据线段的和差关系以及等量代换可得BC−BD= 2BP，即可解答；
(2)当点P在BA的延长线上时，过点P作FP⊥BP，交BC的延长线于点F，利用(1)的解题思路进行推理论证，即可解答；当点P在AB的延长线上时，过点P作FP⊥BP，交CB的延长线于点F，利用(1)的解题思路进行推理论证，即可解答．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
27.【答案】解：(1)设A商品的单价为x元，B商品的单价为y元，
依题意，得：60x+30y=108050x+20y=880，
解得：x=16y=4．
答：A商品的单价为16元，B商品的单价为4元．
(2)设购买A商品n件，则购买B商品(30−n)件，
依题意，得：30−n≤2n16n+4(30−n)≤276，
解得：10≤n≤13，
又∵n为正整数，
∴n可以取10，11，12，13，
∴该商店有4种购买方案．
(3)设购买的总费用为w元，则w=(16−a)m+(4+3a)(30−m)=(12−4a)m+120+90a．
当0
当3
答：a的值为2．
【解析】(1)设A商品的单价为x元，B商品的单价为y元，根据“购买60件A商品和30件B商品共用了1080元，购买50件A商品和20件B商品共用了880元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设购买A商品n件，则购买B商品(30−n)件，根据“购买B商品的数量不高于A商品数量的2倍，且该商店购买的A、B两种商品的总费用不超过276元”，即可得出关于n的一元一次不等式组，解之即可得出n的取值范围，再结合n为正整数即可得出结论；
(3)设购买的总费用为w元，根据总价=单价×数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质结合购买这两种商品所需的最少费用为340元，即可求出a值．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；(3)利用一次函数的性质，找出关于a的方程．
28.【答案】解：(1)解方程2x2−3x+1=0，
可得：x1=1，x2=12，
∵OA、OB(OA
∴A(12,0)，B(0,−1)，
∵BC关于原点对称，
∴设AB：y=kx+b(k≠0)过A(12,0)、B(0,−1)，
∴12k+b=0b=−1，
解得：k=2b=−1，
∴AB：y=2x−1；
(2)由(1)知C(0,1)，
∴过点C作直线AB：y=2x−1；的垂线交AB于点D，交x轴于点P．
∴直线CD为：y=−12x+1，
令y=0，则0=−12x+1，
解得：x=2，
∴P(2,0)，
联立得方程组：y=2x−1y=−12x+1,
解得：x=45y=35，
∴D(45,35)，
∵Q的坐标为(x,0)，
∴PQ=2−x，
∴S△DPQ=12×QP×yD=12×2−x×35，
即S=−310x+35(x<2)310x−35(x>2)；
(3)存在；
分3种情况：①BE、CF为对角线，四边形CBFE为矩形时：
∵E在直线AB：y=2x−l上设E(x,2x−1)，
过C(0,1)作CE⊥y轴交直线AB于E点，
∴2x−1=1，解得x=1，
此时y=2x−1=1，
∴E(1,1)，
再过B点作y轴的垂线，过E作CE的垂线，两线交于F，
∵B(0,−1)，
∴F(1,−1)；
②BC、EF为对角线，四边形CFBE是矩形时：
∵CD⊥AB，
∴D、E重合，
∵D(45,35)，
∴E(45,35)，
∵C、B点关于原点成中心对称，
∴EF也应该关于原点成中心对称，
∴F(−45,−35)，
③当∠CBE=90°，此时B、E重合，C、E、B、F无法构成矩形，
综上所述：F(1,−1)或(−45,−35).
【解析】(1)解方程2x2−3x+1=0确定A、B坐标，用待定系数法求直线AB的解析式即可；
(2)两直线互相垂直，比例系数乘积为−1，根据CD⊥AB可得CD的解析式，进而联立解方程组求得D点和P点坐标，由Q点坐标表示出三角形PDQ的面积表达式，再根据Q在P点的左侧或右侧确定x的取值范围即可；
(3)根据矩形判定定理，分三种情况求F点坐标即可．
本题考查了一元二次方程的解法，待定系数法求一次函数的解析式，以及解二元一次方程组的知识，矩形的判定和性质，也体现了数形结合的思想，理解题意是解决问题的关键．
2023年黑龙江省佳木斯市中考数学三模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列运算正确的是( )
A. (−a)2⋅a=−a3 B. (−2a3)2=4a6
C. (a+b)2=a2+b2 D. a6÷a3=a2
2. 下列交通图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
3. 五个正整数从小到大排列，中位数为8，若这组数中的唯一众数为10，则这5个正整数和的最小值是( )
A. 29 B. 30 C. 31 D. 32
4. 由几个大小相同的小正方体搭建而成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则搭建这个几何体所需要的小正方体的个数可能为( )
A. 5个
B. 6个
C. 5个或6个
D. 6个或7个
5. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为( )
A. 8人 B. 9人 C. 10人 D. 11人
6. 若关于x的分式方程2x+a2−x=1的解是正数，则a的取值范围为( )
A. a<2 B. a>2 C. a<2且a≠−4 D. a>2且a≠4
7. 某同学打算花费27元钱购买2元和5元的两种学习用品，则他的购买方案有( )
A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种
8. 如图，设点P在反比例函数y=k1x(x>0)的图象上，PC⊥x轴于点C，交反比例函数y=k2x(x>0)的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交反比例函数y=k2x(x>0)的图象于点B，则四边形PAOB的面积为( )
A. k1+k1
B. k1−k2
C. k1k2
D. k2−k1
9. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB−AC=3，BC=8，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，则S△BDC的值为( )
A. 24
B. 12
C. 6
D. 3
10. 如图，在Rt△ABC中，AB=CB，BE⊥AC，∠BAC的平分线AD交BE于点G，BO⊥AD于点O，交AC于点F，连接GF，DF.下列结论：
①tan∠BAD=12；
②四边形BDFG是菱形；
③CE=( 2+1)GE；
④S四边形GDFE=S△AEG．
上述结论中正确的序号是( )
A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③④
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
11. 太阳的半径大约是696000km，用科学记数法表示，则结果为______ km．
12. 函数y= x−3x+1的自变量x的取值范围是______．
13. 如图，已知∠1=∠2，AC=AE，不添加任何辅助线，再添加一个合适的条件：______，使△ABC≌△ADE.(只写出一种即可)
14. 如图，转盘中6个扇形的面积相等，任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向的数小于3的概率为______．
15. 若关于x的不等式组2(x−1)>2a−x<0的解集为x>a，则a取值范围是______．
16. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，且∠C=45°，直径是8，则AB= ______ ．
17. 圆锥的底面半径为3，侧面积为21π，则这个圆锥的高为______．
18. 已知△ABC是以AB为一腰的等腰三角形，AB=5，AC边上的高为4，则△ABC的底边长为______ ．
19. 如图，在△ABC中，AB=AC=4，∠CAB=30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一个动点，连接PB，则12PA+PB的最小值为______ ．
20. 如图，在平面直角坐标系中，点A(−2,0)，直线l：y= 33x+ 33轴交于点B，以AB为边作等边三角形ABA，过点A1作A1B1//x轴，交直线l于点B1，以A1B1为边三角形A1B1A2，过点A2作A2B2//x轴，交直线l于点B2，以A2B2为边作等边三角形A2B2A3…以此类推，连接AB1，与A1B交于点C1，连接A1B2，与A2B1交于点C2…则点C2023的纵坐标是______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21. (本小题5.0分)
先化简，再求值：(x−x2x+1)÷xx2+2x+1，其中x=2sin60°+tan45°．
22. (本小题6.0分)
如图，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，且点A的坐标是(2,0)．
(1)将Rt△OAB先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到△O1A1B1，画出△O1A1B1，并写出点A1的坐标；
(2)将Rt△OAB绕点O按逆时针方向旋转90°，得到△OA2B2，画出△OA2B2，并写出点B2的坐标；
(3)在(2)的条件下，求△OAB扫过的面积．
23. (本小题6.0分)
如图，抛物线y=ax2+bx−3与x轴的两个交点分别为点A(1,0)，B(3,0)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P在该抛物线上，当△PAB的面积为8时，直接写出点P的坐标．
24. (本小题7.0分)
某学校为了调查学生利用“天天跳绳”APP锻炼身体的使用频率，随机抽取了部分学生，利用调查问卷进行抽样调查：用“A”表示“一周5次”，“B”表示“一周4次”，“C”表示“一周3次”，“D”表示“一周2次”(必须选且只选一项)，如图是工作人员根据问卷调查统计资料绘制的两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息回答以下问题：
(1)本次调查中，共调查了多少人？
(2)将图(2)补充完整；
(3)如果该学校有学生1000人，请你估计该学校学生利用“天天跳绳”APP锻炼身体的使用频率是“一周2次”的约有多少人？
25. (本小题8.0分)
A市某蔬菜公司需要调运两车蔬菜运往B市.甲、乙两辆货车从A市出发前往B市，乙车行驶途中发生故障原地维修，此时甲车刚好到达B市.甲车卸载蔬菜后立即原路原速返回接应乙车，把乙车的蔬菜装上甲车后立即原路原速又运往B市.乙车维修完毕后立即返回A市.两车离A市的距离y(单位：km)与乙车所用时间x(单位：h)之间的函数图象如图所示．
(1)甲车速度是______ km/h，乙车故障前的速度是______ km/h；
(2)求乙车返回过程中，乙车离A市的距离y与乙车所用时间x之间的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)；
(3)乙车出发多少小时，两车之间的距离是120km？请直接写出答案
26. (本小题8.0分)
在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，P为直线AB上一点，连接PC，将PC绕点P顺时针旋转90°得到PD，连接BD．
(1)当点P在线段AB上时，如图①，求证：BC−BD= 2BP；
(2)当点P在BA的延长线上时，如图②；当点P在AB的延长线上时，如图③，线段BC，BD，BP之间又有怎样的数量关系？直接写出你的猜想，不必证明．
27. (本小题10.0分)
某商店购买60件A商品和30件B商品共用了1080元，购买50件A商品和20件B商品共用了880元．
(1)A、B两种商品的单价分别是多少元？
(2)已知该商店购买A、B两种商品共30件，要求购买B商品的数量不高于A商品数量的2倍，且该商店购买的A、B两种商品的总费用不超过276元，那么该商店有几种购买方案？
(3)该商店第二天准备再购进A、B两种商品30件，其中购买A种商品m件(10≤m≤13)，实际购买时A种商品下降了a(a>0)元，B种商品上涨了3a元，此时购买这两种商品所需的最少费用为340元，直接写出a的值．
28. (本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系中，直线AB交x轴于点A，交y轴于点B、OA、OB(OA
(2)点Q的坐标为(x,0)，设△PDQ的面积为S，求S与x的函数关系式，并写出自变量x的上取值范围；
(3)若点E在直线AB上，F为坐标平面内任意一点，是否存在以B，C、E、F为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵(−a)2⋅a=a2⋅a=a3，
故选项A不符合题意；
∵(−2a3)2=4a6，
故选项B符合题意；
∵(a+b)2=a2+2ab+b2，
故选项C不符合题意；
∵a6÷a3=a6−3=a3，
故选项D不符合题意，
故选：B．
根据整式幂的运算、完全平方公式等运算法则进行计算、辨别．
此题考查了整式幂的运算、完全平方公式等运算能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地计算．
2.【答案】D
【解析】解：A、图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
B、图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
C、图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D、图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3.【答案】C
【解析】解：因为五个正整数从小到大排列后，其中位数是8，这组数据的唯一众数是10，
所以这5个数据分别是x，y，8，10，10，且x
所以这5个正整数和的最小值是1+2+8+10+10=31．
故选：C．
根据中位数和众数的定义分析，后面三个数为8，10，10，再讨论前面的两个数，即可求出最小的和．
此题考查了众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数．众数是一组数据中出现次数最多的数．解此题的关键是理解唯一众数的含义与中位数的意义．
4.【答案】C
【解析】解：由俯视图易得最底层有3个正方体，由主视图第二层最少有2个正方体，最多有3个，
那么最少有3+2=5个立方体，最多有3+3=6个．
故选：C．
易得这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层正方体的个数，由主视图可得第二层正方体的可能的最少的个数，相加即可．
本题考查了由三视图判断几何体的知识，根据题目中要求的以最少的小正方体搭建这个几何体，可以想象出左视图的样子，然后根据“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”很容易就知道小正方体的个数．
5.【答案】B
【解析】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，
第一轮过后有(1+x)个人感染，第二轮过后有(1+x)+x(1+x)个人感染，
那么由题意可知1+x+x(1+x)=100，
整理得，x2+2x−99=0，
解得x=9或x=−11，
x=−11不符合题意，舍去．
那么每轮传染中平均一个人传染的人数为9人．
故选：B．
本题考查增长问题，应理解“增长率”的含义，如果设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，那么由题意可列出方程，解方程即可求解．
主要考查增长率问题，可根据题意列出方程，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
6.【答案】C
【解析】解：去分母得：
2x+a=2−x，
解得：x=2−a3，
∵方程的解是正数，
∴2−a3>0，解得a<2，
又∵2−x≠0，
∴2−2−a3≠0，解得：a≠−4，
∴a的取值范围是：a<2且a≠−4．
故选：C．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，根据解为正数，求出a的范围即可．
本题考查的是分式方程的解法和一元一次不等式的解法，理解分式方程增根的判断方法是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：设购买2元的学习用品x件，5元的y件，
根据题意得：2x+5y=27，
∴x=27−5y2，
∵x，y为非负整数，
∴x=11y=1或x=6y=3或x=1y=5，
∴他的购买方案有3种，
故选：C．
设购买2元的学习用品x件，5元的y件，可得：2x+5y=27，x=27−5y2，根据x，y为非负整数，可得x=11y=1或x=6y=3或x=1y=5，即可得到答案．
本题考查二元一次方程的应用，解题的关键是掌握求二元一次方程整数解的方法．
8.【答案】B
【解析】解：根据题意可得四边形PAOB的面积=S矩形OCPD−S△OBD−S△OAC，
由反比例函数y=kx中k的几何意义，可知其面积为k1−k2．
故选：B．
四边形PAOB的面积为矩形OCPD的面积减去三角形ODB与三角形OAC的面积，根据反比例函数y=kx中k的几何意义，其面积为k1−k2．
主要考查了反比例函数y=kx中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点．
9.【答案】C
【解析】解：延长AC、BD相交于点E，
∵AD平分∠BAC，BD⊥AD，
∴∠EAD=∠BAD，∠ADE=∠ADB=90°，
在△ADE和△ADB中，
∠EAD=∠BADAD=AD∠ADE=∠ADB，
∴△ADE≌△ADB(ASA)，
∴AE=AB，ED=BD，
∴S△BDC=S△CDE=12S△BCE，
∵AB−AC=3，
∴AE−AC=CE=3，
∴S△BCD=12S△BCE=12×12×3×8=6．
故选：C．
延长AC、BD相交于点E，证明△ADE≌△ADB(ASA)，可得AE=AB，ED=BD，从而可得S△BDC=S△CDE=12S△BCE，再由AB−AC=3，求得CE=3，即可求得面积．
本题考查角平分线的定义、垂线的定义、全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：∵△ABC是直角三角形，AB=CB，
∴∠ABC=90°，
∵BE⊥AC，
∴∠AEB=∠CEB=90°，AE=CE，
∴BE=AE=CE=12AC，
∴∠EAB=∠EBA=∠C=∠EBC=45°，
∵BO⊥AD于点O，交AC于点F，
∴∠AOB=∠AOF=90°，
∵∠BAC的平分线AD交BE于点G，
∴∠BAD=∠CAD，
∴OBOA=tan∠BAD=tan∠CAD=OFOA，∠BAD+45°=∠CAD+45°，
∴OB=OF，
∴AD垂直平分BF，
∴BG=FG，BD=FD，
∵∠BGD=∠BAD+∠EBA=∠BAD+45°，∠BDG=∠CAD+∠C=∠CAD+45°，
∴∠BGD=∠BDG，
∴BG=BD，
∴BG=FG=BD=FD，
∴四边形BDFG是菱形，
故②正确；
∵FG//BD，FD//BG，
∴∠EFG=∠C=45°，∠CFD=∠CEB=90°，
∴∠EGF=∠EFG=45°，∠FDC=∠C=45°，
∴FE=GE，
∴△EGF是等腰直角三角形，
∴FC=FD=FG= 2GE，
∴CE=FC+FE= 2GE+GE=( 2+1)GE，
故③正确；
∵AE=CE=(12+1)GE，∠BAD=∠CAD，
∴tan∠BAD=tan∠CAD=GEAE=GE( 2+1)GE= 2−1≠12，
故①错误；
∵OD=OG，OF=OB，
∴S△DOF=12OD⋅OF=12OG⋅OB=S△GOB，
∴S四边形GDFE=S四边形GOFE+S△DOF=S四边形GOFE+S△GOB=S△BEF，
∵AE=BE，GE=FE，
∴S△AEG=12AE⋅GE=12BE⋅FE=S△BEF，
∴S四边形GDFE=S△AEG，
故④正确，
故选：B．
由等腰直角三角形的性质得∠EAB=∠EBA=∠C=∠EBC=45°，由BO⊥AD于点O，得∠AOB=∠AOF=90°，而∠BAD=∠CAD，则tan∠BAD=tan∠CAD，所以OB=OF，则BG=FG，BD=FD，再证明∠BGD=∠BDG，则BG=BD，即可证明四边形BDFG是菱形，可判断②正确；再证明∠EGF=∠EFG=45°，∠FDC=∠C=45°，则FE=GE，所以FC=FD=FG= 2GE，则CE=FC+FE=( 2+1)GE，可判断③正确；因为AE=CE=( 2+1)GE，∠BAD=∠CAD，所以tan∠BAD=tan∠CAD，可判断①错误；因为S△DOF=12OD⋅OF=12OG⋅OB=S△GOB，所以S四边形GDFE=S四边形GOFE+S△DOF=S四边形GOFE+S△GOB=S△BEF，而S△AEG=12AE⋅GE=12BE⋅FE=S△BEF，所以S四边形GDFE=S△AEG，可判断④正确，于是得到问题的答案．
此题是四边形综合题，综合性较强，难度较大．重点考查等腰直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形、三角形的面积公式等知识，解决本题的关键是综合利用以上知识．
11.【答案】6.96×105
【解析】解：696000km，用科学记数法表示，则结果为6.96×105 km，
故答案为：6.96×105．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12.【答案】x≥3
【解析】解：根据题意得：x−3≥0且x+1≠0，
解得：x≥3．
故函数y= x−3x+1的自变量x的取值范围是x≥3．
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
13.【答案】AB=AD(答案不唯一)
【解析】解：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，
∴∠BAC=∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
AB=AD∠BAC=∠DAEAC=AE,
∴△ABC≌△ADE(SAS)，
故答案为：AB=AD(答案不唯一)．
根据等式的性质可得∠BAC=∠DAE，然后利用全等三角形的判定方法，即可解答．
本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
14.【答案】13
【解析】解：∵共6个数，小于3的有2个，
∴P(小于3)=26=13．
故答案为：13．
根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn．
15.【答案】a≥2
【解析】解：解不等式2(x−1)>2，得：x>2，
解不等式a−x<0，得：x>a，
∵不等式组的解集为x>a，
∴a≥2，
故答案为：a≥2．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大并结合不等式组的解集可得a的范围．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
16.【答案】4 2
【解析】解：如图，连接OA，OB，
∵∠ACB=45°，
∴∠AOB=2∠ACB=90°，
∵OA=OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
在Rt△OAB中，OA2+OB2=AB2，OA=OB=4，
∴AB2=42+42，
∴AB=4 2，
故答案为：4 2．
连接OA，OB，可得∠AOB=90°，进而利用等腰直角三角形的性质解答即可．
此题考查三角形外接圆与外心，关键是根据圆周角与圆心角的关系得出∠AOB=90°．
17.【答案】2 10
【解析】解：设圆锥的母线长为R，则21π=2π×3×R÷2，解得R=7，
故圆锥的高= 72−32=2 10．
故答案为：2 10．
圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求得母线长，利用勾股定理即可求得圆锥的高．
本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥侧面积的求法；圆锥的高，母线长，底面半径组成直角三角形．
18.【答案】2 5或4 5或6
【解析】解：①AB=AC，且是锐角三角形，如图；
∵BD⊥AC，且BD=4，
∴AD= AB2−BD2=3，
∴CD=AC−AD=2，
在Rt△BDC中，由勾股定理得：BC= BD2+CD2=2 5；
②AB=AC，且是钝角三角形时，如图；
由勾股定理得AD= AB2−BD2=3，
∴CD=AC+AD=8，
在Rt△BDC中，由勾股定理得：BC= BD2+CD2=4 5；
③AB=BC时，如图，
∵BD⊥AC，
∴DC=12AC，
在Rt△BDC中，由勾股定理得：DC= BC2−BD2=3，
∴AC=2DC=6；
综上，底边的长为2 5或4 5或6．
故答案为：2 5或4 5或6．
分三种情况：AB=AC，且是锐角三角形；AB=AC，且是钝角三角形；AB=BC，利用等腰三角形的性质及勾股定理即可求解．
本题考查了等腰三角形的定义及性质，勾股定理，解题的关键是，数形结合，注意分类讨论．
19.【答案】2 2
【解析】解：如图，过点A作直线AE，使∠CAE=15°，作PQ⊥AE于点Q，作BQ′⊥AE于点Q′，
∵AB=AC，∠CAB=30°，AD⊥BC，
∴∠CAD=∠BAD=15°，
∵∠CAE=15°，
∴∠PAQ=∠CAD+∠CAE=30°，∠BAQ′=∠BAC+∠CAE=45°，
又∵PQ⊥AE，BQ′⊥AE，AB=4，
∴PQ=12PA，BQ′= 22AB= 22×4=2 2，
∵PB+PQ≥BQ′，
∴当PB+PQ=BQ′时值最小，
即12PA+PB的最小值为2 2．
故答案为：2 2．
过点A作直线AE，使∠CAE=15°，作PQ⊥AE于点Q，作BQ′⊥AE于点Q′，易证∠DAE=30°，∠BAE=45°，根据直角三角形的性质得PQ=12PA，BQ′= 22AB=2 2，因为PB+PQ≥BQ′，所以当PB+PQ=BQ′时，12PA+PB值最小．
本题考查了胡不归模型，将12PA转化成线段PQ是解题的关键．
20.【答案】22024−3 36
【解析】解：∵y= 33x+ 33与x轴交于点B，
∴当y=0时，x=−1，
即B(−1,0)，
∴OB=1，
∵A(−2,0)，
∴OA=2，AB=1，
∵△ABA1是等边三角形，
∴点A1(−32, 32)，
∵A1B1//x轴，
∴A1和B1的纵坐标相同，
当y= 32时，x=12，
∴B1(12, 32)，
∴A1B1=2，
设AB1解析式为y=ax+b，A1B解析式为y=cx+d，
∴−2a+b=012a+b= 32，−32c+d= 32−c+d=0，
解得：a= 35b=2 35，c=− 3d=− 3，
∴AB1解析式为y= 35x+2 35，
A1B解析式为：y= 3x− 3，
联立得：y= 35x+2 35y=− 3x− 3，
解得：x=−76y= 36，
∴C1纵坐标为： 36，
即C1纵坐标为：22−3 36，
∵A2(−12, 32+ 3×22)，
∴A2(−12,3 32)，
将y=3 32代入y= 33x+ 33得：x=72，
∴B2(72,3 32)，
∴A2B2=4，
同理可得：C2纵坐标为：23−3 36，
同理可得：C3纵坐标为：24−3 36，
...，
∴Cn纵坐标为：2n+1−3 36，
∴C2023纵坐标为：22024−3 36．
故答案为：22024−3 36．
根据一次函数的知识求出B的坐标，再根据等边三角形知识求出A1坐标，结合题意求出AB1和A1B的解析式，进而求出C1的纵坐标，以此类推总结规律得出Cn纵坐标，利用规律求出C2023纵坐标．
本题主要考查了一次函数的知识和规律的知识，有一定难度，根据一次函数知识找出规律是解答的关键．
21.【答案】解：(x−x2x+1)÷xx2+2x+1
=x(x+1)−x2x+1÷x(x+1)2
=xx+1⋅(x+1)2x
=x+1，
当x=2sin60°+tan45°=2× 32+1= 3+1时，原式= 3+1+1= 3+2．
【解析】先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，求出x= 3+1，最后代入求出答案即可．
本题考查了特殊角的三角函数值和分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
22.【答案】解：(1)如图所示，△O1A1B1即为所求，A1(6,−1)；
(2)如图所示，△OA2B2，即为所求，B2(−4,2)；
(3)∵OB2=OA2+AB2=22+42=20，
∴△OAB扫过的面积=扇形OBB2的面积+S△OAB=90π×20360+12×2×4=5π+4．
【解析】(1)根据平移变换的性质找出对应点即可求解；
(2)根据旋转变换的性质找出对应点即可求；
(3)求出OB的长，再根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
本题考查了作图−旋转变换，作图−平移变换，平移变换的性质与旋转变换的性质，熟练掌握平移变换的性质与旋转变换的性质是解题的关键．
23.【答案】解：(1)∵点A(1,0)，B(3,0)在抛物线y=ax2+bx−3上，
∴a+b−3=09a+3b−3=0，
解得a=−1b=4，
∴抛物线的解析式为y=−x2+4x−3．
(2)∵A(1,0)，B(3,0)，
∴AB=2．
又∵S△PAB=12AB⋅|yP|=8，
∴|yP|=8，即yP=±8．
①令−x2+4x−3=8，该方程无解，不符合题意；
②令−x2+4x−3=−8，解得x1=−1，x2=5．
∴P(−1,−8)或P(5,−8)．
【解析】(1)将点A，B的坐标分别代入y=ax2+bx−3，求出a，b；
(2)以AB为底，求出△PAB的高，即点P的纵坐标的绝对值，进而将P的纵坐标代入抛物线的表达式，求解其横坐标．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与三角形面积的综合，熟练掌握相关知识是解题的关键．
24.【答案】解：(1)100÷20%=500(人)，
即本次调查中，共调查了500人；
(2)选择B的有：500×30%=150(人)，
补全的图(2)如右图所示；
(3)1000×10%=100(人)，
即估计该学校学生利用“天天跳绳”APP锻炼身体的使用频率是“一周2次”的约有100人．
【解析】(1)根据选项C的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查中，共调查了多少人；
(2)根据(1)中的结果和B所占的百分比，可以计算出选择B的人数，然后即可将图(2)补充完整；
(3)根据扇形统计图中D所占的百分比，可以计算出该学校学生利用“天天跳绳”APP锻炼身体的使用频率是“一周2次”的约有多少人．
本题考查扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
25.【答案】100 60
【解析】解：(1)由图象可得，
甲车的速度为：500÷5=100(km/h)，
乙车出发时速度是：300÷5=60(km/h)，
故答案为：100，60；
(2)乙车返回过程中，设乙车离A市的距离y(km)与乙车所用时间x(h)的函数解析式是y=kx+b，
∵点(9,300)，(12,0)在该函数图象上，
∴9k+b=30012k+b=0，
解得k=−100b=1200，
即乙车返回过程中，乙车离A市的距离y(km)与乙车所用时间x(h)的函数解析式是y=−100x+1200；
(3)设乙车出发m小时，两车之间的距离是120km，
当0
解得m=3；
当5.5
解得m=6.3；
当9
100(m−8)+100(m−9)=120，
解得m=9.1；
答：乙车出发3小时或6.3小时或9.1小时，两车之间的距离是120km．
(1)根据函数图象中的数据，可以计算出甲车速度和乙车出发时速度；
(2)根据函数图象中的数据，可以计算出乙车返回过程中，乙车离A市的距离y(km)与乙车所用时间x(h)的函数解析式；
(3)根据题意可知存在三种情况，然后分别计算即可．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用数形结合的思想解答．
26.【答案】(1)证明：过点P作FP⊥AB，交BC于点F，
∴∠BPF=90°，
由旋转得：PC=PD，∠DPC=90°，
∴∠DPC=∠BPF=90°，
∴∠DPC−∠DPF=∠BPF−∠DPF，
∴∠FPC=∠BPD，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠PFB=90°−∠ABC=45°，
∴∠ABC=∠PFB=45°，
∴BP=PF，
∴△FPC≌△BPD(SAS)，
∴BD=FC，
在Rt△BPF中，BP=PF，
∴BF= 2BP，
∵BC−CF=BF，
∴BC−BD= 2BP；
(2)解：当点P在BA的延长线上时，BC+BD= 2BP，
理由：如图：过点P作FP⊥BP，交BC的延长线于点F，
∴∠BPF=90°，
由旋转得：PC=PD，∠DPC=90°，
∴∠DPC=∠BPF=90°，
∴∠DPC−∠BPC=∠BPF−∠BPC，
∴∠FPC=∠BPD，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠PFB=90°−∠ABC=45°，
∴∠ABC=∠PFB=45°，
∴BP=PF，
∴△FPC≌△BPD(SAS)，
∴BD=FC，
在Rt△BPF中，BP=PF，
∴BF= 2BP，
∵BC+CF=BF，
∴BC+BD= 2BP；
当点P在AB的延长线上时，BD−BC= 2BP，
理由：如图：过点P作FP⊥BP，交CB的延长线于点F，
∴∠BPF=90°，
由旋转得：PC=PD，∠DPC=90°，
∴∠DPC=∠BPF=90°，
∴∠DPC+∠BPC=∠BPF+∠BPC，
∴∠FPC=∠BPD，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ABC=∠PBF=45°，
∴∠PFB=90°−∠PBF=45°，
∴∠PBF=∠PFB=45°，
∴BP=PF，
∴△FPC≌△BPD(SAS)，
∴BD=FC，
在Rt△BPF中，BP=PF，
∴BF= 2BP，
∵CF−BC=BF，
∴BD−BC= 2BP．
【解析】(1)过点P作FP⊥AB，交BC于点F，根据垂直定义可得∠BPF=90°，再根据旋转的性质可得：PC=PD，∠DPC=90°，从而利用等式的性质可得∠FPC=∠BPD，然后利用等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=45°，从而可得∠ABC=∠PFB=45°，进而可得BP=PF，最后利用SAS可证△FPC≌△BPD，从而可得BD=FC，再在Rt△BPF中，利用等腰直角三角形的性质可得BF= 2BP，再根据线段的和差关系以及等量代换可得BC−BD= 2BP，即可解答；
(2)当点P在BA的延长线上时，过点P作FP⊥BP，交BC的延长线于点F，利用(1)的解题思路进行推理论证，即可解答；当点P在AB的延长线上时，过点P作FP⊥BP，交CB的延长线于点F，利用(1)的解题思路进行推理论证，即可解答．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
27.【答案】解：(1)设A商品的单价为x元，B商品的单价为y元，
依题意，得：60x+30y=108050x+20y=880，
解得：x=16y=4．
答：A商品的单价为16元，B商品的单价为4元．
(2)设购买A商品n件，则购买B商品(30−n)件，
依题意，得：30−n≤2n16n+4(30−n)≤276，
解得：10≤n≤13，
又∵n为正整数，
∴n可以取10，11，12，13，
∴该商店有4种购买方案．
(3)设购买的总费用为w元，则w=(16−a)m+(4+3a)(30−m)=(12−4a)m+120+90a．
当0
当3
答：a的值为2．
【解析】(1)设A商品的单价为x元，B商品的单价为y元，根据“购买60件A商品和30件B商品共用了1080元，购买50件A商品和20件B商品共用了880元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设购买A商品n件，则购买B商品(30−n)件，根据“购买B商品的数量不高于A商品数量的2倍，且该商店购买的A、B两种商品的总费用不超过276元”，即可得出关于n的一元一次不等式组，解之即可得出n的取值范围，再结合n为正整数即可得出结论；
(3)设购买的总费用为w元，根据总价=单价×数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质结合购买这两种商品所需的最少费用为340元，即可求出a值．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；(3)利用一次函数的性质，找出关于a的方程．
28.【答案】解：(1)解方程2x2−3x+1=0，
可得：x1=1，x2=12，
∵OA、OB(OA
∴A(12,0)，B(0,−1)，
∵BC关于原点对称，
∴设AB：y=kx+b(k≠0)过A(12,0)、B(0,−1)，
∴12k+b=0b=−1，
解得：k=2b=−1，
∴AB：y=2x−1；
(2)由(1)知C(0,1)，
∴过点C作直线AB：y=2x−1；的垂线交AB于点D，交x轴于点P．
∴直线CD为：y=−12x+1，
令y=0，则0=−12x+1，
解得：x=2，
∴P(2,0)，
联立得方程组：y=2x−1y=−12x+1,
解得：x=45y=35，
∴D(45,35)，
∵Q的坐标为(x,0)，
∴PQ=2−x，
∴S△DPQ=12×QP×yD=12×2−x×35，
即S=−310x+35(x<2)310x−35(x>2)；
(3)存在；
分3种情况：①BE、CF为对角线，四边形CBFE为矩形时：
∵E在直线AB：y=2x−l上设E(x,2x−1)，
过C(0,1)作CE⊥y轴交直线AB于E点，
∴2x−1=1，解得x=1，
此时y=2x−1=1，
∴E(1,1)，
再过B点作y轴的垂线，过E作CE的垂线，两线交于F，
∵B(0,−1)，
∴F(1,−1)；
②BC、EF为对角线，四边形CFBE是矩形时：
∵CD⊥AB，
∴D、E重合，
∵D(45,35)，
∴E(45,35)，
∵C、B点关于原点成中心对称，
∴EF也应该关于原点成中心对称，
∴F(−45,−35)，
③当∠CBE=90°，此时B、E重合，C、E、B、F无法构成矩形，
综上所述：F(1,−1)或(−45,−35).
【解析】(1)解方程2x2−3x+1=0确定A、B坐标，用待定系数法求直线AB的解析式即可；
(2)两直线互相垂直，比例系数乘积为−1，根据CD⊥AB可得CD的解析式，进而联立解方程组求得D点和P点坐标，由Q点坐标表示出三角形PDQ的面积表达式，再根据Q在P点的左侧或右侧确定x的取值范围即可；
(3)根据矩形判定定理，分三种情况求F点坐标即可．
本题考查了一元二次方程的解法，待定系数法求一次函数的解析式，以及解二元一次方程组的知识，矩形的判定和性质，也体现了数形结合的思想，理解题意是解决问题的关键．
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