2022-2023学年广西贺州市八步区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年广西贺州市八步区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  一个多边形的内角和是，则这个多边形的边数为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列二次根式中，属于最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知，，用含，的代数式表示，这个代数式是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  一组数据，，，，，的众数是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知方程是关于的一元二次方程，则的值(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，在四边形中，对角线、相交于点，若添加两个条件使它成为平行四边形，则这两个条件是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

7.  用，，作为三角形的三边，其中能构成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

8.  关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知直角三角形两边，满足，则第三边长为(    )

A. 或 B.  C. 或 D. 或

10.  有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有人患病，则每轮传染中平均一个人传染的人数是人．(    )

A.  B.  C.  D.

11.  如图，在菱形中，对角线、相交于点，，，则菱形的面积是(    )

A.
B.
C.
D.

12.  如图，在正方形中，对角线与相交于点，、分别为、上一点，，，则的长度是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共12.0分）

13.  若在实数范围内有意义，则的取值范围为______ ．

14.  某样本容量是，分组后第组的频率是，那么第组的频数是______ ．

15.  已知，菱形的对角线，的长分别为、，则这个菱形的周长为______．

16.  已知是方程的一个实数根，求的值为______ ．

17.  如图，在中，，分别为，的中点，是的中点，，若，则的长为______ ．

18.  如图在边长为的正方形中，点是对角线上的一动点，于，于，则的最小值为______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

19.  解方程：．

四、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20.  本小题分
计算：．

21.  本小题分
勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷．
应用场景在数轴上画出表示无理数的点如图，在数轴上找出表示的点，过点作直线垂直于，在上取点，使，以原点为圆心，为半径作弧，则弧与数轴负半轴的交点表示的数是______ ；
应用场景解决实际问题如图，有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽尺，求竹竿长．

22.  本小题分
如图，已知，平分，于点．
实践与操作：作的垂直平分线交于点；要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法
连接，若的长为，求的长．

23.  本小题分
综合与实践
【问题情景】为了落实“双减”政策，提倡课内高效学习，课外时间归还学生．
八年级某班为了激发学生学习热情，培养小组合作学习习惯，采用分组学习方案，个人分为一小组．
【实践发现】经过一个学期的学习，该班其中两个学习小组的期考成绩如下表所示：单位：分．

【实践探究】分析数据如下：

【问题解决】
上述表格中， ______ ， ______ ， ______ ；
请你根据两个小组的期考分数，分析哪个小组的成绩更稳定．

24.  本小题分
如图，菱形对角线交于点，，．
求证：四边形是矩形；
若，，求菱形的面积．

25.  本小题分
一商店销售某种商品，平均每天可售出件，每件盈利元．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施．在每件盈利不少于元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低元，平均每天可多售出件．
若降价元，则平均每天销售数量为______件；
当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为元？

26.  本小题分
如图，已知正方形，点、分别是边、的中点，连接、相交于点，连接并延长交于，解决下列问题：
求证：；
如果点、分别是、的中点，连接，若，求的长度．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据边形的内角和公式，得
，
解得．
故这个多边形的边数为．
故选：．
边形的内角和是，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
B、，分母含根号，不是最简二次根式；
C、是最简二次根式；
D、，被开方数含分母，不是最简二次根式；
故选：．
根据最简二次根式的概念判断即可．
本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
 

3.【答案】 

【解析】解：，；
．
故选：．
通过观察发现正好是和的积，因此．
主要考查了二次根式的乘法运算．乘法法则．
 

4.【答案】 

【解析】解：这组数据中出现的次数最多，出现了次，所以众数为．
故选：．
一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，依此求解即可．
本题考查了众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
 

5.【答案】 

【解析】解：方程是关于的一元二次方程，
．
故选：．
根据一元二次方程的定义得到．
本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是，像这样的方程叫做一元二次方程．
 

6.【答案】 

【解析】解：在四边形中，，，
四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故选项D符合题意；
，，不符合题意．
故选：．
根据有一组边平行且相等的四边形是平行四边形来判定四边形是平行四边形．
此题主要考查学生对平行四边形的判定方法的理解能力，常用的平行四边形的判定方法有：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．两组对边分别相等的四边形是平行四边形．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．两组对角分别相等的四边形是平行四边形．对角线互相平分的四边形是平行四边形．
 

7.【答案】 

【解析】解：、，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形，不符合题意；
B、，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，符合题意；
C、，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形，不符合题意；
D、，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形，不符合题意．
故选：．
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，就是直角三角形，没有这种关系，就不是直角三角形．
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
 

8.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有两个实数根，
，
，即，
故选：．
根据一元二次方程有两个实数根得到，即，求出的取值范围即可．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，，
，，
，，
当两直角边是，时，三角形是直角三角形，则斜边的长为：，
当为一直角边，为斜边时，则第三边是直角，长是．
第三边长为或．
故选：．
任何数的绝对值，以及算术平方根一定是非负数，已知中两个非负数的和是，则两个一定同时是；另外已知直角三角形两边、的长，具体是两条直角边或是一条直角边一条斜边，应分类讨论．
本题考查了勾股定理及非负数的性质，在解答此题时要注意进行分类讨论．
 

10.【答案】 

【解析】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人，
依题意得，
即，
解方程得，舍去，
故选：．
患流行性感冒的人传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了个人，则第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，依题意列方程：，解方程即可求解．
本题考查了一元二次方程的应用，本题要注意的是，患流行性感冒的人把病毒传染给别人，自己仍然是患者，人数应该累加，这个问题和细胞分裂是不同的．
 

11.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
，，
菱形的面积，
故选：．
根据菱形的性质得到，，根据勾股定理得到，根据菱形的面积公式即可得到结论．
本题考查了菱形的性质，勾股定理，菱形面积的计算；熟练掌握菱形的性质，运用勾股定理求出是解决问题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：四边形为正方形，
，，，
在中，，
由勾股定理得：，
在和中，
，
≌，
，
．
故选：．
先由正方形得，，，进而可在中由勾股定理求出，然后证和全等得，据此即可求出的长．
此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握全等三角形的判定和性质，理解正方形的性质，灵活运用勾股定理进行计算是解答此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：要使二次根式有意义，必须，
解得：．
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件得出，再求出答案即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，能熟记中是解此题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：依题意，第组的频数是，
故答案为：．
根据频数等于频率乘以样本的容量即可求解．
本题考查了求频数，熟练掌握频数与频率的关系是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】本题考查了菱形周长的计算以及勾股定理运用，根据菱形对角线相互垂直且平分的性质，应用勾股定理得出一边的长，再乘以即可得到菱形周长．
解：由菱形对角线性质知，，，且，

则，
故可得周长；
故答案为：．
 

16.【答案】 

【解析】解：由题意得：，即，
；
故答案为：．
由题意易得，然后整体代入求解即可．
本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：，分别为，的中点，
是的中位线，
，，
，
，
∽，
又是的中点，是的中点，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
首先利用三角形中位线定理推出平行且等于，再根据“”字模型证明三角形相似，进而得到，然后利用，求出的长，进而求解．
本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形中位线定理，解题关键是根据相似三角形的性质求出与的数量关系．
 

18.【答案】 

【解析】解：连接，如图所示：

四边形是正方形，
，，
于，于，
四边形为矩形，
，
当时，取得最小值，
此时是等腰直角三角形，
，
的最小值为；
故答案为：．
连接，证出四边形为矩形，由矩形的性质得出，当时，取得最小值，此时是等腰直角三角形，得出，即可得出结果．
本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质以及最小值问题；熟练掌握矩形的对角线相等是解决问题的关键．
 

19.【答案】解：将原方程左边分解因式，得
，
 或，
 ，． 

【解析】

【分析】
先将原方程左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出两个一元一次方程的解即可．
【点评】
本题考查了解一元二次方程因式分解法，把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．  

20.【答案】解：原式


．
方法二原式


． 

【解析】先化成最简二次根式，利用平方差公式计算即可，或直接去括号，再化简合并计算．
本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则．
 

21.【答案】 

【解析】解：由题意，，，，
在中，，
，
点表示的数为，
故答案为：；
竹竿长尺，由题意，竹竿，门高尺，门宽尺，
在中，，
，
，
解得，
答：竹竿长尺．
根据勾股定理求得，根据实数与数轴关系解答；
竹竿长尺，则门高尺，利用勾股定理列方程求解即可．
本题考查勾股定理的应用、实数与数轴，理解题意，熟练掌握勾股定理是解答的关键．
 

22.【答案】解：如图，点为所作；

平分，
，
，
，
，
点为的垂直平分线与的交点，
，
，
，
在中，，
在中，． 

【解析】利用基本作图，作的垂直平分线即可；
先计算出，再根据线段垂直平分线的性质得到，则，所以，然后根据含度角的直角三角形三边的关系求解．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质．
 

23.【答案】     

【解析】解：，，，
故答案为：；：．
，，
，
第二小组的成绩更稳定．
根据中位数，众数，平均数的定义即可求解；
分别根据方差公式求得两个小组的成绩的方差，进而即可求解．
本题考查了求众数，中位数，平均数，方差及其意义，熟练掌握以上知识是解题的关键．
 

24.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形．
又四边形是菱形，
，
．
四边形是矩形．
解：四边形是矩形，
，，
四边形是菱形，
，，
菱形的面积． 

【解析】先证四边形是平行四边形，然后根据菱形的对角线互相垂直，得到，根据矩形的定义即可判定四边形是矩形；
根据菱形的性质和面积解答即可．
本题考查的是矩形的判定与性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键，注意：菱形的对角线互相平分且垂直．
 

25.【答案】；
设每件商品降价元，则平均每天可售出件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，．
又每件盈利不少于元，
，即，
不合题意舍去，
．
答：当每件商品降价元时，该商店每天销售利润为元． 

【解析】

解：件．
故答案为：．
见答案．
【分析】
由销售单价每降低元平均每天可多售出件，结合没降价前的日均销售量，即可求出结论；
设每件商品降价元，则平均每天可售出件，根据总利润每件商品的利润日均销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可求出的值，再结合每件盈利不少于元，即可确定的值，此题得解．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．  

26.【答案】证明：如图，四边形是正方形，
，，
点、分别是边、的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
又，
，
，
；
解：连接，如图，

四边形是正方形，，
，，，
点、分别是边、的中点，
，
，
．
是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
又点是的中点，
是的中位线，
． 

【解析】根据正方形的性质得出，，证明≌，得出，再证明即可；
连接，先根据正方形的性质得出，，，再证明，推出≌，得出，，再根据勾股定理得出，再得出是 的中位线，进而得出答案．
本题考查正方形的性质，三角形的中位线，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确理解题意是解题的关键．