三年（2021-2023）高考数学真题专项18坐标系与参数方程、不等式选讲含答案

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  专题18 坐标系与参数方程、不等式选讲知识点目录知识点1：不等式选讲之面积问题知识点2：不等式选讲之证明不等式、范围问题知识点3：直角坐标方程与极坐标方程互化知识点4：的几何意义近三年高考真题知识点1：不等式选讲之面积问题1．（2023•甲卷（文））设，函数．（1）求不等式的解集；（2）若曲线与轴所围成的图形的面积为2，求．【解析】（1），当时，，当时，，则当时，由得，，此时，当时，由得，，此时，综上，即不等式的解集为，．（2）作出的图象如图：则，，，，，则，则的高，则，得，即．2．（2023•乙卷（文））已知．（1）求不等式的解集；（2）在直角坐标系中，求不等式组所确定的平面区域的面积．【解析】（1）当时，，当时，，当时，，则当时，由得，得，即，此时．当时，由得，得，即，此时．当时，由得，得，即，此时．综上，即不等式的解集为，．（2）不等式组等价为，作出不等式组对应的平面区域如图：则，，由，得，即，由，得，即，则阴影部分的面积．3．（2023•甲卷（理））已知，．（1）解不等式；（2）若曲线与轴所围成的面积为2，求．【解析】（1），，可化为：，，，，又，，原不等式的解集为，，其中；（2），，的对称轴为，且最低点的坐标为令，可得的两零点分别为和，函数图象大致如下：曲线与轴所围成的面积为，解得． 知识点2：不等式选讲之证明不等式、范围问题4．（2022•乙卷（文））已知，，都是正数，且，证明：（1）；（2）．【解析】（1）证明：，，都是正数，，当且仅当时，等号成立．因为，所以，所以，所以，得证．（2）根据基本不等式，，，，当且仅当时等号成立，故得证．5．（2022•甲卷（文））已知，，均为正数，且，证明：（1）；（2）若，则．【解析】证明：（1），，均为正数，且，由柯西不等式知，，即，；当且仅当，即，时取等号；（2）法一、由（1）知，且，故，则，由权方和不等式可知，，当且仅当，即，时取等号，故．法二、由（1）知，，当且仅当等号成立，，当且仅当等号成立，故．6．（2021•乙卷（文））已知函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围．【解析】（1）当时，，，或或，或，不等式的解集为，，．（2），若，则，当时，不等式恒成立；当时，，不等式两边平方可得，解得，综上可得，的取值范围是，．知识点3：直角坐标方程与极坐标方程互化7．（2021•乙卷（文））在直角坐标系中，的圆心为，半径为1．（1）写出的一个参数方程；（2）过点作的两条切线．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．【解析】（1）的圆心为，半径为1，则的标准方程为，的一个参数方程为为参数）．（2）由题意可知两条切线方程斜率存在，设切线方程为，即，圆心到切线的距离，解得，所以切线方程为，因为，，所以这两条切线的极坐标方程为．8．（2022•甲卷（文））在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），曲线的参数方程为为参数）．（1）写出的普通方程；（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，求与交点的直角坐标，及与交点的直角坐标．【解析】（1）由为参数），消去参数，可得的普通方程为；（2）由为参数），消去参数，可得的普通方程为．由，得，则曲线的直角坐标方程为．联立，解得或，与交点的直角坐标为，与；联立，解得或，与交点的直角坐标为，与．9．（2022•乙卷（文））在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为．（1）写出的直角坐标方程；（2）若与有公共点，求的取值范围．【解析】（1）由，得，，又，，，即的直角坐标方程为；（2）由曲线的参数方程为为参数）．消去参数，可得，联立，得．，令，可得，当时，，，，的取值范围是，．10．（2023•乙卷（文））在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线为参数，．（1）写出的直角坐标方程；（2）若直线既与没有公共点，也与没有公共点、求的取值范围．【解析】（1）曲线的极坐标方程为，根据转换为直角坐标方程为，因为，，，，，，所以的直角坐标方程为，，，，；（2）由于曲线的方程为，，曲线为参数，，转换为直角坐标方程为，；如图所示：由于与圆相交于点，即，当时，直线与曲线没有公共点；当曲线与直线相切时，圆心到直线的距离，解得（负值舍去），由于直线与曲线没有公共点，所以，故直线既与没有公共点，也与没有公共点、实数的取值范围为．知识点4：的几何意义11．（2023•甲卷（理））已知，直线为参数），为的倾斜角，与轴，轴正半轴交于，两点，．（1）求的值；（2）以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程．【解析】（1）已知，直线为参数），与轴，轴正半轴交于，两点，．令，解得，令，解得，由于，所以，故，解得，故或，解得或，由于与轴，轴正半轴，所以直线的倾斜角，，故．（2）由（1）可知，斜率为，且过，所以直线方程为，即，因为，，所以直线极坐标方程为．12．（2023•甲卷（文））已知点，直线为参数），为的倾斜角，与轴正半轴、轴正半轴分别交于，，且．（1）求；（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程．【解析】（1）直线为参数）化为普通方程为，令，得，令，得，所以，，所以，整理得，因为与轴正半轴、轴正半轴分别交于，，所以，所以，故；（2）由（1）得，即，因为，，所以极坐标方程为，即．