2022年中考数学真题考点分类专练专题32三角形压轴综合问题（含解析）

这是一份2022年中考数学真题考点分类专练专题32三角形压轴综合问题（含解析），共85页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用）
专题32三角形压轴综合问题
一、解答题
1．（·青海·中考真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.
(1)问题发现：
如图1，若和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：；

       图1
(2)解决问题：如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，CM为中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由.

       图2
【答案】(1)见详解
(2)；
【详解】
【分析】
（1）先判断出∠BAD=∠CAE，进而利用SAS判断出△BAD≌△CAE，即可得出结论；
（2）同（1）的方法判断出△BAD≌△CAE，得出AD=BE，∠ADC=∠BEC，最后用角的差，即可得出结论．
(1)
证明：∵和是顶角相等的等腰三角形，
∴，，，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
(2)
解：，，
理由如下：由（1）的方法得，，
∴，，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴．
∴．
【点睛】
此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形，等边三角形，等腰直角三角形的性质，判断出△ACD≌△BCE是解本题的关键．
2．（·辽宁大连·中考真题）综合与实践
问题情境：
数学活动课上，王老师出示了一个问题：如图1，在中，D是上一点，．求证．
独立思考：
（1）请解答王老师提出的问题．
实践探究：
（2）在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答．“如图2，延长至点E，使，与的延长线相交于点F，点G，H分别在上，，．在图中找出与相等的线段，并证明．”
问题解决：
（3）数学活动小组河学时上述问题进行特殊化研究之后发现，当时，若给出中任意两边长，则图3中所有已经用字母标记的线段长均可求，该小组提出下面的问题，请你解答．“如图3，在（2）的条件下，若，，，求的长．”

【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解；（3）
【详解】
【分析】
（1）利用三角形的内角和定理可得答案；
（2）如图，在BC上截取 证明 再证明 证明 可得 从而可得结论；
（3）如图，在BC上截取 同理可得： 利用勾股定理先求解 证明 可得 可得 证明 可得 而 可得 再利用勾股定理求解BE，即可得到答案．
【详解】
证明：（1）
而

（2） 理由如下：
如图，在BC上截取




，

∵
∴
∴
∵
∴


（3）如图，在BC上截取
同理可得：












而



而


【点睛】
本题考查的是三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，作出适当的辅助线构建全等三角形是解本题的关键．
3．（·山东青岛·中考真题）【图形定义】
有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形．
例如：如图①．在和中，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形．


【性质探究】
如图①，用，分别表示和的面积．
则，
∵
∴．
【性质应用】
(1)如图②，D是的边上的一点．若，则__________；
(2)如图③，在中，D，E分别是和边上的点．若，，，则__________，_________；
(3)如图③，在中，D，E分别是和边上的点，若，，，则__________．
【答案】(1)
(2)；
(3)
【详解】
【分析】
（1）由图可知和是等高三角形，然后根据等高三角形的性质即可得到答案；
（2）根据，和等高三角形的性质可求得，然后根据和等高三角形的性质可求得；
（3）根据，和等高三角形的性质可求得，然后根据，和等高三角形的性质可求得．
(1)
解：如图，过点A作AE⊥BC，


则，
∵AE=AE，
∴．
(2)
解：∵和是等高三角形，
∴，
∴；
∵和是等高三角形，
∴，
∴．
(3)
解：∵和是等高三角形，
∴，
∴；
∵和是等高三角形，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查了等高三角形的定义、性质以及应用性质解题，熟练掌握等高三角形的性质并能灵活运用是解题的关键．
4．（·山东烟台·中考真题）
(1)【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
(2)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出的值．
(3)【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．连接BD，CE．
①求的值；
②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．
【答案】(1)见详解
(2)
(3)①；②
【详解】
【分析】
（1）证明△BAD≌△CAE，从而得出结论；
（2）证明△BAD∽△CAE，进而得出结果；
（3）①先证明△ABC∽△ADE，再证得△CAE∽△BAD，进而得出结果；
②在①的基础上得出∠ACE＝∠ABD，进而∠BFC＝∠BAC，进一步得出结果．
(1)
证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE；
(2)
解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
，∠DAE＝∠BAC＝45°，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD∽△CAE，
；
(3)
解：①，∠ABC＝∠ADE＝90°，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，，
∴∠CAE＝∠BAD，
∴△CAE∽△BAD，
；
②由①得：△CAE∽△BAD，
∴∠ACE＝∠ABD，
∵∠AGC＝∠BGF，
∴∠BFC＝∠BAC，
∴sin∠BFC．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形．
5．（·广西·中考真题）已知，点A，B分别在射线上运动，．

(1)如图①，若，取AB中点D，点A，B运动时，点D也随之运动，点A，B，D的对应点分别为，连接．判断OD与有什么数量关系?证明你的结论：
(2)如图②，若，以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，求点O与点C的最大距离：
(3)如图③，若，当点A，B运动到什么位置时，的面积最大?请说明理由，并求出面积的最大值．
【答案】(1)，证明见详解
(2)
(3)当时，的面积最大；理由见详解，面积的最大值为
【详解】
【分析】
（1）根据“直角三角形斜边中线等于斜边一半”可得OD=AB，OD′=A′B′，进而得出结论；
（2）作△AOB的外接圆I，连接CI并延长，分别交⊙I于O′和D，当O运动到O′时，OC最大，求出CD和等边三角形AO′B上的高O′D，进而求得结果；
（3）作等腰直角三角形AIB，以I为圆心，AI为半径作⊙I，取AB的中点C，连接CI并延长交⊙I于O，此时△AOB的面积最大，进一步求得结果．
（3）以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，连接OC交AB于点T，在OT上取点E，使OE=BE，连接BE，由（2）可知，当时，OC最大，当时，此时OT最大，即的面积最大，由勾股定理等进行求解即可．
(1)
解：，证明如下：
，AB中点为D，
，
为的中点，，
，
，
；
(2)
解：如图1，

作△AOB的外接圆I，连接CI并延长，分别交⊙I于O′和D，
当O运动到O′时，OC最大，
此时△AOB是等边三角形，
∴BO′=AB=6，
OC最大=CO′=CD+DO′=AB+BO′=3+3；
(3)
解：如图2，作等腰直角三角形AIB，以I为圆心，AI为半径作⊙I，

∴AI=AB=3，∠AOB=∠AIB＝45°，
则点O在⊙I上，取AB的中点C，连接CI并延长交⊙I于O，
此时△AOB的面积最大，
∵OC=CI+OI=AB+3=3+3，
∴S△AOB最大=×6×(3+3)=9+9．
【点睛】
本题考查了直角三角形性质，等腰三角形性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是熟练掌握“定弦对定角”的模型．
6．（·山东潍坊·中考真题）【情境再现】
甲、乙两个含角的直角三角尺如图①放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处，将甲绕点O顺时针旋转一个锐角到图②位置．小莹用作图软件Geogebra按图②作出示意图，并连接，如图③所示，交于E，交于F，通过证明，可得．
请你证明：．

【迁移应用】
延长分别交所在直线于点P，D，如图④，猜想并证明与的位置关系．
【拓展延伸】
小亮将图②中的甲、乙换成含角的直角三角尺如图⑤，按图⑤作出示意图，并连接，如图⑥所示，其他条件不变，请你猜想并证明与的数量关系．
【答案】证明见详解；垂直；
【详解】
【分析】
证明，即可得出结论；通过，可以求出，得出结论；证明，得出，得出结论；
【详解】
证明： ，
，
，
，
，
，
；
迁移应用：，
证明： ，
，
，
，
，
，
，
；
拓展延伸：，
证明：在中，，
在中，，
，
由上一问题可知，，
，
，
．
【点睛】
本题考查旋转变换，涉及知识点：全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质、锐角三角函数、等角的余角相等，解题关键结合图形灵活应用相关的判定与性质．
7．（·辽宁锦州·中考真题）在中，，点D在线段上，连接并延长至点E，使，过点E作，交直线于点F．

(1)如图1，若，请用等式表示与的数量关系：____________．
(2)如图2．若，完成以下问题：
①当点D，点F位于点A的异侧时，请用等式表示之间的数量关系，并说明理由；
②当点D，点F位于点A的同侧时，若，请直接写出的长．
【答案】(1)
(2)①；②或；
【详解】
【分析】
（1）过点C作CG⊥AB于G，先证明△EDF≌△CDG，得到，然后等腰三角形的性质和含30度直角三角形的性质，即可求出答案；
（2）①过点C作CH⊥AB于H，与（1）同理，证明△EDF≌△CDH，然后证明是等腰直角三角形，即可得到结论；
②过点C作CG⊥AB于G，与（1）同理，得△EDF≌△CDG，然后得到是等腰直角三角形，利用勾股定理解直角三角形，即可求出答案．
(1)
解：过点C作CG⊥AB于G，如图，

∵，
∴，
∵，，
∴△EDF≌△CDG，
∴；
∵在中，，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
(2)
解：①过点C作CH⊥AB于H，如图，

与（1）同理，可证△EDF≌△CDH，
∴，
∴，
在中，，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
②如图，过点C作CG⊥AB于G，

与（1）同理可证，△EDF≌△CDG，
∴，
∵，
当点F在点A、D之间时，有
∴，
与①同理，可证是等腰直角三角形，
∴；
当点D在点A、F之间时，如图：

∴，
与①同理，可证是等腰直角三角形，
∴；
综合上述，线段的长为或．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，正确得到三角形全等．
8．（·北京·中考真题）在中，，D为内一点，连接，，延长到点，使得

(1)如图1，延长到点，使得，连接，，若，求证：；
(2)连接，交的延长线于点，连接，依题意补全图2，若，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
【答案】(1)见详解
(2)；证明见详解
【详解】
【分析】
（1）先利用已知条件证明，得出，推出，再由即可证明；
（2）延长BC到点M，使CM＝CB，连接EM，AM，先证，推出，通过等量代换得到，利用平行线的性质得出，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得到．
(1)
证明：在和中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵，
∴．
(2)
解：补全后的图形如图所示，，证明如下：

延长BC到点M，使CM＝CB，连接EM，AM，
∵，CM＝CB，
∴ 垂直平分BM，
∴，
在和中，
，
∴ ，
∴ ，，
∵，
∴ ，
∴ ，
∵，
∴ ，
∴ ，即，
∵，
∴ ，
∴ ．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，平行线的判定与性质，勾股定理的逆用，直角三角形斜边中线的性质等，第二问有一定难度，正确作辅助线，证明是解题的关键．
9．（·福建·中考真题）已知，AB＝AC，AB＞BC．


(1)如图1，CB平分∠ACD，求证：四边形ABDC是菱形；
(2)如图2，将（1）中的△CDE绕点C逆时针旋转（旋转角小于∠BAC），BC，DE的延长线相交于点F，用等式表示∠ACE与∠EFC之间的数量关系，并证明；
(3)如图3，将（1）中的△CDE绕点C顺时针旋转（旋转角小于∠ABC），若，求∠ADB的度数．
【答案】(1)见详解
(2)，见详解
(3)30°
【详解】
【分析】
（1）先证明四边形ABDC是平行四边形，再根据AB＝AC得出结论；（2）先证出，再根据三角形内角和，得到，等量代换即可得到结论；（3）在AD上取一点M，使得AM＝CB，连接BM，证得，得到，设，，则，得到α+β的关系即可．
(1)
∵，
∴AC＝DC，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，AB＝DC，
∵CB平分∠ACD，
∴，
∴，
∴，
∴四边形ABDC是平行四边形，
又∵AB＝AC，
∴四边形ABDC是菱形；
(2)
结论：．
证明：∵，
∴，
∵AB＝AC，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
(3)
在AD上取一点M，使得AM＝CB，连接BM，


∵AB＝CD，，
∴，
∴BM＝BD，，
∴，
∵，
∴，
设，，则，
∵CA＝CD，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，   
∴，
∴，即∠ADB＝30°．
【点睛】
本题考查了菱形的判定定理、全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理等，灵活运用知识，利用数形结合思想，做出辅助线是解题的关键．
10．（·山东威海·中考真题）回顾：用数学的思维思考

(1)如图1，在△ABC中，AB＝AC．
①BD，CE是△ABC的角平分线．求证：BD＝CE．
②点D，E分别是边AC，AB的中点，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
（从①②两题中选择一题加以证明）
(2)猜想：用数学的眼光观察
经过做题反思，小明同学认为：在△ABC中，AB＝AC，D为边AC上一动点（不与点A，C重合）．对于点D在边AC上的任意位置，在另一边AB上总能找到一个与其对应的点E，使得BD＝CE．进而提出问题：若点D，E分别运动到边AC，AB的延长线上，BD与CE还相等吗？请解决下面的问题：
如图2，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AC，AB的延长线上，请添加一个条件（不再添加新的字母），使得BD＝CE，并证明．
(3)探究：用数学的语言表达
如图3，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝36°，E为边AB上任意一点（不与点A，B重合），F为边AC延长线上一点．判断BF与CE能否相等．若能，求CF的取值范围；若不能，说明理由．
【答案】(1)见详解
(2)添加条件CD=BE，见详解
(3)能，0＜CF＜
【详解】
【分析】
（1）①利用ASA证明△ABD≌△ACE．
②利用SAS证明△ABD≌△ACE．
（2）添加条件CD=BE，证明AC+CD=AB+BE，从而利用SAS证明△ABD≌△ACE．
（3）在AC上取一点D，使得BD=CE，根据BF=CE，得到BD=BF，当BD=BF=BA时，可证△CBF∽△BAF，运用相似性质，求得CF的长即可．
(1)
①如图1，∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，

∵BD，CE是△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠ABC，∠ACE =∠ACB，
∴∠ABD=∠ACE，
∵AB=AC，∠A=∠A，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE．
②如图1，∵AB=AC，点D，E分别是边AC，AB的中点，
∴AE=AD，
∵AB=AC，∠A=∠A，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE．
(2)
添加条件CD=BE，证明如下：
∵AB=AC，CD=BE，

∴AC+CD=AB+BE，
∴AD=AE，
∵AB=AC，∠A=∠A，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE．
(3)
能
在AC上取一点D，使得BD=CE，根据BF=CE，得到BD=BF，

当BD=BF=BA时，E与A重合，
∵∠A＝36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=72°，∠A=∠BFA=36°，
∴∠ABF=∠BCF=108°，∠BFC=∠AFB，
∴△CBF∽△BAF，
∴，
∵AB＝AC＝2=BF， 设CF=x，
∴，
整理，得，
解得x=，x=（舍去），
故CF= x=，
∴0＜CF＜．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，一元二次方程的解法，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形全等的判定，三角形相似的判定性质是解题的关键．
11．（·贵州铜仁·中考真题）如图，在四边形中，对角线与相交于点O，记的面积为，的面积为．
（1）问题解决：如图①，若AB//CD，求证：
（2）探索推广：如图②，若与不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展应用：如图③，在上取一点E，使，过点E作交于点F，点H为的中点，交于点G，且，若，求值．

【答案】（1）见详解；（2）（1）中的结论成立，理由见详解：（3）
【详解】
【分析】
（1）如图所示，过点D作AE⊥AC于E，过点B作BF⊥AC于F，求出，然后根据三角形面积公式求解即可；
（2）同（1）求解即可；
（3）如图所示，过点A作交OB于M，取BM中点N，连接HN，先证明△OEF≌△OCD，得到OD=OF，证明△OEF∽△OAM，得到，设，则，证明△OGF∽△OHN，推出，，则，由（2）结论求解即可．
【详解】
解：（1）如图所示，过点D作AE⊥AC于E，过点B作BF⊥AC于F，
∴，
∴，
，
∵∠DOE=∠BOF，
∴；
∴；


（2）（1）中的结论成立，理由如下：
如图所示，过点D作AE⊥AC于E，过点B作BF⊥AC于F，
∴，
∴，
，
∵∠DOE=∠BOF，
∴；
∴；


（3）如图所示，过点A作交OB于M，取BM中点N，连接HN，
∵，
∴∠ODC=∠OFE，∠OCD=∠OEF，
又∵OE=OC，
∴△OEF≌△OCD（AAS），
∴OD=OF，
∵，
∴△OEF∽△OAM，
∴，
设，则，
∵H是AB的中点，N是BM的中点，
∴HN是△ABM的中位线，
∴，
∴△OGF∽△OHN，
∴，
∵OG=2GH，
∴，
∴，
∴，，
∴，
由（2）可知．


【点睛】
本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，正确作出辅助线是解题的关键．
12．（·湖北武汉·中考真题）已知是的角平分线，点E，F分别在边，上，，，与的面积之和为S．


(1)填空：当，，时，
①如图1，若，，则_____________，_____________；
②如图2，若，，则_____________，_____________；
(2)如图3，当时，探究S与m、n的数量关系，并说明理由：
(3)如图4，当，，，时，请直接写出S的大小．
【答案】(1)①，25；②4；
(2)S=
(3)S=
【详解】
【分析】
（1）①先证四边形DECF为正方形，再证△ABC为等腰直角三角形，根据CD平分∠ACB，得出CD⊥AB，且AD=BD=m,然后利用三角函数求出BF=BDcos45°=5，DF=BDsin45°=5，AE=ADcos45°=5即可；②先证四边形DECF为正方形，利用直角三角形两锐角互余求出∠A=90°-∠B=30°，利用30°直角三角形先证求出DE=，利用三角函数求出AE=ADcos30°=6，DF=DE=，BF=DFtan30°=2，BD=DF÷sin60°=4即可；
（2）过点D作DH⊥AC于H，DG⊥BC于G，在HC上截取HI=BG，连接DI，先证四边形DGCH为正方形，再证△DFG≌△DEH（ASA）与△DBG≌△DIH（SAS），然后证明∠IDA=180°-∠A-∠DIH=90°即可；
（3）过点D作DP⊥AC于P，DQ⊥BC于Q，在PC上截取PR=QB，连接DR，过点A作AS⊥DR于S，先证明△DQF≌△DPE，△DBQ≌△DRP，再证△DBF≌△DRE，求出∠ADR=∠ADE+∠BDF=180°-∠FDE=60°即可．
(1)
解：①∵，，，是的角平分线，
∴四边形DECF为矩形，DE=DF，
∴四边形DECF为正方形，
∵，
∴∠A=90°-∠B=45°=∠B，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∵CD平分∠ACB，
∴CD⊥AB，且AD=BD=m,
∵，
∴BD=n=，
∴BF=BDcos45°=5，DF=BDsin45°=5，AE=ADcos45°=5，ED=DF=5，
∴S= ；
故答案为，25；
②∵，，，是的角平分线，
∴四边形DECF为矩形，DE=DF，
∴四边形DECF为正方形，
∵，
∴∠A=90°-∠B=30°，
∴DE=，AE=ADcos30°=6，DF=DE=，
∵∠BDF=90°-∠B=30°，
∴BF=DFtan30°=2，
∴BD=DF÷sin60°=4，
∴BD=n=4，
∴S=，
故答案为：4；；
(2)
解：过点D作DH⊥AC于H，DG⊥BC于G，在HC上截取HI=BG，连接DI，
∴∠DHC=∠DGC=∠GCH=90°，
∴四边形DGCH为矩形，
∵是的角平分线，DH⊥AC，DG⊥BC，
∴DG=DH，
∴四边形DGCH为正方形，
∴∠GDH=90°，
∵，
∴∠FDG+∠GDE=∠GDE+∠EDH=90°，
∴∠FDG=∠EDH，
在△DFG和△DEH中，
，
∴△DFG≌△DEH（ASA）
∴FG=EH，
在△DBG和△DIH中，
，
∴△DBG≌△DIH（SAS），
∴∠B=∠DIH，DB=DI=n，
∵∠DIH+∠A=∠B+∠A=90°，
∴∠IDA=180°-∠A-∠DIH=90°，
∴S△ADI=，
∴S=；


(3)
过点D作DP⊥AC于P，DQ⊥BC于Q，在PC上截取PR=QB，连接DR，过点A作AS⊥DR于S，
∵是的角平分线，DP⊥AC，DQ⊥BC，
∴DP=DQ，
∵∠ACB=60°
∴∠QDP=120°，
∵，
∴∠FDQ+∠FDP=∠FDP+∠EDP=120°，
∴∠FDQ=∠EDP，


在△DFQ和△DEP中，
，
∴△DFQ≌△DEP（ASA）
∴DF=DE，∠QDF=∠PDE，
在△DBQ和△DRP中，
，
∴△DBQ≌△DRP（SAS），
∴∠BDQ=∠RDP，DB=DR，
∴∠BDF=∠BDQ+∠FDQ=∠RDP+∠EDP=∠RDE，
∵DB=DE，DB=DR，
∴△DBF≌△DRE，
∴∠ADR=∠ADE+∠BDF=180°-∠FDE=60°，
∴S=S△ADR=．
【点睛】
本题考查等腰直角三角形判定与性质，正方形判定与性质，三角形全等判定与性质，直角三角形判定，三角形面积，角平分线性质，解直角三角形，掌握等腰直角三角形判定与性质，正方形判定与性质，三角形全等判定与性质，直角三角形判定，三角形面积，角平分线性质，解直角三角形是解题关键．
13．（·黑龙江·中考真题）和都是等边三角形．

(1)将绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有（或）成立；请证明．
(2)将绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；
(3)将绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．
【答案】(1)证明见详解
(2)图②结论：，证明见详解
(3)图③结论：
【详解】
【分析】
（1）由△ABC是等边三角形，得AB=AC，再因为点P与点A重合，所以PB=AB，PC=AC，PA=0，即可得出结论；
（2）在BP上截取，连接AF，证明（SAS），得，再证明（SAS），得，，然后证明是等边三角形，得，即可得出结论；
（3）在CP上截取，连接AF，证明（SAS），得，再证明（SAS），得出，，然后证明是等边三角形，得，即可得出结论：．
(1)
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，
∵点P与点A重合，
∴PB=AB，PC=AC，PA=0，
∴或；
(2)
解：图②结论：
证明：在BP上截取，连接AF，

∵和都是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴（SAS），
∴，
∵AC=AB，CP=BF，   
∴（SAS），
∴，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
(3)
解：图③结论：，
理由：在CP上截取，连接AF，

∵和都是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴（SAS），
∴，
∵AB=AC，BP=CF，
∴（SAS），   
∴，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
即．
【点睛】
本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键．
14．（·陕西·中考真题）问题提出
(1)如图1，是等边的中线，点P在的延长线上，且，则的度数为__________．
问题探究
(2)如图2，在中，．过点A作，且，过点P作直线，分别交于点O、E，求四边形的面积．
问题解决
(3)如图3，现有一块型板材，为钝角，．工人师傅想用这块板材裁出一个型部件，并要求．工人师傅在这块板材上的作法如下：
①以点C为圆心，以长为半径画弧，交于点D，连接；
②作的垂直平分线l，与于点E；
③以点A为圆心，以长为半径画弧，交直线l于点P，连接，得．
请问，若按上述作法，裁得的型部件是否符合要求？请证明你的结论．

【答案】(1)
(2)
(3)符合要求，理由见详解
【详解】
【分析】
（1）利用等腰三角形的判定及性质，结合三角形内角和，先求出即可；
（2）连接．先证明出四边形是菱形．利用菱形的性质得出，由，得出．根据，得，，即可求出，再求出，利用即可求解；
（3）由作法，知，根据，得出．以为边，作正方形，连接．得出．根据l是的垂直平分线，证明出为等边三角形，即可得出结论．
(1)
解：，
，
，
，
解得：，
，
，
故答案为：；
(2)
解：如图2，连接．

          图2
∵，
∴四边形是菱形．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
(3)
解：符合要求．
由作法，知．
∵，
∴．
如图3，以为边，作正方形，连接．

             图3
∴．
∵l是的垂直平分线，
∴l是的垂直平分线．
∴．
∴为等边三角形．
∴，
∴，
∴．
∴裁得的型部件符合要求．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定及性质、三角形内角和定理、菱形的判定及性质、锐角三角函数、正方形、垂直平分线，解题的关键是要灵活运用以上知识点进行求解，涉及知识点较多，题目较难．
15．（·湖南岳阳·中考真题）如图，和的顶点重合，，，，．

(1)特例发现：如图1，当点，分别在，上时，可以得出结论：______，直线与直线的位置关系是______；
(2)探究证明：如图2，将图1中的绕点顺时针旋转，使点恰好落在线段上，连接，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
(3)拓展运用：如图3，将图1中的绕点顺时针旋转，连接、，它们的延长线交于点，当时，求的值．
【答案】(1) ，垂直
(2)成立，理由见详解
(3)
【详解】
【分析】
（1）解直角三角形求出，，可得结论；
（2）结论不变，证明，推出，，可得结论；
（3）如图3中，过点作于点，设交于点，过点作于点求出，，可得结论．
(1)
解：在中，，，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，，
∴，此时，
故答案为：，垂直；
(2)
结论成立．
理由：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
(3)
如图3中，过点作于点，设交于点，过点作于点．

∵，，
∴，
∴．
∵，
∴，，
当时，四边形是矩形，
∴，，
设，则，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．
16．（·湖北十堰·中考真题）已知，在内部作等腰，，．点为射线上任意一点（与点不重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接并延长交射线于点．


(1)如图1，当时，线段与的数量关系是_________；
(2)如图2，当时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
(3)若，，，过点作，垂足为，请直接写出的长（用含有的式子表示）．
【答案】(1)BF=CF
(2)成立；理由见详解
(3)或PD=0或
【详解】
【分析】
（1）连接AF，先根据“SAS”证明，得出，再证明，即可得出结论；
（2）连接AF，先说明，然后根据“SAS”证明，得出，再证明，即可得出结论；
（3）先根据，AB=AC，得出△ABC为等边三角形，再按照，，三种情况进行讨论，得出结果即可．
(1)
解：BF=CF；理由如下：
连接AF，如图所示：


根据旋转可知，，AE=AD，
∵∠BAC=90°，
∴，，
∴，
∵AC=AB，
∴（SAS），
∴，
∴，
∵在Rt△ABF与Rt△ACF中，
∴（HL），
∴BF=CF．
故答案为：BF=CF．
(2)
成立；理由如下：
连接AF，如图所示：


根据旋转可知，，AE=AD，
∵，
∴，，
∴，
∵AC=AB，
∴，
∴，
∴，
∵在Rt△ABF与Rt△ACF中，
∴（HL），
∴BF=CF．
(3)
∵，AB=AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴，，
当时，连接AF，如图所示：


根据详解（2）可知，，
∴，
∵，
，
即，
，
根据详解（2）可知，，
∴，
∴，
，
，
∵，
∴，
∴，
，
∴；
当时，AD与AC重合，如图所示：


∵，，
∴△ADE为等边三角形，
∴∠ADE=60°，
∵，
∴，
∴此时点P与点D重合，；
当时，连接AF，如图所示：


根据详解（2）可知，，
∴，
∵，
，
即，
，
根据详解（2）可知，，
∴，
∴，
∵，
，
∵，
∴，
∴，
，
∴；
综上分析可知，或PD=0或．
17．（·湖南湘潭·中考真题）在中，，，直线经过点，过点、分别作的垂线，垂足分别为点、．


(1)特例体验：
如图①，若直线，，分别求出线段、和的长；
(2)规律探究：
①如图②，若直线从图①状态开始绕点旋转，请探究线段、和的数量关系并说明理由；
②如图③，若直线从图①状态开始绕点A顺时针旋转，与线段相交于点，请再探线段、和的数量关系并说明理由；
(3)尝试应用：
在图③中，延长线段交线段于点，若，，求．
【答案】(1)BD=1；CE=1；DE=2
(2)DE=CE+BD；理由见详解；②BD=CE+DE；理由见详解
(3)
【详解】
【分析】
（1）先根据得出，根据，得出，，再根据，求出，，
即可得出，最后根据三角函数得出，，即可求出；
（2）①DE=CE+BD；根据题意，利用“AAS”证明，得出AD=CE，BD=AE，即可得出结论；
②BD=CE+DE；根据题意，利用“AAS”证明，得出AD=CE，BD=AE，即可得出结论；
（3）在Rt△AEC中，根据勾股定理求出，根据，得出，代入数据求出AF，根据AC=5，算出CF，即可求出三角形的面积．
(1)
解：∵，，
∴，
∵，
∴，，
∵BD⊥AE，CE⊥DE，
∴，
∴，，
∴，
∴，
，
∴．
(2)
DE=CE+BD；理由如下：
∵BD⊥AE，CE⊥DE，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵AB=AC，
∴，
∴AD=CE，BD=AE，
∴DE=AD+AE=CE+BD，
即DE=CE+BD；
②BD=CE+DE，理由如下：
∵BD⊥AE，CE⊥DE，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵AB=AC，
∴，
∴AD=CE，BD=AE，
∴BD=AE=AD+DE=CE+DE，
即BD=CE+DE．
(3)
根据详解（2）可知，AD=CE=3，
∴，
在Rt△AEC中，根据勾股定理可得：，
∵BD⊥AE，CE⊥AE，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴，
∵AB=AC=5，
∴．
【点睛】
本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，解直角三角形，根据题意证明，是解题的关键．
18．（·江苏扬州·中考真题）如图1，在中，，点在边上由点向点运动（不与点重合），过点作，交射线于点．


(1)分别探索以下两种特殊情形时线段与的数量关系，并说明理由；
①点在线段的延长线上且；
②点在线段上且．
(2)若．
①当时，求的长；
②直接写出运动过程中线段长度的最小值．
【答案】(1)①②
(2)①②4
【详解】
【分析】
（1）①算出各个内角，发现其是等腰三角形即可推出；
②算出各内角发现其是30°的直角三角形即可推出；
（2）①分别过点A，E作BC的垂线，得到一线三垂直的相似，即，设，，利用30°直角三角形的三边关系，分别表示出，，，，列式求解a即可；
②分别过点A，E作BC的垂线，相交于点G，H，证明可得，然后利用完全平方公式变形得出，求出AE的取值范围即可．
(1)
①如图：

∵在中，，
∴
∵
∴，
在中，
∴
∴
∴；
②如图：

∵
∴，
∴在中，
∴
∴；
(2)
①分别过点A，E作BC的垂线，相交于点H，G，则∠EGD＝∠DHA＝90°，

∴∠GED＋∠GDE＝90°，
∵∠HDA＋∠GDE＝90°，
∴∠GED＝∠HDA，
∴，
设，，则，，
在中，，AB=6
则，
在中，，
则
在中，，
∴
∴
由得，
即
解得：，（舍）
故；
②分别过点A，E作BC的垂线，相交于点G，H，则∠EHD＝∠AGD＝90°，

∵∠ADE＝90°，
∴∠EDH=90°-∠ADG＝∠DAG，
∵∠EHD＝∠AGD＝90°，
∴，
∴，
∴，
∵∠BAC＝90°，∠C＝60°，
∴∠B=30°，
∴，
∴，
∴=，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故AE的最小值为4.
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，等腰三角形的性质，一线三垂直相似模型，垂线段最短，熟练掌握直角三角形的性质，一线三垂直模型，垂线段最短原理是解题的关键．
19．（·河北·中考真题）如图，四边形ABCD中，，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AD＝3，，DH⊥BC于点H．将△PQM与该四边形按如图方式放在同一平面内，使点P与A重合，点B在PM上，其中∠Q＝90°，∠QPM＝30°，．

(1)求证：△PQM≌△CHD；
(2)△PQM从图1的位置出发，先沿着BC方向向右平移（图2），当点P到达点D后立刻绕点D逆时针旋转（图3），当边PM旋转50°时停止．
①边PQ从平移开始，到绕点D旋转结束，求边PQ扫过的面积；
②如图2，点K在BH上，且．若△PQM右移的速度为每秒1个单位长，绕点D旋转的速度为每秒5°，求点K在△PQM区域（含边界）内的时长；
③如图3．在△PQM旋转过程中，设PQ，PM分别交BC于点E，F，若BE＝d，直接写出CF的长（用含d的式子表示）．
【答案】(1)见详解
(2)①；
②；
③
【详解】
【分析】
（1）先证明四边形是矩形，再根据算出CD长度，即可证明；
（2）①平移扫过部分是平行四边形，旋转扫过部分是扇形，分别算出两块面积相加即可；
②运动分两个阶段：平移阶段：；旋转阶段：取刚开始旋转状态，以PM为直径作圆，H为圆心，延长DK与圆相交于点G，连接GH，GM，过点G作于T；设，利用算出，，，利用算出DG，利用算出GT，最后利用算出，发现，从而得到，度数，求出旋转角，最后用旋转角角度计算所用时间即可；
③分两种情况：当旋转角＜30°时，DE在DH的左侧，当旋转角≥30°时，DE在DH上或右侧，证明，结合勾股定理，可得，即可得CF与d的关系．
(1)
∵，
∴
则在四边形中

故四边形为矩形
，
在中，
∴，
∵
∴；
(2)
①过点Q作于S

由（1）得：
在中，
∴
平移扫过面积：
旋转扫过面积：
故边PQ扫过的面积：
②运动分两个阶段：平移和旋转
平移阶段：


旋转阶段：
由线段长度得：
取刚开始旋转状态，以PM为直径作圆，则H为圆心，延长DK与圆相交于点G，连接GH，GM，过点G作于T

设，则
在中：


设，则，，
，，
∵DM为直径
∴
在中 ：
在中：
在中：
∴，
PQ转过的角度：
s
总时间：
③设CF=m，则EF=BC-BE-CF=9-d-m，CE=9-d，
当旋转角＜30°时，DE在DH的左侧，如图：

∵∠EDF=30°，∠C=30°，
∴∠EDF=∠C，
又∵∠DEF=∠CED，
∴，
∴，即，
∴，
∵在中，，
∴，
∴
当旋转角≥30°时，DE在DH上或右侧，如图：CF=m，则EF=BC-BE-CF=9-d-m，CE=9-d，
同理：可得

综上所述：．
【点睛】
本题考查动点问题，涉及到平移，旋转，矩形，解直角三角形，圆的性质，相似三角形的判定和性质；注意第（2）问第②小题以PM为直径作圆算出是难点，第（2）问第③小题用到相似三角形的判定和性质．
20．（·山西·中考真题）综合与实践
问题情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N，猜想证明：


（1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由；
问题解决：
（2）如图②，在三角板旋转过程中，当时，求线段CN的长；
（3）如图③，在三角板旋转过程中，当AM=AN时，直接写出线段AN的长．
【答案】（1）四边形AMDN为矩形；理由见详解；（2）；（3）．
【详解】
【分析】
（1）由三角形中位线定理得到MD∥AC，证明∠A=∠AMD=∠MDN=90°，即可证明结论；
（2）证明△NDC是等腰三角形，过点N作NG⊥BC于点G，证明△CGN∽△CAB，利用相似三角形的性质即可求解；
（3）延长ND，使DH=DN，证明△BDH≌△CDN，推出BH=CN，∠DBH=∠C，证明∠MBH=90°，设AM=AN=x，在Rt△BMH中，利用勾股定理列方程，解方程即可求解．
【详解】
解：（1）四边形AMDN为矩形．
理由如下：∵点M为AB的中点，点D为BC的中点，
∴MD∥AC，
∴∠AMD+∠A=180°，
∵∠A=90°，
∴∠AMD=90°，
∵∠EDF=90°，
∴∠A=∠AMD=∠MDN=90°，
四边形AMDN为矩形；
（2）在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，
∴∠B+∠C=90°，．
∵点D是BC的中点，
∴CD=BC=5．
∵∠EDF=90°，
∴∠MDB+∠1=90°．
∵∠B=∠MDB，
∴∠1=∠C．
∴ND=NC．
过点N作NG⊥BC于点G，则∠CGN=90°．


∴CG=CD=．
∵∠C=∠C，∠CGN=∠CAB=90°，
∴△CGN∽△CAB．
∴，即，
∴；
（3）延长ND至H，使DH=DN，连接MH，NM，BH，


∵MD⊥HN，∴MN=MH，
∵D是BC中点，
∴BD=DC，
又∵∠BDH=∠CDN，
∴△BDH≌△CDN，
∴BH=CN，∠DBH=∠C，
∵∠BAC=90°，
∵∠C+∠ABC=90°，
∴∠DBH+∠ABC=90°，
∴∠MBH=90°，
设AM=AN=x，则BM=6-x，BH=CN=8-x，MN=MH=x，
在Rt△BMH中，BM2+BH2=MH2，
∴(6-x)2+(8-x)2=(x)2，
解得x=，
∴线段AN的长为．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定，勾股定理，解第（3）问的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
21．（·湖北武汉·中考真题）问题提出：如图（1），中，，是的中点，延长至点，使，延长交于点，探究的值．

(1)先将问题特殊化．如图（2），当时，直接写出的值；
(2)再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立．
问题拓展：如图（3），在中，，是的中点，是边上一点，，延长至点，使，延长交于点．直接写出的值（用含的式子表示）．
【答案】(1)[问题提出]（1）；（2）见详解
(2)[问题拓展]
【详解】
【分析】
[问题探究]（1）根据等边三角形的性质结合已知条件，求得，，根据含30度角的直角三角形的性质，可得，即可求解；
（2）取的中点，连接．证明，可得，根据，证明，根据相似三角形的性质可得，进而可得；
[问题拓展]方法同（2）证明，得出，，证明，得到，进而可得 ．
(1)
[问题探究]：（1）如图，

中，，是的中点，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
（2）证明：取的中点，连接．

∵是的中点，
∴，．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
(2)
[问题拓展]如图，取的中点，连接．

∵是的中点，
∴，．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．



，

∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等边对等角，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
22．（·江西·中考真题）问题提出：某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形中心O处，并绕点O逆时针旋转，探究直角三角板与正方形重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）．

(1)操作发现：如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当与重合时，重叠部分的面积为__________；当与垂直时，重叠部分的面积为__________；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积与S的关系为__________；
(2)类比探究：若将三角板的顶点F放在点O处，在旋转过程中，分别与正方形的边相交于点M，N．
①如图2，当时，试判断重叠部分的形状，并说明理由；
②如图3，当时，求重叠部分四边形的面积（结果保留根号）；
(3)拓展应用：若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O处，该锐角记为（设），将绕点O逆时针旋转，在旋转过程中，的两边与正方形的边所围成的图形的面积为，请直接写出的最小值与最大值（分别用含的式子表示），
（参考数据：）
【答案】(1)1,1，
(2)①是等边三角形，理由见详解；②
(3)
【详解】
【分析】
（1）如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，OE与OC重合，此时重叠部分的面积=△OBC的面积=正方形ABCD的面积=1；当OF与BC垂直时，OE⊥BC，重叠部分的面积=正方形ABCD的面积=1；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积S1与S的关系为S1=S．利用全等三角形的性质证明即可；
（2）①结论：△OMN是等边三角形．证明OM=ON，可得结论；
②如图3中，连接OC，过点O作OJ⊥BC于点J．证明△OCM≌△OCN（SAS），推出∠COM=∠CON=30°，解直角三角形求出OJ，即可解决问题；
（3）如图4-1中，过点O作OQ⊥BC于点Q，当BM=CN时，△OMN的面积最小，即S2最小．如图4-2中，当CM=CN时，S2最大．分别求解即可．
(1)
如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，OE与OC重合，此时重叠部分的面积=△OBC的面积=正方形ABCD的面积=1；
当OF与BC垂直时，OE⊥BC，重叠部分的面积=正方形ABCD的面积=1；
一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积S1与S的关系为S1=S．
理由：如图1中，设OF交AB于点J，OE交BC于点K，过点O作OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N．

∵O是正方形ABCD的中心，
∴OM=ON，
∵∠OMB=∠ONB=∠B=90°，
∴四边形OMBN是矩形，
∵OM=ON，
∴四边形OMBN是正方形，
∴∠MON=∠EOF=90°，
∴∠MOJ=∠NOK，
∵∠OMJ=∠ONK=90°，
∴△OMJ≌△ONK（AAS），
∴S△PMJ=S△ONK，
∴S四边形OKBJ=S正方形OMBN=S正方形ABCD，
∴S1=S．
故答案为：1，1，S1=S．
(2)
①如图2中，结论：△OMN是等边三角形．

理由：过点O作OT⊥BC，
∵O是正方形ABCD的中心，
∴BT=CT，
∵BM=CN，
∴MT=TN，
∵OT⊥MN，
∴OM=ON，
∵∠MON=60°，
∴△MON是等边三角形；
②如图3中，连接OC，过点O作OJ⊥BC于点J．

∵CM=CN，∠OCM=∠OCN，OC=OC，
∴△OCM≌△OCN（SAS），
∴∠COM=∠CON=30°，
∴∠OMJ=∠COM+∠OCM=75°，
∵OJ⊥CB，
∴∠JOM=90°-75°=15°，
∵BJ=JC=OJ=1，
∴JM=OJ•tan15°=2-，
∴CM=CJ-MJ=1-（2-）=-1，
∴S四边形OMCN=2××CM×OJ=-1．
(3)
如图4，将沿翻折得到，则，此时则当在上时，比四边形的面积小，
       
设，则当最大时，最小，
，即时，最大，
此时垂直平分，即，则
如图5中，过点O作OQ⊥BC于点Q，

，
BM=CN
当BM=CN时，△OMN的面积最小，即S2最小．
在Rt△MOQ中，MQ=OQ•tan=tan，
∴MN=2MQ=2tan，
∴S2=S△OMN=×MN×OQ=tan．
如图6中，同理可得，当CM=CN时，S2最大．


则△COM≌△CON，
∴∠COM=，
∵∠COQ=45°，
∴∠MOQ=45°-，
QM=OQ•tan（45°-）=tan（45°-），
∴MC=CQ-MQ=1-tan（45°-），
∴S2=2S△CMO=2××CM×OQ=1-tan（45°-）．
【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
23．（·重庆·中考真题）在中，，，D为的中点，E，F分别为，上任意一点，连接，将线段绕点E顺时针旋转90°得到线段，连接，．


(1)如图1，点E与点C重合，且的延长线过点B，若点P为的中点，连接，求的长；
(2)如图2，的延长线交于点M，点N在上，且，求证： ；
(3)如图3，F为线段上一动点，E为的中点，连接，H为直线上一动点，连接，将沿翻折至所在平面内，得到，连接，直接写出线段的长度的最小值．
【答案】(1)2
(2)见详解
(3)
【详解】
【分析】
（1）根据已知条件可得为的中点，证明，进而根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解；
（2）过点作交的延长线于点，证明 ，，可得，进而根据，即可得出结论，
（3）根据（2）可知，当点在线段上运动时，点在平行于的线段上运动，根据题意作出图形，根据点到圆上的距离求最值即可求解．
(1)
如图，连接


将线段绕点E顺时针旋转90°得到线段，
是等腰直角三角形，
P为FG的中点，
，
，
，
，D为的中点，，
，，
，
在中，；
(2)
如图，过点作交的延长线于点，


，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
在与中，   

，
，
，
，
又，，   
，
，
，
，
，   
又，
，
,
，
，
，
，
；
(3)
由（2）可知，
则当点在线段上运动时，点在平行于的线段上运动，
将沿翻折至所在平面内，得到，
E为的中点，
，
，
则点在以为圆心为半径的圆上运动，当三点共线时，最小，
如图，当运动到与点重合时，取得最小值，．


如图，当点运动到与点重合时，取得最小值，
此时，则．


综上所述，的最小值为．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，全等三角形的性质与判定，轴对称线的性质，点到圆上一点距离最值问题，正确的添加辅助线是解题的关键．
24．（·浙江宁波·中考真题）



(1)如图1，在中，D，E，F分别为上的点，交于点G，求证：．
(2)如图2，在（1）的条件下，连接．若，求的值．
(3)如图3，在中，与交于点O，E为上一点，交于点G，交于点F．若平分，求的长．
【答案】(1)证明见详解
(2)
(3)
【详解】
【分析】
（1）利用，证明，利用相似比即可证明此问；
（2）由（1）得，，得出是等腰三角形，利用三角形相似即可求出 的值；
（3）遵循第（1）、（2）小问的思路，延长交于点M，连接，作，垂足为N．构造出等腰三角形、含30°、45°角的特殊直角三角形，求出、的值，即可得出的长．
(1)
解：∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
(2)
解：由（1）得，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
(3)
解：如图，延长交于点M，连接，作，垂足为N．


在中，．
∵，
∴由（1）得，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵平分，
∴，
∴．
∴．在中，．
∵，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质及判定、等腰三角形的性质及判定、解特殊的直角三角形等知识，遵循构第（1）、（2）小问的思路，构造出等腰三角形和特殊的直角三角形是解决本题的关键．