2022年四川省南充市中考数学试卷

这是一份2022年四川省南充市中考数学试卷，共34页。试卷主要包含了选择题每小题都有代号为A等内容，欢迎下载使用。

2022年四川省南充市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）每小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的．请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置．填涂正确记4分，不涂、错涂或多涂记0分．
1．（4分）下列计算结果为5的是　　
A． B． C． D．
2．（4分）如图，将直角三角板绕顶点顺时针旋转到△，点恰好落在的延长线上，，，则为　　

A． B． C． D．
3．（4分）下列计算结果正确的是　　
A． B．
C． D．
4．（4分）《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．”设鸡有只，可列方程为　　
A． B．
C． D．
5．（4分）如图，在正五边形中，以为边向内作正，则下列结论错误的是　　

A． B． C． D．
6．（4分）为了解“睡眠管理”落实情况，某初中学校随机调查50名学生每天平均睡眠时间（时间均保留整数），将样本数据绘制成统计图（如图），其中有两个数据被遮盖．关于睡眠时间的统计量中，与被遮盖的数据无关的是　　

A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
7．（4分）如图，在中，，的平分线交于点，，交于点，于点，，，则下列结论错误的是　　

A． B． C． D．
8．（4分）如图，为的直径，弦于点，于点，，则为　　

A． B． C． D．
9．（4分）已知，且，则的值是　　
A． B． C． D．
10．（4分）已知点，，，在抛物线上，当且时，都有，则的取值范围为　　
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡对应的横线上．
11．（4分）比较大小：　　．（选填，，
12．（4分）老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将6种生活现象制成看上去无差别卡片（如图）．从中随机抽取一张卡片，抽中生活现象是物理变化的概率是 　　．

13．（4分）数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的，两点的距离，同学们在外选择一点，测得，两边中点的距离为（如图），则，两点的距离是 　　．

14．（4分）若为整数，为正整数，则的值是 　　．
15．（4分）如图，水池中心点处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高时，水柱落点距点；喷头高时，水柱落点距点．那么喷头高 　　时，水柱落点距点．

16．（4分）如图，正方形边长为1，点在边上（不与，重合），将沿直线折叠，点落在点处，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，，．给出下列四个结论：①；②；③点是直线上动点，则的最小值为；④当时，△的面积为．其中正确的结论是 　　．（填写序号）

三、解答题（本大题共9个小题，共86分）解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（8分）先化简，再求值：，其中．
18．（8分）如图，在菱形中，点，分别在边，上，，，分别与交于点，．
求证：（1）．
（2）．

19．（8分）为传播数学文化，激发学生学习兴趣，学校开展数学学科月活动，七年级开展了四个项目：．阅读数学名著；．讲述数学故事；．制作数学模型；．挑战数学游戏．要求七年级学生每人只能参加一项．为了解学生参加各项目情况，随机调查了部分学生，将调查结果制作成统计表和扇形统计图（如图），请根据图表信息解答下列问题：
项目




人数人
5
15


（1）　　，　　．
（2）扇形统计图中“”项目所对应的扇形圆心角为 　　度．
（3）在月末的展示活动中，“”项目中七（1）班有3人获得一等奖，七（2）班有2人获得一等奖，现从这5名学生中随机抽取2人代表七年级参加学校制作数学模型比赛，请用列表或画树状图法求抽中的2名学生来自不同班级的概率．

20．（10分）已知关于的一元二次方程有实数根．
（1）求实数的取值范围．
（2）设方程的两个实数根分别为，，若，求的值．
21．（10分）如图，直线与双曲线交于，两点，直线与双曲线在第一象限交于点，连接．
（1）求直线与双曲线的解析式．
（2）求的面积．

22．（10分）如图，为的直径，点是上一点，点是外一点，，连接交于点．
（1）求证：是的切线．
（2）若，，求的值．

23．（10分）南充市被誉为中国绸都，本地某电商销售真丝衬衣和真丝围巾两种产品，它们的进价和售价如下表．用15000元可购进真丝衬衣50件和真丝围巾25件．（利润售价进价）
种类
真丝衬衣
真丝围巾
进价（元件）

80
售价（元件）
300
100
（1）求真丝衬衣进价的值．
（2）若该电商计划购进真丝衬衣和真丝围巾两种商品共300件，据市场销售分析，真丝围巾进货件数不低于真丝衬衣件数的2倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？
（3）按（2）中最大利润方案进货与销售，在实际销售过程中，当真丝围巾销量达到一半时，为促销并保证销售利润不低于原来最大利润的，衬衣售价不变，余下围巾降价销售，每件最多降价多少元？
24．（10分）如图，在矩形中，点是的中点，点是射线上动点，点在线段上（不与点重合），．
（1）判断的形状，并说明理由．
（2）当点为边中点时，连接并延长交于点．求证：．
（3）点在边上，，，，当时，求的长．


25．（12分）抛物线与轴分别交于点，，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，顶点在抛物线上，如果面积为某值时，符合条件的点有且只有三个，求点的坐标．
（3）如图2，点在第二象限的抛物线上，点在延长线上，，连接并延长到点，使．交轴于点，与均为锐角，，求点的坐标．



2022年四川省南充市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）每小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的．请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置．填涂正确记4分，不涂、错涂或多涂记0分．
1．（4分）下列计算结果为5的是　　
A． B． C． D．
【分析】根据相反数判断，，选项；根据绝对值判断选项．
【解答】解：选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
故选：．
2．（4分）如图，将直角三角板绕顶点顺时针旋转到△，点恰好落在的延长线上，，，则为　　

A． B． C． D．
【分析】利用旋转不变性，三角形内角和定理和平角的意义解答即可．
【解答】解：，，
，
将直角三角板绕顶点顺时针旋转到△，
．
点恰好落在的延长线上，
．
故选：．
3．（4分）下列计算结果正确的是　　
A． B．
C． D．
【分析】根据合并同类项判断选项；根据单项式除以单项式判断选项；根据同底数幂的除法判断选项；根据积的乘方判断选项．
【解答】解：选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项符合题意；
故选：．
4．（4分）《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．”设鸡有只，可列方程为　　
A． B．
C． D．
【分析】由上有三十五头且鸡有只，可得出兔有只，利用足的数量鸡的只数兔的只数，即可得出关于的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：上有三十五头，且鸡有只，
兔有只．
依题意得：．
故选：．
5．（4分）如图，在正五边形中，以为边向内作正，则下列结论错误的是　　

A． B． C． D．
【分析】根据正多边形定义可知，每一个内角相等，每一条边相等，再根据内角和公式求出每一个内角，根据以为边向内作正，得出，，从而选择正确选项．
【解答】解：在正五边形中内角和：，
，
不符合题意；
以为边向内作正，
，，
，
，，
、不符合题意；
，
符合题意；
故选：．
6．（4分）为了解“睡眠管理”落实情况，某初中学校随机调查50名学生每天平均睡眠时间（时间均保留整数），将样本数据绘制成统计图（如图），其中有两个数据被遮盖．关于睡眠时间的统计量中，与被遮盖的数据无关的是　　

A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【分析】根据条形统计图中的数据，可以判断出平均数、众数、方差无法计算，可以计算出中位数，本题得以解决．
【解答】解：由统计图可知，
平均数无法计算，众数无法确定，方差无法计算，而中位数是，
故选：．
7．（4分）如图，在中，，的平分线交于点，，交于点，于点，，，则下列结论错误的是　　

A． B． C． D．
【分析】根据角平分线的性质和和勾股定理，可以求得和的长，再根据平行线的性质，即可得到的长，从而可以判断和，然后即可得到的长，即可判断；再根据全等三角形的判定和性质即可得到的长，从而可以判断．
【解答】解：平分，，，
，，，
，
，
，
，
，，
，，故选项、正确；
，
，故选项正确；
，，
，
，
，
，
，，
，
解得，故选项错误；
故选：．


8．（4分）如图，为的直径，弦于点，于点，，则为　　

A． B． C． D．
【分析】先根据三角形的内角和定理可得，由垂径定理得：，最后由圆周角定理可得结论．
【解答】解：，
，
，
，
弦，为的直径，
，
．
故选：．
9．（4分）已知，且，则的值是　　
A． B． C． D．
【分析】利用分式的加减法法则，乘除法法则把分式进行化简，由，得出，，由，得出，，代入计算，即可得出答案．
【解答】解：


，
，
，，
，
，，
，
故选：．
10．（4分）已知点，，，在抛物线上，当且时，都有，则的取值范围为　　
A． B． C． D．
【分析】根据题意和题目中的抛物线，可以求得抛物线的对称轴，然后分类讨论即可得到的取值范围．
【解答】解：抛物线，
该抛物线的对称轴为直线，
当且时，都有，
当时，
，
解得；
当时，
，
此时无解；
由上可得，的取值范围为，
故选：．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡对应的横线上．
11．（4分）比较大小：　　．（选填，，
【分析】先分别计算和的值，再进行比较大小，即可得出答案．
【解答】解：，，
，
故答案为：．
12．（4分）老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将6种生活现象制成看上去无差别卡片（如图）．从中随机抽取一张卡片，抽中生活现象是物理变化的概率是 　　．

【分析】用物理变化的张数除以总张数即可．
【解答】解：从中随机抽取一张卡片共有6种等可能结果，抽中生活现象是物理变化的有2种结果，
所以从中随机抽取一张卡片，抽中生活现象是物理变化的概率为，
故答案为：．
13．（4分）数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的，两点的距离，同学们在外选择一点，测得，两边中点的距离为（如图），则，两点的距离是 　20　．

【分析】利用三角形中位线定理解决问题即可．
【解答】解：，，
是的中位线，
，
，
，
故答案为：20．
14．（4分）若为整数，为正整数，则的值是 　4或7或8　．
【分析】利用二次根式的性质求得的取值范围，利用算术平方根的意义解答即可．
【解答】解：，为正整数，
且为正整数，
为整数，
或1或2，
当时，，
当时，，
当时，，
综上，的值是4或7或8，
故答案为：4或7或8．
15．（4分）如图，水池中心点处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高时，水柱落点距点；喷头高时，水柱落点距点．那么喷头高 　8　时，水柱落点距点．

【分析】由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，则当喷头高时，可设，将代入解析式得出；喷头高时，可设；将代入解析式得，联立可求出和的值，设喷头高为时，水柱落点距点，则此时的解析式为，将代入可求出．
【解答】解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，
当喷头高时，可设，
将代入解析式得出①；
喷头高时，可设；
将代入解析式得②，
联立可求出，，
设喷头高为时，水柱落点距点，
此时的解析式为，
将代入可得，
解得．
故答案为：8．
16．（4分）如图，正方形边长为1，点在边上（不与，重合），将沿直线折叠，点落在点处，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，，．给出下列四个结论：①；②；③点是直线上动点，则的最小值为；④当时，△的面积为．其中正确的结论是 　①②③　．（填写序号）

【分析】①正确．根据证明三角形全等即可；
②正确．过点作于点，证明，即可；
③正确．连接，．因为，关于对称，推出，推出，可得结论；
④错误．过点作于点，求出，，可得结论．
【解答】解：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，故①正确，
过点作于点，
，
，
，，
，
，，
，
，故②正确．
连接，．
，关于对称，
，
，
的最小值为，故③正确，
过点作于点，
，
，
，
，
，
，故④错误．
故答案为：①②③．

三、解答题（本大题共9个小题，共86分）解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（8分）先化简，再求值：，其中．
【分析】提取公因式，再利用平方差公式计算，再代入计算．
【解答】解：原式

，
当时，
原式．
18．（8分）如图，在菱形中，点，分别在边，上，，，分别与交于点，．
求证：（1）．
（2）．

【分析】（1）根据菱形的性质和全等三角形的判定，可以证明结论成立；
（2）根据（1）中的结论和等腰三角形的性质，可以得到，，从而可以得到．
【解答】证明：（1）四边形是菱形，
，，，
，
，
在和中，
，
；
（2）由（1）知，
，，
四边形是菱形，
，
，
，
，
，
．

19．（8分）为传播数学文化，激发学生学习兴趣，学校开展数学学科月活动，七年级开展了四个项目：．阅读数学名著；．讲述数学故事；．制作数学模型；．挑战数学游戏．要求七年级学生每人只能参加一项．为了解学生参加各项目情况，随机调查了部分学生，将调查结果制作成统计表和扇形统计图（如图），请根据图表信息解答下列问题：
项目




人数人
5
15


（1）　20　，　　．
（2）扇形统计图中“”项目所对应的扇形圆心角为 　　度．
（3）在月末的展示活动中，“”项目中七（1）班有3人获得一等奖，七（2）班有2人获得一等奖，现从这5名学生中随机抽取2人代表七年级参加学校制作数学模型比赛，请用列表或画树状图法求抽中的2名学生来自不同班级的概率．

【分析】（1）由项目人数及其所占百分比可得总人数，总人数乘以项目人数所占比例求出，再根据四个项目人数之和等于总人数得出；
（2）用乘以项目人数所占比例即可；
（3）七（1）班3人分别用、、表示，七（2）班2人分别、表示，列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）被调查的总人数为（人，
（人，
则，
故答案为：20、10；
（2）扇形统计图中“”项目所对应的扇形圆心角为，
故答案为：108；
（3）七（1）班3人分别用、、表示，七（2）班2人分别、表示，
根据题意列表如下：




































共有20种等可能的情况数，其中这两人来自不同班级的有12种，
则这两人来自不同班级的概率是．
20．（10分）已知关于的一元二次方程有实数根．
（1）求实数的取值范围．
（2）设方程的两个实数根分别为，，若，求的值．
【分析】（1）根据一元二次方程有实数根，可知△，即可求得的取值范围；
（2）根据根与系数的关系和，可以求得的值．
【解答】解：（1）关于的一元二次方程有实数根，
△，
解得，
即的取值范围是；
（2）方程的两个实数根分别为，，
，，
，
，
，
解得，
即的值是3．
21．（10分）如图，直线与双曲线交于，两点，直线与双曲线在第一象限交于点，连接．
（1）求直线与双曲线的解析式．
（2）求的面积．

【分析】（1）根据点的坐标可以求得双曲线的解析式，然后即可求得点的坐标，再用待定系数法即可求得直线的解析式；
（2）先求出直线的解析式，然后求出点的坐标，再用割补法即可求得的面积．
【解答】解：（1）设双曲线的解析式为，
点在该双曲线上，
，
解得，
，
在双曲线上，
，
解得，
设直线的函数解析式为，
，
解得，
即直线的解析式为；
（2）作轴，轴，和交于点，作轴，轴，和交于点，如右图所示，
直线的解析式为，
点，
，
解得，
直线的解析式为，
，
解得或，
点的坐标为，
点，，，
，，，，，，



．

22．（10分）如图，为的直径，点是上一点，点是外一点，，连接交于点．
（1）求证：是的切线．
（2）若，，求的值．

【分析】（1）连接，证明即可；
（2）过点作于点．由，可以假设，，则，用表示出，，可得结论．
【解答】（1）证明：连接，
是直径，
，
，
，
，
，
，
，
为的半径，
是的切线；

（2）解：过点作于点．
，
可以假设，，则，
，
，
，
，
，
．

23．（10分）南充市被誉为中国绸都，本地某电商销售真丝衬衣和真丝围巾两种产品，它们的进价和售价如下表．用15000元可购进真丝衬衣50件和真丝围巾25件．（利润售价进价）
种类
真丝衬衣
真丝围巾
进价（元件）

80
售价（元件）
300
100
（1）求真丝衬衣进价的值．
（2）若该电商计划购进真丝衬衣和真丝围巾两种商品共300件，据市场销售分析，真丝围巾进货件数不低于真丝衬衣件数的2倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？
（3）按（2）中最大利润方案进货与销售，在实际销售过程中，当真丝围巾销量达到一半时，为促销并保证销售利润不低于原来最大利润的，衬衣售价不变，余下围巾降价销售，每件最多降价多少元？
【分析】（1）利用总价单价数量，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值；
（2）设购进真丝衬衣件，则购进真丝围巾件，根据真丝围巾进货件数不低于真丝衬衣件数的2倍，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，设两种商品全部售出后获得的总利润为元，利用总利润每件的销售利润销售数量，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题；
（3）设每件真丝围巾降价元，利用总利润每件的销售利润销售数量，结合要保证销售利润不低于原来最大利润的，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【解答】解：（1）依题意得：，
解得：．
答：的值为260．
（2）设购进真丝衬衣件，则购进真丝围巾件，
依题意得：，
解得：．
设两种商品全部售出后获得的总利润为元，则．
，
随的增大而增大，
当时，取得最大值，最大值，此时．
答：当购进真丝衬衣100件，真丝围巾200件时，才能使本次销售获得的利润最大，最大利润是8000元．
（3）设每件真丝围巾降价元，
依题意得：，
解得：．
答：每件真丝围巾最多降价8元．
24．（10分）如图，在矩形中，点是的中点，点是射线上动点，点在线段上（不与点重合），．
（1）判断的形状，并说明理由．
（2）当点为边中点时，连接并延长交于点．求证：．
（3）点在边上，，，，当时，求的长．


【分析】（1）由已知得：，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得结论；
（2）如图1，延长，交于点，先证明，得，根据直角三角形斜边中线的性质可得，由等边对等角和等量代换，及角的和差关系可得结论；
（3）分两种情况：作辅助线，构建相似三角形，设，，则，，①如图2，点在上时，②如图3，当在的延长线上时，根据同角的三角函数和三角形相似可解答．
【解答】（1）解：是直角三角形，理由如下：
点是的中点，
，
，
，
，，
，
，
，
是直角三角形；
（2）证明：如图1，延长，交于点，

是的中点，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
；
（3）解：分两种情况：
①如图2，点在上时，过点作，交于，交于，

设，，则，，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
，即，
，
同理得：，
，即，
，
，即，
，
，
，
解得：（舍，，
；
②如图3，当在的延长线上时，同理得：，

综上，的长是或12．
25．（12分）抛物线与轴分别交于点，，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，顶点在抛物线上，如果面积为某值时，符合条件的点有且只有三个，求点的坐标．
（3）如图2，点在第二象限的抛物线上，点在延长线上，，连接并延长到点，使．交轴于点，与均为锐角，，求点的坐标．


【分析】（1）将、两点坐标代入抛物线的解析式，从而求得，，进而得出抛物线的解析式；
（2）在的下方存在一个点，在的上方时两个，其中过下方的点的直线与平行的直线与抛物线相切，根据直线的解析式与抛物线解析式可以得出一个一元二次方程，该一元二次方程的根的判别式为0，从而求得的值，进而得出在的上方的直线解析式，与抛物线联立成方程组，进一步求得结果；
（3）作轴于，作轴于，作，交的延长线于，设点的横坐标为，根据得出，根据得出，，从而，根据可表示出，根据可得出的值，进一步求得结果．
【解答】解：（1）由题意得，
，
，
；
（2）如图1，

作直线且与抛物线相切于点，直线交轴于，作直线且直线到的距离等于直线到的距离，
的解析式为，
设直线的解析式为：，
由得，
，
△，
，
，
，，
，，
，
，，
，，
即，
直线的解析式为：，
，
，，
，，，，
综上所述：点或，或，；
（3）如图2，

作轴于，作轴于，作，交的延长线于，
设点的横坐标为，
，
，点的横坐标为：，
，
，
，
，
，
同理可得：，
，
，，
，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当时，，
．
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