2023-2024学年山东省烟台市龙口一中东校高二（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年山东省烟台市龙口一中东校高二（上）开学数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共80.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若点，点，且，则点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知为空间任意一点，、、、满足任意三点不共线，但四点共面，且，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，在平行六面体底面为平行四边形的四棱柱中，为延长线上一点，，则(    )

A.  B.
C.  D.

4.  若向量，，是空间的一个基底，向量，，那么可以与，构成空间的另一个基底的向量是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  若平面的一个法向量，直线的一个方向向量为，则与所成角的正弦值为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  在空间直角坐标系中，已知，且平面的法向量为，则到平面的距离等于(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知直线过点，且方向向量为，则点到的距离为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共2小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  下列命题中是假命题的是(    )

A. 若非零向量与平面平行，则所在直线与平面也平行
B. 若，则，的长度相等且方向相同
C. 若向量，满足，且与同向，则
D. 若两个非零向量，满足，则

10.  下列命题正确的是(    )

A. 点关于坐标平面的对称点为
B. 点关于轴的对称点为
C. 点到坐标平面的距离为
D. 设分别是，，轴正方向上的单位向量，若，则

三、填空题（本大题共2小题，共20.0分）

11.  一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是、、、，则该四面体的体积为______．

12.  在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长度都为，且两两夹角为，则的长为______ ．

四、解答题（本大题共2小题，共30.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

13.  本小题分
已知，．
若，求；
若，求．

14.  本小题分
如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，，，分别是，，的中点．
证明：平面；
求二面角的正弦值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据题意，设，
则，，
又由，则，解可得，即点的坐标为，
故选：．
根据题意，设，由空间向量的坐标计算公式可得关于、、的方程组，解可得、、的值，即可得答案．
本题考查空间向量的坐标计算，注意空间向量的坐标计算公式，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：为空间任意一点，、、、满足任意三点不共线，但四点共面，且，
则，解得．
故选：．
根据已知条件，结合四点共面的性质，即可求解．
本题主要考查四点共面的性质，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：，


，
故选：．
利用空间向量的线性运算，空间向量基本定理求解即可．
本题考查空间向量的线性运算，空间向量基本定理，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：向量，，是空间的一个基底，则，，不共面，
对于选项A：，故，，共面，故A错误，
对于选项B：，故，，共面，故B错误，
对于选项C：，，不共面，故可以构成空间的另一个基底，故C正确，
对于选项D：由选项A得：，故，，共面，故D错误，
故选：．
向量，，是空间的一个基底的充要条件为，，不共面，逐一按此标准检验即可
本题考查了空间向量基本定理、正交分解及坐标，属简单题
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查异面直线所成角和余弦定理，考查运算求解能力．
由，得是直线与所成的角或所成角的补角，由此利用余弦定理，求出直线与所成的角．

【解答】

解：，
是直线与所成的角或所成角的补角，

设正方体的棱长为，
则，，，
，
，
直线与所成的角为．
故选：．

6.【答案】 

【解析】解：由题意设与所成角为，设向量与的夹角为，
平面的一个法向量，直线的一个方向向量为，

故选：．
设与所成角为，设向量与的夹角为，可得，由空间向量的运算可得．
本题考查直线与平面所成的角和法向量的夹角的关系，属中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，
，又易知平面的法向量为，
点到平面的距离．
故选：．
根据向量法计算，可得求解．
本题考查向量法求解点面距问题，属中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：直线的一个方向向量为，
取直线一个单位方向向量为，
又为直线外一点，且直线过点，
，
，，
点到直线的距离为，
故选：．
根据直线一个方向向量为，取直线的一个单位方向向量为，计算，代入点到直线的距离公式计算即可．
本题考查点到直线距离，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力、直观想象，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：对于，若非零向量与平面平行，则所在直线可能与平面也平行，也可能在平面内，是假命题；
对于，若，则，的长度相等，当方向不一定相同，为假命题；
对于，向量不能比较大小，故C为假命题；
对于，两个非零向量，满足，即，则，为真命题．
故选：．
根据直线和平面的位置关系可判断；根据向量的定义判断，；根据向量的共线的判定定理可判断．
本题考查向量的概念，主要是向量的模和共线向量的特点，考查判断能力，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：点关于坐标平面的对称点为，故A正确；
点关于轴的对称点为，故B正确；
点到坐标平面的距离为，故C错误；
分别是，，轴正方向上的单位向量，
若，
则，故D正确．
故选：．
根据已知条件，结合空间坐标点对称的性质，以及空间向量坐标的定义，即可求解．
本题主要考查空间坐标点对称的性质，以及空间向量坐标的定义，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了正方体的体积与三棱锥的体积计算公式，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．
如图所示，满足条件的四面体为正方体的内接正四面体利用正方体的体积与三棱锥的体积计算公式即可得出．
【解答】
解：如图所示，
满足条件的四面体为正方体的内接正四面体．
该四面体的体积．
故答案为：．  

12.【答案】 

【解析】解：

．
，
故答案为：．
由，展开后利用数量积的运算求解．
本题考查空间中点、线、面间的距离计算，考查空间向量的应用，是基础题．
 

13.【答案】解：因为，．
，，
由，得到，解得；
若，
则，解得． 

【解析】利用向量平行和垂直的坐标关系得到所求．
本题考查了空间向量的平行和垂直的坐标关系；属于基础题．
 

14.【答案】证明：过作，连接，
则，是中点，且，
又，，
所以，，
四边形为平行四边形，
则，
由为中点，而为中点，
，，
则四边形为平行四边形，则，
，
平面，平面，
平面；
解：以为坐标原点，以平面内垂直于的直线为轴，以所在直线为轴，
以所在直线为轴建立空间直角坐标系，

则，，，
，，
设平面的一个法向量为，
由，取，得，
又平面的一个法向量为，
．
二面角的正弦值为． 

【解析】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力，训练了利用空间向量求解二面角，是中档题．
过作，证明，再证明，可得，再由线面平行的判定可得平面；
以为坐标原点建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，即可得解．