【中职专用】高中数学 人教版2021·基础模块上册 5.2.1任意角三角函数的定义（教案）

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课  题5.2.1  任意角三角函数的定义课  型新授课课  时1授课班级 授课时间 授课教师 教材分析教材来源：“十四五”职业教育国家规划教材，人民教育出版社出版，高中一年级基础模块上册第五章；教材内容：角的概念的推广及其度量、任意角的三角函数、三角函数的图象和性质；地位与作用：本章内容为高中一年级基础模块上册第五章，系学生高中数学的重点内容，高考中的必然考查部分，难度适中，主要学习角的概念的推广及其度量、任意角的三角函数、三角函数的图象和性质.通过本章内容学习，学生应初步掌握任意角三角函数的定义、同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和角公式、倍角公式、函数y=f(sinx)的最值、正弦型函数图象和性质及定理的应用.学情分析14~16岁年龄段学生身心都有较大程度发展，情感更加丰富，认知发展变化迅速，逻辑思维、记忆能力逐步提高；通过任意角三角函数的定义学习，理解锐角三角函数、任意角的三角函数（余弦函数、正弦函数、正切函数）的概念；掌握正弦、余弦与正切在各象限的符号特征；理解单位圆、三角函数线（正弦线、余弦线、正切线）的概念，明确利用三角函数线求解角的正弦、余弦和正切值的方法；职教高考学生在初中学业水平偏弱，因此在本节课教学中需通过复习初中所学锐角三角函数的概念，进而推广至任意角范围，明确利用三角函数线求解角的正弦、余弦和正切值的方法.学习目标理解锐角三角函数、任意角的三角函数（余弦函数、正弦函数、正切函数）的概念.理解单位圆、三角函数线（正弦线、余弦线、正切线）的概念；学生运用分组探讨、合作学习，掌握正弦、余弦与正切在各象限的符号特征，明确利用三角函数线求解角的正弦、余弦和正切值的方法，提高学生的数学运算能力；通过本节课学习，使学生养成乐于学习、勇于探索的良好品质。学习重难点理解锐角三角函数、任意角的三角函数（余弦函数、正弦函数、正切函数）的概念；理解单位圆、三角函数线（正弦线、余弦线、正切线）的概念；掌握正弦、余弦与正切在各象限的符号特征，明确利用三角函数线求解角的正弦、余弦和正切值的方法.教学方法讲授法、谈话法、谈论法课前准备教师：认真备课，设计教学方法，创设问题情境，做好授课过程中出现的突发状况预案；学生：认真预习教材，标记预习中不清楚、模糊的知识点，准备笔记本；教学媒体教学课件PPT、多媒体展板   教学过程第一课时教学环节教师活动设计学生活动设计设计意图活动一：创设情境 生成问题1．任意角三角函数的定义在初中，通过相似直角三角形的讨论，我们知道给定了一个锐角，分别唯一确定了这个角的正弦、余弦和正切的值，这就说正弦、余弦和正切都是锐角的函数．锐角的正弦、余弦和正切函数，统称为锐角三角函数．根据问题思考，并尝试利用初中所学知识解答。通过创设问题情境，使学生回忆初中所学知识，并引出本节课所讲内容。活动二： 调动思维探究新知问题情境:当我们把锐角的概念推广为转角后，我们如何定义任意角的三角函数呢？如图5-10所示，已知任意角α，以角α的顶点O为坐标原点，以角α的始边的方向作为x轴的正方向，建立平面直角坐标系xoy，并且使∠xoy =90°.        以O为圆心，任作两个大小不同的同心圆与角α的终边交于点P(x,y), P′( x′, y′)，设 r = OP ,r′= OP′，由相似三角形对应边成比例，得由于 P ,P′在同一象限内，所以它们的坐标符号相同，因此得所以当α不变时，这三个比值不论点P在α的终边上的位置如何，它们都是定值，只依赖于α的大小，与点 P 在α终边上的位置无关.即当点 P 在α的终边上变化时，这三个比值始终等于定值，因此我们定义：称为角α的余弦，记作cosα，即cosα=；称为角α的正弦，记作sinα，即sinα=；称为角α的正切，记作tanα，即tanα=.其中，.依照上述定义，对于每一个确定的角α，都分别有唯一确定的余弦值、正弦值、正切值与之对应，所以这三个对应关系都是以α为自变量的函数，分别称为角α的余弦函数、正弦函数和正切函数．由图5-10可以看出，当α为锐角时，上述所定义的三角函数，与在直角三角形中所定义的三角函数是一致的.分组讨论，尝试概括问题情境中问题，理解任意角的三角函数的相关概念，掌握余弦函数、正弦函数和正切函数的计算法则           通过分组讨论方法，解答问题情境问题，理解任意角的三角函数的相关概念，掌握余弦函数、正弦函数和正切函数的计算法则，有利于提高学生动手动脑能力，使学习效率更高效     活动三：巩固练习素质提升例 1. 已知角α的终边经过点P（2，-3），求sinα, cosα, tanα.解   设x=2,y=-3,则.于是，，          .例2  求下列各角的正弦、余弦和正切值.（1）0；（2）π；（3）.解   (1) 角0的终边在x轴正半轴上，在x轴的正半轴上取点（1,0)，所以，因此      (2）角π的终边在x轴负半轴上，在x轴的负半轴上取点（-1,0)，所以，因此(3)角的终边在y轴负半轴上，在y轴的负半轴上取点（0,-1)，所以，因此 例3   求正弦、余弦和正切值.解    如图5-11所示，在的终边上取点P，使OP=2．作PM⊥Ox ，则在Rt△OMP中，            .因此MP=1, QM=，从而可知P的坐标为（,1),因此               分组讨论，限时完成，学生上台黑板作答，并进行讲解              鼓励学生勇于展示自己，提高学生对知识的准确认识，调动学生的课堂气氛与学习的积极性，培养学生对数学的热爱，巩固学生对本节课知识的掌握，纠正学习过程中的偏差                    活动四： 调动思维探究新知2．正弦、余弦与正切在各象限的符号问题情境从定义与实例都可以看出，任意角的正弦、余弦与正切，都既有可能是正数，也有可能是负数，还可能为0．它们的符号与什么有关？试总结出任意角的正弦、余弦与正切符号的规律.如果P(x ,y）是α终边上异于原点的任意一点，，则，由r＞0可知，sinα的正负与α终边上点的纵坐标的符号相同，所以，当且仅当α的终边在第一、二象限，或 y 轴正半轴上时，sinα＞0；当且仅当α的终边在第三、四象限，或y轴负半轴上时， sinα＜0.用类似方法可以得到：当且仅当α的终边在第一、四象限，或x轴正半轴上时，cosα＞0；当且仅当α的终边在第二、三象限，或x轴负半轴上时，cosα＜0.当且仅当α的终边在第一、三象限时，tanα＞0；当且仅当α的终边在第二、四象限时，tanα＜0.以上结果可用图5-12、图5-13、图5-14直观表示. 分组讨论，尝试概括问题情境中问题，理解并掌握任意角的余弦、正弦和正切在各象限的符号特征           通过分组讨论方法，解答问题情境问题，理解并掌握任意角的余弦、正弦和正切在各象限的符号特征，有利于提高学生动手动脑能力，使学习效率更高效活动五：巩固练习素质提升例 4  确定下列各值的符号.（1）cos260°；      （2）；（3）tan(-672°20′)；（4）.解   (1）因为260°是第三象限角，所以cos 260°＜0；（2）因为是第四象限角，所以＜0；（3）由-672°20′=47°40′+(-2)×360°，可知-672°20′是第一象限角，所以tan(-672°20′)＞0；（4）由，可知是第三象限角，所以＞ 0.Shi试一试：利用函数型计算器完成例4.例5  设sin＜0且tan＞0，确定是第几象限角.解   因为sin＜0，所以的终边在第三、四象限，或 y轴负半轴上；又因为tan＞0，所以的终边在第一、三象限.因此满足sin＜0且tan＞0的是第三象限角.分组讨论，限时完成，学生上台黑板作答，并进行讲解      完成教材右侧“试一试”中的要求   鼓励学生勇于展示自己，提高学生对知识的准确认识，调动学生的课堂气氛与学习的积极性，培养学生对数学的热爱，巩固学生对本节课知识的掌握，纠正学习过程中的偏差      活动六： 调动思维探究新知3．单位圆与三角函数线一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足必x2＋y2 =1的点组成的集合称为单位圆.因此，如果角α的终边与单位圆的交点为P，由三角函数的定义可知，点 P 的坐标为(cosα, sinα).这就是说，角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标．如图5-15所示，如果过角α终边与单位圆的交点P作x轴的垂线，垂足为M，则有向线段（具有方向的线段） OM可以直观地表示cosα； OM 的方向与x轴的正方向相同时，表示cosα是正数，且cosα=OM；OM 的方向与x轴的正方向相反时，表示cosα是负数，且cosα=.习惯上，称OM为角α的余弦线.类似地，图5-15中的MP可以直观地表示sinα,因此称MP为角α的正弦线.           利用角的正弦线和余弦线，可以直观地看出角的正弦和余弦的信息，例如图5-15中，角的余弦线是ON，正弦线是NS，由此可看出 cos＜0, sin＜0，而且还可以看出.类似地，可知.我们已经知道，如果α的终边不在y轴上，且 Q ( x,y）是α终边上异于原点的任意一点，则tanα=.可以看出，如果取坐标满足x=1的点Q，则tanα=y．因为x=1在平面直角坐标系中表示的是垂直于x轴且过 A (1,0)的直线，所以如果角α的终边与直线l的交点为Q(1, y )，则 tanα=y．如图5-16所示，设角α的终边与直线x=1交于点T,则有向线段AT可以直观地表示tanα，因此AT称为角α的正切线．          不难看出，当角的终边在第二、三象限或x轴的负半轴上时，终边与直线x=1没有交点，但终边的反向延长线与x=1有交点，而且交点的纵坐标也正好是角的正切值，因此图5-16中角的正切线为AS，而且从图中可以看出.这就是说，角的正切等于角终边或其反向延长线与直线x=1的交点的纵坐标.正弦线、余弦线与正切线都称为三角函数线. 分组讨论，理解单位圆、正弦线、余弦线、正切线概念，并学会运用角的正弦线、余弦线、正切线判断两角间正弦值、余弦值的大小关系           通过分组讨论方法，理解单位圆概念及意义，解答问题情境问题，并学会运用角的正弦线、余弦线、正切线判断两角间正弦值、余弦值的大小关系，有利于提高学生动手动脑能力，使学习效率更高效活动七：巩固练习素质提升例 6  作出和的正弦线、余弦线和正切线，并利用三角函数线求出它们的正弦、余弦和正切值.解    如图5-17所示，在平面直角坐标系中作出单位圆以及直线x=1，单位圆与x轴交于点A(1,0).作的终边与单位圆的交点P，过P作x轴的垂线，垂足为M；延长线段PO，交直线x=1于T，则的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT.             类似可得到的正弦线为NR，余弦线为ON，正切线为AS.在图5-17中，根据直角三角形的知识可知，,所以；.分组讨论，限时完成，学生上台黑板作答，并进行讲解          鼓励学生勇于展示自己，提高学生对知识的准确认识，调动学生的课堂气氛与学习的积极性，培养学生对数学的热爱，巩固学生对本节课知识的掌握，纠正学习过程中的偏差          活动八：课堂小结作业布置（一）课堂小结（二）作业布置完成课本中P158  ——   A组1./3.B组1./3. 活动九：板书设计 5.2.1 任意角三角函数的定义一、概念                                                  例题                 小结   二、三角函数值在各象限符号                                练习                 作业三、单位圆与三角函数线 活动十： 教学反思（留白） 教学反思包括5个方面，教学目标、教学内容、教学实施、教学评价、教学效果。所谓教学反思，是指教师对教育教学实践的再认识、再思考，并以此来总结经验教训，进一步提高教育教学水平。教学反思一直以来是教师提高个人业务水平的一种有效手段，教育上有成就的大家一直非常重视之。